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Lösung zur Aufgabe 1.4
Sei
Dann ist:
z = 1 − 2i
z 2 = (1 − 2i) ∗ (1 − 2i) = −3 − 4i
und
1
1
1 + 2i
1 + 2i
1 2
=
=
=
= + i
z
1 − 2i
(1 − 2i)(1 + 2i)
5
5 5
√
Gesucht ist nun z, d.h. eine Zahl w ∈ C mit der Eigenschaft
w 2 = z. w ∈ C, d.h. w = a + ib mit a, b ∈ R. Es soll also gelten:
1 − 2i = z = w 2 = (a + ib) ∗ (a + ib) = (a2 − b2 ) + i(2ab)
Daraus folgt:
a2 − b2 = 1 ∧ 2ab = −2
Aus der zweiten Gleichung folgt nun, dass: a = − 1b (b = 0 ⇒ w 2 ∈ R:
Widerspruch) und dies eingesetzt in die zweite Gleichung liefert:
1
(− )2 − b2 = 1
b
Daraus folgt durch Multiplikation mit b2 und Umstellen:
b4 + b2 − 1 = 0
Mit der Substitution x = b2 nimmt die Gleichung folgende Form an:
x2 + x − 1 = 0
Die Lösungen dieser Gleichung sind gegeben durch:
√
√
−1 − 5
−1 + 5
x1 =
∧ x2 =
2
2
Nun erinnert man sich, dass x = b2 gilt, woraus folgt, dass x1 als
Lösung wegfällt, da b ∈ R und damit b2 ≥ 0, x1 aber kleiner als 0
ist. Also ist:
b2 = x2
1
und damit:
b1 =
√
x2 =
s
√
s
√
5−1
∧ b2 = − x2 = −
2
√
5−1
2
Daraus folgt nun, dass:
Also ist:
√
√
1
1
2
2
a1 = − = − p√
∧ a2 = − = p√
b1
b2
5−1
5−1
√
√
( z)1 = a1 + ib1 ∧ ( z)2 = a2 + ib2
Nun zur trigonometrischen Form:
z = 1 − 2i =: c + id
p
√
d
=⇒ rz = 12 + (−2)2 = 5 ∧ ϕz = arctan( ) = arctan(−2)
c
Dabei durfte man die arctan-Formel für ϕz anwenden, da c = 1 > 0.
Analog folgt für
1
1 2
= + i
z
5 5
dass
r
2
1
1
r 1 = ( )2 + ( )2 = √ ∧ ϕ 1 = arctan(2)
z
z
2
5
5
Bei z 2 = −3 − 4i gibt es das kleine Problem, dass man die arctanFormel nicht sofort anwenden kann, da −3 < 0. Daher betrachtet
man z 0 := 3 + 4i. Für diese Zahl ist die Formel anwendbar und man
bekommt ϕz 0 = arctan( 43 ) und damit für z 2 :
4
ϕz 2 = arctan( ) + π
3
(Dies erkennt man sofort, wenn man die beiden Zahlen zeichnet.)
Die Länge von z 2 ist gegeben durch:
p
rz 2 = (−3)2 + (−4)2 = 5
Nun zu den Wurzeln:
√
( z)1 = a1 + ib1
p
√
b1
4
(a1 )2 + (b1 )2 = 5 ∧ ϕ√z 1 = arctan( ) − π
a1
0
(a1 < 0, also muss man wieder eine neue Zahl z := (−a1 ) + ib1
einführen, für diese den Winkel mit der Formel ausrechnen und
Zeichnung betrachten)
Und für
√
( z)2 = a2 + ib2
=⇒ r√z 1 =
2
folgt:
r√ z 2 =
p
√
b2
4
(a2 )2 + (b2 )2 = 5 ∧ ϕ√z 2 = arctan( )
a2
Man erkennt, dass für die Längen gilt:
rz 2 = (rz )2
1
rz
√
= rz
r1 =
z
r√ z
Verwendet man schließlich den Taschenrechner, stellt man fest, dass:
ϕz 2 = 2ϕz
ϕ 1 = 2π − ϕz
z
1
ϕ√z 1 = ϕz
2
1
ϕ√ z 2 = ϕz + π
2
3