Beispiel 471 (MA1 Sammlung)

Beispiel 471 (MA1 Sammlung)
LVA 118.153, Übungsrunde 4, 05.04.
Markus Nemetz, [email protected], TU Wien, 03/2006
1 Angabe
Man berechne:
x2 + 3
dx
2 · x2 + 7
Z
2 Theoretische Grundlagen - Polynomdivision
2
Ax +b
Wir haben einen Trm in der Form cBx
2 +d vor uns. Wir wollen ihn mit der Polynomdivision so umformen, dass sich k + cBxl2 +d ergibt.
Die Polynomdivision, auch Partialdivision genannt, ist ein mathematisches Verfahren zur
Lösung der Gleichung
p(x) = s(x)q(x) + r(x)
bei gegebenen Polynomen p und q über einem Polynomring, also der Bestimmung der
Polynome s und r. Die Situation ist analog zur Division mit Rest bei ganzen Zahlen.
3 Lösung des Beispiels
Wir führen also die Berechnung durch und erhalten (für Details siehe
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm):
(x2 + 3) : (2 · x2 + 7) =
1
1
1 1
1
−
= − · 2
2 4 · x2 + 14
2 4 x + 3.5
Somit haben wir folgende Integration durchzuführen:
Z
Z
1
1
1
dx − ·
dx
2
2
4
x + 3.5
Meybergs/Vachenauers ’Höhere Mathematik 1’ (2. Aufl., Springer, 1993) gibt auf S.181
die folgende Formel an:
Z
Z
2x + p
2
ax + b
dx
· arctan p
+c
=p
∀ p2 − 4q < 0
2
2
2
2
x + px + q
x + px + q
4q − p
4q − p
1
Wir ’kennen’ diese Formel jedoch nicht, aber wir halten uns folgende Grundintegrale vor
Augen:
Z
Z
x
dx
1
dx
= arctan x + c
= · arctan + c
2
2
2
1+x
a +x
a
a
Z
dx
1
a+x
=
· arctan ln |
|+c
a2 − x2
2·a
a−x
Wir führen nun die Integration aus:
Z
Z
1
1
1
dx − ·
dx
2
4
x2 + 3.5
1
x
0.5 · x + √
+c
· arctan √
3,
5
4 3.5
Wäre im Nenner eine ’komplette’ quadratische Gleichung gestanden, hätten wir diese wie
folgt umformen müssen, um die eines der o.g. Grundintegrale zu erhalten:
c
b
ax2 + bx + c = a · (x2 + x + ) =
a
a
b
b
c
b
b
c
b2
a · (x2 + 2 x + ( )2 + − ( )2 ) = a((x + )2 + ( − 2 ))
2a
2a
a
2a
2a
a 4a
2