Raumintegrale elektrostatischer Felder diskreter

Raumintegrale elektrostatischer Felder diskreter Teilchen
Essay zur Erlangung des Studierendengrades an der Universität Tübingen
Carsten S.P. Spanheimer
23. Oktober 2012
Zusammenfassung
Um die Kraftwirkung zwischen elektrisch geladenen Teilchen durch das Differential der elektrostatischen Feldenergie nach dem Abstand beschreiben zu können, werden verschiedene
Wege zur Integration der Energiedichte durchgeführt.
Zur Vermeidung unendlicher Energieterme wird dabei eine Hilfsgröße von der Dimension
einer Länge eingeführt, die die Feldenergie begrenzt.
Zweck dieser Arbeit ist, unabhängig von der Beurteilung der dargestellten Thesen glaubhaft
zu machen, dass der Autor in der Lage ist, naturwissenschaftliche Themen sowohl auf mathematischer Grundlage zu bearbeiten als auch die erhaltenen Ergebnisse nachvollziehbar
darzulegen.
Dabei wurden die Ausführungen der zugrundeliegenden Rechenwege in den Anhang ausgegliedert, um im Hauptteil den Umfang einer üblichen Seminararbeit nicht zu sprengen.
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
1.1
Kraftwirkung als Differential der Feldenergie
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Eine innere Tiefe‘ zur Begrenzung der Energieterme . . . . . . . . . . . . . . . .
’
4
2 Feldintegrale
5
2.1
Makroskopische Feldstärke und Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2
Der klassische Elektronenradius‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’
Mikroskopische Feldstärke und Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
2.6
Einführung der inneren Tiefe‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’
Die innere Tiefe‘ des Elektrons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’
Gesamtenergie-Raumintegral zweier Ladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
Verallgemeinerung für mehrere Teilchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.8
Selbstenergie-Volumenintegral einer Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.3
2.4
2.5
1
6
8
8
2.9
Volumenintegrale der Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.9.1
Der formal korrekte Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.9.2
Alternativer Ansatz A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.9.3
Alternativer Ansatz B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3 Diskussion
24
3.1
Über die konkreten Zahlenwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.2
Über Sinn und Unsinn der inneren Tiefe‘ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
’
Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
3.3
4 Anhang: Herleitungen
4.1
27
Einige elementare Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R
R
4.1.1
sin2 (x) ∂x, cos2 (x) ∂x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
R
4.1.2
1/(x2 + a2 ) ∂x – der Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1.3
29
Exkurs: Nützliches rund um den Arcustangens . . . . . . . . . . . . . . .
Exkurs: Die Funktion x1 arctan( xa ) . . . . .
R
4.1.5
1/(x2 + a2 )3/2 ∂x . . . . . . . . . . . . . .
R
4.1.6
1/(x2 + a2 )2 ∂x . . . . . . . . . . . . . . .
R
4.1.7 Das Kugelintegral‘ 4π r2 /(r2 + a2 )2 ∂r . .
’
R
4.1.8 Die Zylinderintegrale‘ 2π r/(r2 + a2 )n ∂r
’
Selbstenergie-Raumintegral . . . . . . . . . . . . .
4.3
27
28
. . . . . . . . . . . . . . . . .
31
. . . . . . . . . . . . . . . . .
33
. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
. . . . . . . . . . . . . . . . .
35
. . . . . . . . . . . . . . . . .
37
. . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.1
Kugelintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.2
Zylindrisch, dann kartesisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.2.3
Kartesisch, dann zylindrisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.2.4
Dreifach kartesisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Wechselwirkungsenergie-Raumintegrale und Wegableitungen . . . . . . . . . . . .
40
4.3.1
. . . . .
40
. . . . .
41
. . . . .
45
. . . . .
53
. . . . .
65
4.1.4
4.2
25
4.3.2
4.3.3
4.3.4
4.3.5
Alternativer Ansatz B mit einheitlicher innerer Tiefe‘ . . . . . .
’
Alternativer Ansatz B mit separaten inneren Tiefen‘ . . . . . . .
’
Alternativer Ansatz A bei einheitlicher innerer Tiefe‘ . . . . . .
’
Alternativer Ansatz A bei separaten inneren Tiefen‘ . . . . . . .
’
Über die analytische Unlösbarkeit des formal korrekten Ansatzes
5 Erklärung
69
2
Revisionshistorie
• 2012-10-23: Tippfehler in (26), Literaturverzeichnis überarbeitet.
1
Einführung
Bei der Definition der elektrostatischen Kraft unter der Fernwirkungs-Sichtweise nach dem Coulomb-Gesetz werden Probeladungen‘ idealisiert, die selbst vernachlässigbaren Einfluss auf ihre
’
Umgebung haben sollen. Sie könnten sonst . . . Änderungen der Positionen der felderzeugenden
”
Ladungen bewirken, was möglichst ausgeschlossen werden soll.“[Sch03, S.24]
Man muss daher einen Grenzprozess vornehmen, bei dem das Verhältnis der auf den Pro”
bekörper ausgeübten Kraft zu der auf ihm sitzenden Ladung für immer kleiner werdenden Betrag
der Testladung gemessen wird.“[Jac06, S.30]
Während diese (experimentell gerechtfertigte) Vorgehensweise offenbar zu korrekten Ergebnissen führt, erscheint sie jedoch, theoretisch betrachtet, etwas künstlich. Haben wir etwa zwei
Punktladungen gleicher Quellenstärke, so erscheint es unnatürlich, von jeweils einer lediglich die
Ladung und von der anderen nur das Feld zu berücksichtigen.
So lässt sich fragen, wie sich ein Formalismus angeben lässt, in dem beide Quellen in symmetrischer Weise eingehen.
1.1
Kraftwirkung als Differential der Feldenergie
Die Energie des elektrostatischen Feldes wird in der einschlägigen Literatur [Jac06], [Sch03,
S.63ff] formuliert als uneigentliches Integral über den gesamten dreidimensionalen Raum, das
zerfällt in Selbstenergie- und Wechselwirkungsterme
W = Wii + Wjj + 2Wij .
Das Differential der Feldenergie1 nach dem Abstand d der Teilchen liefert dann einen Ausdruck
für die Kraft‘ zwischen diesen unter der Nahwirkungs-Sichtweise
’
∂
|F (d)| =
W,
∂d
welche dasselbe Ergebnis gemäß dem Coulombschen Gesetz
|F (d)| ∝
1
d2
1
Für den Differentialoperator wird hier anstelle von d durchgängig das Der -Symbol ∂ verwendet, welches
üblicherweise für die partielle Ableitung nach einer von mehreren Variablen steht. Betrachtet man die partielle
Ableitung als Ableitung nach einer von n Veränderlichen, rechtfertigt sich die Verwendung auch für n = 1.
Erkauft werden soll damit eine Einheitlichkeit der Schreibweise ohne Notwendigkeit der Unterscheidung, nach
wievielen Variablen ein Ausdruck abgeleitet werden könnte, sowie eine leichtere Lesbarkeit, insbesondere in Fällen
wie dem sogleich gezeigten, wo ∂d eindeutig zu verstehen ist im Gegensatz zu dd.
Das Der -Symbol wird dann sinngemäß auch durchgängig in allen Integralausdrücken verwendet.
3
liefert wie in der Probeladungs-Sichtweise.
Der phänomenologische Begriff der Kraft‘ wird dann überflüssig, wenn man diese wiederum
’
auffasst als Ableitung des Impulses eines Teilchens nach der Zeit
∂
p~ .
F~ =
∂t
Tatsächlich zeigt sich, dass die Probeladung‘ nicht vernachlässigbar klein sein muss, damit sie
’
das elektrische Feld nicht stört, sondern dass die Störung‘ des Feldes selbst die Kraftwirkung
’
hervorruft. Diese ergibt sich auch dann korrekt, wenn die beteiligten Ladungen von vergleichbarer
Größe sind.
Eine gewisse Schwierigkeit besteht darin, dass unter den klassischen Annahmen eines rein umgekehrt quadratischen Abstandsgesetzes die Selbstenergieterme ins Unendliche wachsen. Da diese
aber ohnehin konstant sind und zur Berechnung des Differentials nicht benötigt werden, können
sie aus der Berechnung der Gesamtenergie ausgeklammert und nur die Wechselwirkungsterme
∂
Wij
∂d
berücksichtigt werden, womit zumindest dieses Problem bei der Formulierung der Kraft umgangen wird.
|F (d)| =
Aber auch die Wechselwirkungsterme bereiten insofern ein Problem, als das Coulombsche Gesetz
zu Polstellen führt, die nicht integriert werden können. Daher wird in der Literatur empfohlen,
nur endlich klein ausgedehnte Strukturen wie etwa Kugelschalen oder aber kontinuierliche Ladungsdichteverteilungen zu integrieren.
Da hier nur die Anwendung auf mikroskopische Effekte betrachtet wird und reale Ladungen konkret an lokalisierte Teilchen gebunden sind, wird verzichtet auf die Behandlung kontinuierlicher
Ladungsdichteverteilungen. Stattdessen wird eine spezielle Form von endlich klein ausgedehnter
Struktur eingeführt.
1.2
Eine innere Tiefe‘ zur Begrenzung der Energieterme
’
Das Problem der unendlichen Energieterme besteht insbesondere bei der Selbstenergie, wenn
erklärt werden soll, wo diese Energie bei einem Teilchen endlicher Ruhemasse (und damit Ruheenergie) denn steckt.
Damit die hier berechneten Energieterme nicht ins Unendliche wachsen, wird eine innere Tiefe‘
’
eingeführt, die außerhalb der Raumdimensionen liegt, über die integriert wird und die somit
verhindert, dass die in die Berechnung eingehenden Abstände zu Null werden. Das könnte so
interpretiert werden, dass das Teilchen eine Ausdehnung jenseits des Raumes besitzt, beziehungsweise, dass der Raum selbst in diesem Bereich gewissermaßen aufgespult‘ ist.
’
Dies wäre eine weitere Lösung für das Problem der unendlichen Selbstenergieterme, wenngleich
noch zu untersuchen ist, ob und in welcher Weise dieser inneren Tiefe‘ eine physikalische Vor’
stellung zugeordnet werden kann, die nicht unter denselben Problemen leidet wie der klassische
’
Elektronenradius‘. Auch das wird in Abschnitt 3.2 näher diskutiert.
s. 3.2,
S. 24
4
2
Feldintegrale
Zunächst soll kurz resümiert werden, auf welche grundlegenden Zusammenhänge die weiteren
Ausführungen gestützt werden können.
Primär experimentell messbar ist lediglich die Kraft, die zwischen zwei Teilchen mit den Ladungen q und Q in einem Abstand r wirkt. So lässt sich empirisch die Proportionalität
F ∝
qQ
r2
finden.
Die Übernahme von Aussagen aus der Strömungslehre führt zu einer Formulierung, in der die
Ladung Q die Quelle eines elektrischen Flusses‘ der Quellenstärke Q darstellt (was immer dabei
’
auch fließen‘ mag).
’
Durch jede Kugelschale um die Quelle, mit Radius r und der Oberfläche 4πr2 , fließt‘ der gesamte
’
Fluss‘ Q. Somit lässt sich die Flussdichte‘ durch ein infinitesimales Flächenstück im Abstand
’
’
r formulieren als
Q
D=
,
4π r2
wobei der Faktor 4π auf natürliche Weise zustandekommt.
2.1
Makroskopische Feldstärke und Wegintegral
Durch Einführung eines willkürlichen Proportionalitätsfaktors ε, der Permittivität‘ des umge’
benden Mediums, lässt sich als makroskopische Hilfsgröße die elektrische Feldstärke‘
’
Q
D
=
E=
ε
4πε r2
formulieren und damit die Kraft zwischen zwei Ladungen als
q·D
q·Q
,
=
ε
4πε r2
wobei nun der Proportionalitätsfaktor ε experimentell bestimmt werden kann.
F =q·E =
Nun soll die potentielle Energie einer Ladung im elektrischen Feld formuliert werden. Unzweifelhaft ist aus der klassischen Mechanik der Zusammenhang Arbeit ist das Integral der Kraft
’
über den Weg‘,
Z
W = F ∂r ,
womit wir die potentielle Energie einer Probeladung‘ q im Feld einer Quelle Q angeben können,
’
indem wir die Arbeit berechnen, die aufgewendet werden muss, um die Probeladung aus unendlicher Ferne auf den Abstand r0 anzunähern.
Z ∞
Z
q·Q ∞ 1
q·Q 1
q·Q
W =
∂r =
∂r =
·
.
(1)
2
2
4πε r0 r
4πε |r0 |
r0 4πε r
5
Dabei wird gedanklich unterschieden zwischen zwei verschiedenen Eigenschaften der Ladung: Als
Q stellt die Ladung die Quelle des Feldes dar, wird aber selbst durch das Feld nicht beeinflusst,
und als q erfährt die Ladung eine Kraft im Feld, beeinflusst aber das Feld nicht.
In der Realität lassen sich diese beiden Ausprägungen der elektrischen Ladung nicht voneinander trennen, weshalb unten eine Formulierung hergeleitet werden soll, mit der diese Trennung
hinfällig wird.
Aus (1) lässt sich erkennen, dass für r0 → 0 die potentielle Energie gegen unendlich geht,
was physikalisch keinen Sinn ergibt und darauf hinweist, dass entweder geladene Teilchen eine
endliche Mindestgröße besitzen oder das in makroskopischem Maßstab beobachtete Prinzip F ∝
1
nicht bis in kleinste Dimensionen hinein gültig sein kann.
r2
2.2
Der klassische Elektronenradius‘
’
Aus (1) kann man berechnen,
W =
q·Q
4πε r0
⇔
r0 =
q·Q
,
4π ε W
welche Mindestgröße r0 ein geladenes Teilchen aufweisen müsste, damit seine elektrische Energie
die aus der Ruhemasse berechnete Ruheenergie nicht übersteigt.
Im Falle des Elektrons erhält man bei Einsetzen der Elementarladung q = Q = e, der Vakuumpermittivität ε = ε0 , sowie der Ruheenergie W = me c2 den bekannten klassischen Elektronen’
radius‘ zu
re =
e2
≈ 2, 818 fm ,
4πε0 me c0 2
was allerdings experimentellen Befunden widerspricht, nach denen bisher keine Untergrenze
für die Größe eines Elektrons gefunden konnte, weshalb das Elektron gemeinhin als unendlich
kleines, punktförmiges Teilchen betrachtet wird.
2.3
Mikroskopische Feldstärke und Volumenintegral
Unter der (nachträglich begründeten) ad-hoc-Annahme, dass die lokale Energiedichte dem Quadrat der mikroskopischen Feldstärke, E 2 , proportional ist mit dem Faktor ε,2 wird die Selbstenergie als Volumenintegral
I ∞
W =
ε E 2 ∂r3
r0
∞
I
=
r0
Q2
1
·
∂r3
16π 2 ε r4
=
Q2
· 4π
16π 2 ε
Z
∞
r0
1
∂r
r2
1
Q2
·
=
4πε |r0 |
2
in manchen Quellen wird als Proportionalitätsfaktor
sistenten Ergebnisse erhalten werden.
6
ε
2
angegeben. Damit konnten hier allerdings keine kon-
formuliert, was im Ergebnis (1) entspricht und auf denselben Wert für den klassischen Elektro’
nenradius‘ führt.
Damit zeigt sich, dass das Volumenintegral der mikroskopisch formulierten Feldstärke dem Wegintegral der makroskopisch formulierten Feldstärke nach (1) entspricht,
I ∞
Z
Q2 ∞ 1
Q2
1
3
∂r
=
∂r ,
16π 2 ε r0 r4
4πε r0 r2
und dass deren Gleichsetzung hier, auch ohne weiteren Proportionalitätsfaktor, gerechtfertigt
ist.
2.4
Einführung der inneren Tiefe‘
’
Nun wird eine für ein Teilchen konstante Länge w eingeführt, die einen Mindestabstand unabhängig von den drei Raumdimensionen darstellen soll. Die mikroskopische Feldstärke wird
dazu neu formuliert als
Q
,
(2)
E=
4πε0 (r2 + w2 )
was für w → 0 natürlich in die klassische Definition übergeht. Damit wird die Selbstenergie
berechnet zu
vgl. 4.2,
I ∞
Z ∞
S. 38 ff.
2
2
2
Q
Q
1
r
3
W =
∂r
=
·
4π
∂r
2
2 2
16π 2 ε r0 (r2 + w2 )2
16π 2 ε
r0 (r + w )
|w| Q2
r0
1
=
+ 2
·
arctan
.
8πε
|w|
|r0 |
r0 + w 2
Ohne die innere Tiefe‘ ergibt sich im Grenzfall
’
1
Q2
·
,
lim W =
w→0
4πε |r0 |
was (1) entspricht und woraus wieder der klassische Elektronenradius‘ hergeleitet werden kann.
’
Im Grenzfall der Annäherung auf r0 → 0 erhalten wir mit der inneren Tiefe‘ jedoch als Selbst’
energie
lim W =
r0 →0
Q2
1
·
,
16 ε |w|
(3)
womit eine zum klassischen Elektronenradius‘ analoge Rechnung unternommen werden kann,
’
um eine Untergrenze für die innere Tiefe‘ we des Elektrons zu finden, bei dem die Selbstenergie
’
seiner Ruheenergie entspricht.
Allerdings entspricht für w 6= 0 das Volumenintegral der mikroskopisch formulierten Feldstärke
nicht mehr dem Wegintegral der makroskopisch formulierten Feldstärke,
I ∞
Z
Q2
1
Q2 ∞
1
3
∂r
=
6
∂r ,
2
2
2
2
2
16π ε r0 (r + w )
4πε r0 r + w2
sodass deren Gleichsetzung nicht mehr gerechtfertigt ist.
7
2.5
Die innere Tiefe‘ des Elektrons
’
Aus (3) erhalten wir
Q2
,
16 ε W
und bei Einsetzen der Elementarladung Q = e, der Permittivität des Vakuums ε = ε0 und der
Ruheenergie des Elektrons W = me c0 2
w=
we =
e2
π
= re
2
16 ε0 me c0
4
(1.6022 · 10−19 As)2
16 · (8.854 · 10−12 As/Vm) · (9.1094 · 10−31 kg) · (299.79 · 106 m/s)2
≈ 2.2133 fm
≈
als mindeste innere Tiefe‘ des Elektrons, das entspricht dem
’
nenradius‘.
2.6
π
4 –fachen
(4)
des klassischen Elektro’
Gesamtenergie-Raumintegral zweier Ladungen
Für zwei Ladungen Qi , Qj an den respektiven Orten ~ri , ~rj ergibt sich die gesamte Feldenergie
effektiv als Integral des Betragsquadrates der additiv überlagerten Feldstärkevektoren über den
gesamten Raum:
2
I Qj · ~rj
Qi · ~ri
W =
ε
+
∂~r
(5)
4πε k~ri k3 4πε k~rj k3
mit
~
~ri = ~r − d,
~rj = ~r + d~
~
Die Ladungen Qi , Qj befinden sich in einem Abstand von 2d an den Punkten −d~ und +d.
Nach der binomischen Formel (a + b)2 = (a2 + b2 + 2ab) kann (5) zerlegt werden in zwei verschiedene Selbstenergie- und zwei gleiche Wechselwirkungsterme
I Qj · ~rj 2
Qi Qj · ~ri · ~rj
1
Qi · ~ri 2
W =
+
+2
∂~r ,
16π 2 ε
k~ri k3
k~rj k3
k~ri k3 k~rj k3
wobei
~r 2 k~r k2
1
i
i
=
=
.
3
6
k~ri k
k~ri k
k~ri k4
Die Gesamtenergie zerfällt also in zwei den jeweiligen Ladungen zugeschriebenen Selbstenergieterme Wii , Wjj plus einen (doppelten) Wechselwirkungsterm 2Wij für beide Ladungen untereinander:
W = Wii + Wjj + 2Wij
(6)
8
mit jeweils dem Selbstenergieterm
I Q2i
1
Wii =
∂~r
16π 2 ε
k~ri k4
(7)
und dem Wechselwirkungsterm
I Qi Qj
~ri · ~rj
Wij =
∂~r .
16π 2 ε
k~ri k3 k~rj k3
2.7
(8)
Verallgemeinerung für mehrere Teilchen
Ausgehend von (5) für zwei Teilchen kann problemlos eine Summe über Paare von n Teilchen
dargestellt werden:
n X
n I X
~
~
W =
ε
E(~ri ) · E(~rj ) ∂~r
(9)
i=0 j=0
Anders als in gewissen Literaturquellen (z.B. [Sch03, S.65], [Jac06, S.49]) dargestellt, ist es hier
nicht nötig, die Selbstenergieterme durch die Bedingung i 6= j auszublenden, sobald diese durch
geeignete Maßnahmen endlich gemacht wurden und die Summation nicht mehr stören. Bei der
Berechnung von Energiedifferenzen werden sie als konstante Terme ohnehin herausfallen.
Auch kommt in dieser Summe jede Wechselwirkung zwischen zwei verschiedenen Teilchen doppelt vor, was korrekt den Vorfaktor 2 wiedergibt.
Für konkrete numerische Berechnungen würde man freilich zur Arbeitsersparnis die Berechnung
der Selbstenergieterme in der Diagonalen auslassen sowie nur eine Hälfte der übrigen Kombinationen berechnen (z.B. i < j) und das Ergebnis mit 2 multiplizieren, falls dieser Vorfaktor
überhaupt benötigt wird.
2.8
Selbstenergie-Volumenintegral einer Ladung
Ausgehend von (7) kann das Selbstenergieintegral in einem kartesischen Koordinatensystem
formuliert werden als
I 1 3
Q2i
∂ (x|y|z)
Wii =
16 π 2 ε0
k~rk4
mit ~r = (x|y|z|w), wobei sich die Ladung Qi am Punkt (0|0|0|0) befindet, über (x|y|z) integriert
wird und w 6= 0 als Konstante wieder die innere Tiefe‘ bedeutet, die dafür sorgt, dass der
’
Nenner im Integral niemals zu Null wird und damit keine Singularität auftritt.
So ergibt sich die Feld-Selbstenergie Wii als Volumenintegral über den gesamten Raum zu
I
Q2i
1
Wii =
∂ 3 (x|y|z)
16π 2 ε0
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )2
Q2i
=
.
(10)
16 ε0 |w|
9
Mehrere Herleitungen dafür sind angegeben in (4.2), ab Seite 38.
2.9
s. 4.2,
S. 38 ff.
Volumenintegrale der Wechselwirkung
Zur Berechnung der Wechselwirkungsenergien führen wir nicht nur eine innere Tiefe‘ w ein,
’
sondern leiten auch her, was sich bei Unterscheidung zweier verschiedener inneren Tiefen‘ wi , wj
’
ergibt, da es zur Berechnung der abgeleiteten Größen formal erforderlich sein wird, den Grenzfall
zu untersuchen, bei dem nur eine der beiden inneren Tiefen‘ wj → 0 strebt.
’
Da der korrekte Ansatz in seiner allgemeinen Form allerdings nicht analytisch lösbar ist, werden
zwei andere verwandte Fälle untersucht, welche zwar beide formal inkorrekt sind, aber quantitative Berechnungen ermöglichen, aus denen immerhin qualitative Abschätzungen gefolgert
werden können.
2.9.1
Der formal korrekte Ansatz
Der korrekte Ansatz für die Wechselwirkungsenergie wäre gemäß (8)
I I
Qi Qj
~ri · ~rj
Qi Qj
∂~r =
f ∂~r ,
Wij =
16π 2 ε
k~ri k3 k~rj k3
16π 2 ε
mit ~ri , ~rj als die dreidimensionalen Koordinaten im Raum, bezogen auf die jeweilige Position
der Ladungen Qi , Qj und w 6= 0, der inneren Tiefe‘.
’
Da im Zähler beide Ortsvektoren multipliziert werden, können anhand der Vorzeichen von w
zwei verschiedene Fälle unterschieden werden. Während immer
~ri = (+d|0|0| + w) ,
(11)
~rj = (−d|0|0| + w)
(12)
kann
(Hier ragen die inneren Tiefen‘ beider Teilchen gewissermaßen gleichsinnig in die vierte Raum’
richtung) oder
~rj = (−d|0|0| − w) .
(13)
(Hier ragen die inneren Tiefen‘ beider Teilchen gewissermaßen entgegengesetzt in die vierte
’
Raumrichtung)
Im Nenner jedoch wird jeder Ortsvektor nur mit sich selbst multipliziert, sodass deren Vorzeichen, und damit die Vorzeichen von w, nicht in die Wechselwirkungsenergie eingehen.
10
Nun ist, in kartesischen Koordinaten ausgedrückt,
f=
~ri · ~rj
k~ri k3 k~rj k3
(x + d)(x − d) + y 2 + z 2 ± w2
((x − d)2 + y 2 + z 2 + w2 )3/2 ((x + d)2 + y 2 + z 2 + w2 )3/2
x2 + y 2 + z 2 − d2 ± w2
=
((x2 + y 2 + z 2 + w2 − d2 )2 + 4(y 2 + z 2 + w2 )d2 )3/2
x2 + y 2 + z 2 − d2 ± w2
=
,
((x2 + y 2 + z 2 + w2 + d2 )2 − 4x2 d2 )3/2
=
(vgl. (93), S. 48)
(vgl. (92), S. 48)
(14)
was aber nicht analytisch lösbar ist, auch nicht für den Fall w = 0. Dies wird näher untersucht
im Anhang, 4.3.5.
s. 4.3.5,
S. 65
Maximalenergien
Für d = 0 lassen sich immerhin analytische Lösungen für die maximale Annäherung finden.
Im ersteren Fall, bei gleichen Vorzeichen der w, erhalten wir für d → 0 aus (14)
lim f
=
d→0
x2 + y 2 + z 2 + w2
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )3
und, gemäß der Herleitung in 4.2,
I
Qi Qj
f ∂x ∂y ∂z
Wij =
16π 2 ε
=
=
1
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )2
Qi Qj π 2
·
16π 2 ε |w|
vgl. (66),
S. 38
=
Qi Qj
,
16 ε |w|
(15)
das ist identisch mit der einzelnen Selbstenergie jedes der beiden Teilchen, und damit ist
Wij = Wji =
Qi Qj
= Wii = Wjj ,
16 ε |w|
die Gesamtenergie Wij + Wji + Wii + Wjj zweier identischer Teilchen im Abstand 2d = 0 mit
wi = wj 6= 0 das Vierfache der einzelnen Selbstenergie.
Im zweiten Fall, bei verschiedenen Vorzeichen der w, erhalten wir für d → 0 aus (14)
x2 + y 2 + z 2 − w2
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )3
1
1
− 2w2 2
.
= 2
(x + y 2 + z 2 + w2 )2
(x + y 2 + z 2 + w2 )3
lim f =
d→0
Das Integral der linken Seite ist identisch mit (15). Zur Bestimmung der rechten Seite,
I
1
π2
∂x
∂y
∂z
=
,
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )3
4 |w3 |
11
bilden wir zunächst das Rotationsintegral über x, y mit den Substitutionen r2 := x2 + y 2 und
a2 = z 2 + w2 gemäß (65),
Z ∞
π
π
r
∂r = 4 =
,
2π
2
2
3
2
(r + a )
2a
2 (z + w2 )2
0
sodann wird mit x2 := z 2 und a2 := w2 linear integriert über ∂z, wie in (61),
Z
π +∞
π
π
π2
1
∂x
=
·
=
,
2 −∞ (x2 + a2 )2
2 2 |a3 |
4 |w3 |
Damit ergibt sich für die gesamte Wechselwirkungsenergie
I
π2
π2
π2
− 2w2
=
,
f ∂x ∂y ∂z =
|w|
4 |w3 |
2 |w|
das ist die Hälfte des in (15) erhaltenen Wertes und wir bekommen
Wij = Wji =
Qi Qj
1
1
= Wii = Wjj .
32 ε |w|
2
2
Damit ist die Gesamtenergie Wij + Wji + Wii + Wjj zweier identischer Teilchen im Abstand
2d = 0 mit wi = −wj 6= 0 das Dreifache der einzelnen Selbstenergie.
2.9.2
Alternativer Ansatz A
Im Folgenden wird eine Formel hergeleitet, die einen möglichen Denkfehler wiedergibt und dennoch bewusst durchgerechnet wird.
2
I Qj
Qi
W =
ε
+
∂~r
4πε k~ri k2 4πε k~rj k2
I Qj 2
Qi Qj
Qi 2
1
+
+2
∂~r
=
16π 2 ε
k~ri k2
k~rj k2
k~ri k2 k~rj k2
Dabei erhalten wir zwar dieselben Selbstenergieterme wie im korrekten Ansatz,
I Q2i
1
Wii =
∂~r ,
16π 2 ε
k~ri k4
doch anstatt im Wechselwirkungsterm das Skalarprodukt der Feldstärkevektoren in jedem Raumpunkt zu bilden, multiplizieren wir hier lediglich deren Beträge:
I Qi Qj
1
Wij =
k
∂~r
(16)
16π 2 ε
k~ri k2 k~rj k2
Die Konstante k wird hier eingeführt, da nicht davon auszugehen ist, dass dieser eigentlich falsche
Ansatz von sich aus ein Ergebnis liefert, dessen Grenzfälle sowohl dem klassischen CoulombKraftgesetz als auch der oben berechneten Selbstenergie entsprechen. Diese Konstante wird
weiter unten bestimmt zu k = 2/π 2 , womit die genannten Bedingungen erfüllt werden.
12
vgl. (61),
S. 34
Bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Sei also
~ri = (x + d|y|z| + w),
~rj = (x − d|y|z| − w)
Hier sind ~ri , ~rj die Koordinaten im dreidimensionalen Raum und w 6= 0 wieder die innere Tiefe‘.
’
Die Ladungen Q1 , Q2 befinden sich in einem Abstand von 2d an den Punkten (−d|0|0| + w) und
(+d|0|0| − w), d.h., entlang einer der Raumrichtungen, über die integriert wird.
Mit dem unendlichen Volumenintegral über alle drei Raumrichtungen (Für die Herleitung siehe
4.3.3)
s. S. 45
I
1
∂(x|y|z)
2
2
2
2
((x − d) + y + z + w )((x + d)2 + y 2 + z 2 + w2 )
d π2
arctan
(17)
=
d
|w|
erhalten wir für die Wechselwirkungsenergie, unter Vorbehalt der später zu bestimmenden Konstante k,
d Qi Qj
π2
Wij (d, w) =
.
(18)
k
·
arctan
16π 2 ε
d
|w|
Mit separaten inneren Tiefen‘
’
Bei Unterscheidung verschiedener innerer Tiefen‘ wi , wj der beiden Teilchen,
’
~ri = (x + d|y|z| + wi ) ,
~rj = (x − d|y|z| − wj ) ,
ergibt sich die Wechselwirkungsenergie zu
Wij (d, wi , wj )
I
Qi Qj
1
=
k
∂(x|y|z)
2
2
2
2
2
16π ε
((x − d) + y + z + wi )((x + d)2 + y 2 + z 2 + wj 2 )
4d2 − (w 2 − w 2 ) 1
4d2 + (w 2 − w 2 ) Qi Qj
π2 1
i
j
i
j
.
k
·
arctan
+
arctan
=
16π 2 ε
d 2
4d |wi |
2
4d |wj |
s. 4.3.4,
S. 53
(19)
Für wi = wj reduziert sich das auf (18).
Mit einseitiger innerer Tiefe‘
’
Lässt man eine der beiden inneren Tiefen‘, wj → 0, gegen Null streben, so ergibt sich
’
aus (19)
vgl. (114),
S. 62
Wij (d, wi , 0) = lim Wij (d, wi , wj )
wj →0
Qi Qj
k·
16π 2 ε
Qi Qj
k·
=
16π 2 ε
=
4d2 − w 2 π2
i
arctan
2d
4d |wi |
2d π2
.
arctan
d
|wi |
13
(20)
Kraftwirkung
Die Kraft ergibt sich als Differential der doppelten Wechselwirkungsenergie 2Wij
nach dem Abstand 2d, für einheitliches w aus (18) zu
∂
∂
2Wij (d, w) =
Wij (d, w)
∂ 2d
∂d
d Qi Qj
π2
1
|w|
k·
− arctan
,
=
16π 2 ε
d (d2 + w2 ) d
|w|
vgl. (97),
S. 50,
Fij (d, w) =
(21)
für separate wi , wj aus (19) zu
vgl. (113),
S. 62
∂
∂
2Wij (d, wi , wj ) =
Wij (d, wi , wj )
∂2d
∂d
4d2 − (w 2 − w 2 ) Qi Qj
π2 1
i
j
=−
k
·
arctan
16π 2 ε
d 2d
4d |wi |
4d2 + (w 2 − w 2 ) 2(|wi | + |wj |)
1
i
j
+
, (22)
arctan
+ 2
2d
4d |wj |
4d + (|wi | + |wj |)2
Fij (d, wi , wj ) =
und im einseitigen Fall für wj → 0 aus (20) oder (22) zu
∂
∂
2Wij (d, wi , 0) =
Wij (d, wi , 0)
∂ 2d
∂d
2d Qi Qj
π2
1
2 |wi |
.
k·
− arctan
=
16π 2 ε
d 4d2 + wi 2 d
|wi |
vgl. (116),
S. 63
Fij (d, wi , 0) =
(23)
Negatives Vorzeichen ist dabei jeweils als Abstoßung zu interpretieren, positives als Anziehung.
Elektrische Feldstärke
Die (makroskopische) Feldstärke als Funktion des Abstandes wird nach der klassischen Definition
als proportional zur Kraft in diesem Abstand und damit nun proportional zur Ableitung der
Wechselwirkungsenergie nach dem Abstand aufgefasst.
Dazu wird einem der beiden Teilchen, j, als Probeteilchen‘ im Gegensatz zum Zentralteilchen‘
’
’
i, eine unabhängige innere Tiefe‘ wj → 0 zugemessen und auch der Grenzübergang Qj → 0
’
vollzogen.
Ausgehend von |F | = |E| · q erhalten wir dann die makroskopische elektrische Feldstärke durch
E(d, wi ) = lim lim
wj →0 Qj →0
Fij (d, wi , 0)
Qj
aus (23) zu
2π 2
Qi
k
·
E(d, wi ) =
16π 2 ε
d
2d |wi |
1
−
arctan
.
4d2 + wi 2 2d
|wi |
14
(24)
Für d wi , also wi → 0, geht dies über in ein quadratisch-reziprokes Abstandsgesetz
2π 2
Q
1 π
Q
π
k·
− ·
=−
k· 2.
E(d, 0) = lim E(d, wi , 0) =
wi →0
16π 2 ε
d
2d 2
32 ε0
d
(25)
Eine kurze Betrachtung zeigt, dass dasselbe Ergebnis auf einfacherem Wege auch
aus (21) erhalten werden kann.
Krafteichung‘
’
Durch Vergleich von (25) mit dem klassischen Coulomb-Gesetz
|E(2d)| =
1
Q
·
4πε 4d2
(26)
können wir nun rückwirkend die Konstante k bestimmen zu
π
Q
1
Q
k· 2 =
· 2
32ε
d
4πε 4d
⇔
k=
2
.
π2
Energieeichung‘
’
Nach Einsetzen der so bestimmten Konstante k in (18) erhalten wir als Ausdruck für
die Wechselwirkungsenergie bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Qi Qj 1
d
,
Wij (d, w) =
· arctan
8π 2 ε d
kw |w|
(27)
wobei als weitere Konstante kw eingeführt wird, welche sogleich bestimmt werden soll.
Für i = j und damit d → 0 soll sich (27) auf die Selbstenergie nach (10) reduzieren.
Wegen
lim
d→0
d 1
1
=
arctan
d
kw |w|
kw |w|
(Die augenfällige Polstelle wird dabei tatsächlich behoben, siehe Abbildung 1 sowie
die Ausführungen auf Seite 31) erhalten wir aus (27):
d Qi Qj 1
lim Wij (d, w) = lim
· arctan
d→0
d→0 8π 2 ε d
kw |w|
Qi Qj
1
=
·
.
8π 2 ε kw |w|
Ein Vergleich mit (10) lässt uns mit Qi = Qj auch die zweite Konstante kw bestimmen zu
Q2i
1
Q2i
·
=
8π 2 ε kw |w|
16 ε |w|
⇔
kw =
2
.
π2
15
(28)
Zusammenfassung
Nach Einsetzen der beiden so ermittelten Konstanten k = kw = 2/π 2 erhalten wir aus (18) als
Wechselwirkungsenergie bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Qi Qj 1
π2d
Wij (d, w) =
·
arctan
,
8π 2 ε d
2 |w|
welche sich für i = j und damit d → 0 reduziert auf die Selbstenergie (10)
Wii (0, w) =
vgl. (28)
Q2
1
,
·
16 ε |w|
sowie aus (24) die makroskopische Feldstärke
π 2 d 1
1
Q
π 2 |w|
E(d, w) = 2 ·
− arctan
,
8π ε d π 4 d2 + w2 d
|w|
(29)
welche sich für w → 0 reduziert auf die Coulomb-Feldstärke für den Abstand 2d
Q
1
1 π
Q
1
0−
=−
E(d) = 2 ·
·
· 2.
4π ε d
2d 2
4πε 4d
Wij =
Qi Qj
8π 2 ·
1
d
vgl. (25)
2
π d
arctan 2|w|
Wmax =
Qi Qj
16 ·
1
|w|
d
−w
+w
0.1670
w
QQ
Fmax = − 8πi 2 j ·
Fij =
Qi Qj
8π 2 ·
π2 w
d(π 4 d2 +w2 )
−
1
d2
28.468
w2
arctan
π2 d
w
Abbildung 1: Ansatz A: Wechselwirkungsenergie und Kraft bei kleinen Abständen und einheitlicher innerer Tiefe‘ w
’
16
Maximale Feldstärke
Das Maximum der Feldstärke ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung von (29)
für einen Abstand von
d0 ≈ ± 0.412133 ·
2
w ≈ ± 0.0835156 · w
π2
s. 4.3.4,
S. 64
(30)
und nach Einsetzen von d0 in (29) zu
π 2 · 0.0835156 w 1
π2w
1
Q
−
arctan
E(d0 , w) ≈ 2 ·
8π ε 0.0835156 w π 4 (0.0835156)2 w2 + w2 0.0835156 w
w
2
Q
1
1
0.689363
π
≈ 2 · 2·
−
4
2
8π ε w 0.0835156 (π (0.0835156) + 1) 0.0835156
Q
1
≈ 2 · 2 · −28.4676 .
(31)
8π ε w
Maximale Feldstärke des Elektrons
Die maximale von einem Elektron verursachte elektrische Feldstärke ergibt sich dann im Rahmen
aller angenommen Voraussetzungen aus (30), (31) und (4) mit Q = e und w = we in einem
Abstand von
|d| ≈ 0.0835156 · |we | ≈ 0.18485 fm
zu
Ee ≈
e
8π 2 ε
0 we
2
· −28.4676
−28.4676 · (1.6022 · 10−19 As)
8π 2 (8.854 · 10−12 As/Vm)(2, 21335 · 10−15 m)2
≈ 1.3318 · 1021 V/m .
≈
Maximale Kraft zwischen Elektronen
Aus (21) erhalten wir nach Einsetzen von k = kw = 2/π 2 als Formel für die Kraft bei einheitlicher
innerer Tiefe‘
’
π 2 d Qi Qj 1
1
2π 2 |w|
·
− arctan
Fij (d, w) =
,
(32)
8π 2 ε d π 4 d2 + 4w2 d
2 |w|
Das Maximum der Kraft ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung von (32)
für einen Abstand von
d0 = ± 0.824266 ·
2
w = ± 0.167031 · w
π2
17
vgl. (101),
S. 52
und nach Einsetzen von d0 in (32) zu
π 2 · 0.167031w Qi Qj
1
2π 2 w
1
Fij (d0 , w) ≈ 2 ·
−
arctan
4π ε0 0.167031w π 4 (0.167031)2 w2 + 4 w2 0.167031w
2w
2
Qi Qj 1
1
0.689363
2π
−
≈ 2 · 2·
4
2
4π ε0 w 0.167031 (π (0.167031) + 4) 0.167031
Qi Qj 1
≈ 2 · 2 · −7.11693 ,
8π ε0 w
und daraus speziell für zwei Elektronen mit Qi = Qj = e, ε = ε0 sowie w = we
Fe ≈
e2
8π 2 ε
2
0 we
· −7.11693
−7.11693 · (1.6022 · 10−19 As)2
8π 2 (8.854 · 10−12 As/Vm)(2.21335 · 10−15 m)2
≈ −53.345 N ,
≈
umgangssprachlich sind das etwa 5.44 Kilopond an Abstoßung – diese Größe ist immerhin handlich vorstellbar.
2.9.3
Alternativer Ansatz B
Nun wird die Vereinfachung noch weiter getrieben. Auch hier rechnen wir, wie in (16), nur mit
den Beträgen der Feldstärke:
I Qi Qj
1
Wij =
∂~r
k
16π 2 ε
k~ri k2 k~rj k2
Doch wenn man schon eine innere Tiefe‘ w einführt, um einen Mindestabstand zwischen den
’
Teilchen einzuführen, der in keine der Integrationsrichtungen eingeht, so könnte man dasselbe
doch auch mit dem Abstand 2d tun und sehen, was dabei herauskommt.
Bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
So setzen wir
~ri = (x|y|z| + w| + d),
~rj = (x|y|z| − w| − d) .
Hier sind ~ri , ~rj die Koordinaten im dreidimensionalen Raum und w 6= 0 wieder die innere Tiefe‘.
’
Die Ladungen Qi , Qj befinden sich in einem Abstand von 2d an den Punkten (0|0|0| + w| − d)
und (0|0|0| − w| + d), d.h. orthogonal zu allen Raumrichtungen, über die integriert wird. Das
sind nun fünf Dimensionen, wobei über lediglich drei davon integriert wird – die inneren Tiefen‘
’
und der Abstand bleiben dabei in einem Irgendwo‘ verborgen.
’
Die Selbstenergieterme sind dieselben wie in (10), doch für die Wechselwirkung betrachten wir
den Abstand 2d als jenseits der drei Raumrichtungen, über die integriert wird und auch hier
entsprechen die Ergebnisse für den Grenzfall d w den klassischen Erwartungen.
18
Für den Fall einheitlicher innerer Tiefe‘ kann dieses besonders einfache Wechselwirkungsinte’
’
gral‘ genauso leicht berechnet werden wie die Selbstenergieterme. Die Herleitung erfolgt analog
zum Selbstenergie-Raumintegral, wie in 4.3.1 gezeigt wird.
vgl. (4.3.1),
Die Wechselwirkungsenergie ergibt sich zu
I
Qi Qj
1
∂(x|y|z)
Wij (d, w) =
k
2
2
2
16π 2 ε
(x + y + z + d2 + kw 2 w2 )2
Qi Qj
π2
=
k· p
,
2
16π ε
d2 + kw 2 w2
S. 40
(33)
wobei auch hier die Konstanten k und kw nachträglich bestimmt werden sollen.
Mit separaten inneren Tiefen‘
’
Setzen wir
~ri = (x|y|z| + wi | + d),
~rj = (x|y|z| − wj | − d)
Bei Unterscheidung verschiedener innerer Tiefen‘ der beiden Teilchen ergibt sich
’
mit wi , wj die Wechselwirkungsenergie zu:
s. 4.3.2,
S. 41
Wij (d, wi , wj )
I
Qi Qj
1
k
∂(x|y|z)
=
2 2
2
2
2
2
16π 2 ε
(x + y + z + d + kw wi )(x2 + y 2 + z 2 + d2 + kw 2 wj2 )
=
Qi Qj
2π 2
q
k
·
.
q
16π 2 ε
d2 + kw 2 wi2 + d2 + kw 2 wj2
(34)
Für wi = wj reduziert sich das, wie zu erwarten, auf (33).
Mit einseitiger innerer Tiefe‘
’
Lässt man eine der beiden inneren Tiefen‘, wj → 0, gegen Null streben, so ergibt sich
’
aus (34)
vgl. (77),
S. 42
Wij (d, wi , 0) = lim Wij (d, wi , wj )
wj →0
=
Qi Qj
2π 2
p
.
k
·
16π 2 ε
|d| + d2 + kw 2 wi 2
(35)
Kraftwirkung
Die Kraft ergibt sich als Differential der doppelten Wechselwirkungsenergie 2Wij nach
dem Abstand 2d, für einheitliches w = wi = wj aus (33) zu
19
s. 4.3.1,
S. 40
∂
2Wij (d, w)
∂ 2d
Qi Qj
π2d
k
·
=−
,
16π 2 ε
(d2 + kw 2 w2 )3/2
Fij (d, w) =
(36)
für separate wi , wj aus (34) zu
Fij (d, wi , wj ) =
=−
s. 4.3.2,
S. 43
∂
2Wij (d, wi , wj )
∂ 2d
2π 2 d
q
,
q
2 2
d2 + kw 2 wj 2
(d2 + kw 2 wi 2 )(d2 + kw 2 wj 2 )
w wi +
Qi Qj
k · p
16π 2 ε
d2 + k
(37)
und für einseitiges wi mit wj → 0 aus (35) oder (37) zu
∂
2Wij (d, wi , wj )
∂ 2d
Qi Qj
2π 2
p
k
·
.
=−
16π 2 ε
kw 2 wi 2 + d2 + |d| d2 + kw 2 wi 2
s. 4.3.2,
S. 43
Fij (d, wi , 0) =
(38)
Auch hier ist negatives Vorzeichen als Abstoßung zu interpretieren, positives als Anziehung.
Elektrische Feldstärke
Aus (38) erhalten wir wiederum die makroskopische elektrische Feldstärke
E(d, wi ) = lim lim
wj →0 Qj →0
=
Fij (d, wi , 0)
Qj
Q
2π 2
p
k
·
.
16π 2 ε
kw 2 wi 2 + d2 + |d| d2 + kw 2 wi 2
(39)
Für d wi , also wi → 0, geht dies über in das quadratisch-reziproke Abstandsgesetz
E(d, 0) = lim E(d, wi , 0) =
wi →0
π2
Q
k
·
.
16π 2 ε
d2
Dasselbe Ergebnis lässt sich auch aus (36) erhalten.
Krafteichung‘
’
Durch Vergleich von (40) mit dem klassischen Coulomb-Gesetz für einen Abstand
von 2d bestimmen wir rückwirkend die Konstante k zu
Q
π2
Q
1
k
·
=
·
16π 2 ε
d2
4πε 4d2
⇔
k=
1
.
π
Energieeichung‘
’
20
(40)
Nach Einsetzen der so bestimmten Konstante k = π1 in (33) erhalten wir als Ausdruck für
die Wechselwirkungsenergie bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Qi Qj
1
.
(41)
·p
Wij (d, w) =
2
16π ε
d + kw 2 w2
Für i = j und damit d → 0 soll sich (41) auf die Selbstenergie reduzieren. Ein Vergleich
mit (10) lässt uns daher auch die zweite Konstante kw bestimmen zu
lim Wii (d, w) =
d→0
Q2i
Q2i
=
16π ε kw |w|
16 ε |w|
⇔
kw =
1
.
π
Zusammenfassung
Nach Einsetzen der so ermittelten Konstanten k = kw = π1 erhalten wir aus (33) die
Wechselwirkungsenergie bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Qi Qj
Qi Qj
1
1
=
,
Wij (d, w) =
·q
·√
16π ε
16 ε
π 2 d2 + w 2
d2 + ( 2 w)2
(42)
π
welche sich für i = j und damit d → 0 reduziert auf (10)
Wii (0, w) =
Q2
1
·
,
16 ε |w|
sowie aus (39) die makroskopische Feldstärke
1
Q
p
· w 2
2
8πε ( π ) + d2 + |d| d2 + ( w
π)
Q
π
√
=
·
,
2
2
2
8ε w + π d + π |d| π 2 d2 + w2
E(d, w) =
(43)
welche sich für w → 0 reduziert auf die Coulombsche Feldstärke für den Abstand 2d
E(d) =
Q
1
· 2.
4πε 4d
Maximale Feldstärke
Das Maximum der makroskopischen Feldstärke ergibt sich durch Nullsetzen der
Ableitung von (43) für einen Abstand von d → ±0 und nach Einsetzen zu
|E(0, w)| =
Q π
·
.
8 ε w2
s. 4.3.2,
S. 44
(44)
Maximale Feldstärke des Elektrons
21
Wij =
Qi Qj
16 ·
√
1
π 2 d2 +w2
Wmax =
Qi Qj
16 ·
1
w
d
−w
+w
0.225
w
QQ π
Fmax = − 24i√3j ·
Fij = −
Qi Qj
16 ·
1
w2
π2 d
(π 2 d2 +w2 )3/2
Abbildung 2: Ansatz B: Wechselwirkungsenergie und Kraft bei kleinen Abständen und einheitlicher innerer Tiefe‘ w, unter gleicher Skalierung wie in Abbildung 1
’
Die maximale von einem Elektron verursachte elektrische Feldstärke ergibt sich dann
aus (44) und (4) zu
e π 16 ε0 me c2 2 32π ε0 m2e c4
·
=
Ee =
8 ε0
e2
e3
−12
32π · (8.854 · 10
As/Vm) · (9.1094 · 10−31 kg)2 · (299.79 · 106 m/s)4
≈
(1.6022 · 10−19 As)3
≈ 1.4506 · 1021 V/m .
Maximale Kraft zwischen Elektronen
Aus (36) erhalten wir nach Einsetzen von k = kw = 1/π als Formel für die Kraft bei
einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Qi Qj
Qi Qj
d
π2d
· 2
·
=
−
.
Fij (d, w) = −
1
16πε (d + π2 w2 )3/2
16 ε (π 2 d2 + w2 )3/2
Das Maximum der Kraft ergibt sich durch Nullsetzen der Ableitung von (45)
für einen Abstand von
1
1
|d0 | = √ kw w = √ w ≈ 0.225079 w
2
π 2
22
(45)
vgl. (73),
S. 41
nach Einsetzen von d0 in (45) zu
Fij (d0 , w) = −
Qi Qj
Qi Qj 2π
π
1
· √ · 2 =−
· √
2
16πε 3 3 w
εw
24 3
≈−
Qi Qj
· 0.0755750 ,
ε w2
und daraus speziell für zwei Elektronen mit Qi = Qj = e, ε = ε0 sowie w = we
e2
· 0.0755750
ε0 we2
(1.6022 · 10−19 As)2
≈−
· 0.0755750
(8.854 · 10−12 As/Vm) · (2.21335 · 10−15 m)2
≈ −44.727 N ,
Fe ≈ −
das sind umgangssprachlich etwa 4.56 Kilopond Abstoßung – auch diese Größe ist handlich
vorstellbar.
23
3
3.1
Diskussion
Über die konkreten Zahlenwerte
Der ermittelte Wert für die innere Tiefe‘ des Elektrons von
’
we ≈ 2.2133 · 10−15 m
kann nur eine Untergrenze darstellen, da nicht anzunehmen ist, dass die gesamte Ruheenergie
des Elektrons in der elektrischen Feldenergie aufgeht.
Für die maximale makroskopische Feldstärke des Elektrons sowie die maximale Kraft zwischen
Elektronen ergeben sich nach den beiden eigentlich falschen Ansätzen
A: Ee ≈ 1.3318 · 1021 V/m ,
Fmax ≈ 53.345 N ,
Ee ≈ 1.4506 · 1021 V/m ,
Fmax ≈ 44.727 N .
B:
Diese Werte sind gewiss nicht korrekt, da die Ansätze es nicht sind und, wie gesagt, we nur
eine Untergrenze darstellen kann. Dennoch sollten diese Ergebnisse geeignet sein, eine grobe
Abschätzung für eine reale Obergrenze dieser Größen zu liefern.
3.2
Über Sinn und Unsinn der inneren Tiefe‘
’
Die innere Tiefe‘ rettet die Endlichkeit der Selbstenergie, wie dies dereinst auch der klassische
’
’
Elektronenradius‘ tun sollte. Doch unabhängig von der Betrachtungsweise und dem Namen, den
man der Sache gibt, lässt sich fragen, welche physikalische Relevanz diesen Größen zukommt.
Die Berechnung des klassischen Elektronenradius‘ war seinerzeit bereits dadurch motiviert,
’
dass die dem Elektron zugeschriebene Selbstenergie begreiflicherweise nicht die seiner Ruhemasse me äquivalenten Ruheenergie Ve = me c2 übersteigen sollte. Der sich aus dem Modell
einer oberflächlich geladenen Kugel ergebende Radius von re = 2.82 fm entspricht allerdings
bekanntermaßen nicht allen experimentellen Ergebnissen.
Gemäß Haken und Wolf [Hak04] entspricht der klassische Elektronenradius‘ in etwa dem Wir’
”
kungsquerschnitt bei der Streuung von Röntgenstrahlen mit Elektronen“, hat aber bei der
Elektron-Elektron-Streuung keine Bedeutung, da das Elektron nach solchen Experimenten als
”
strukturloses, punktförmiges Teilchen anzusehen“ sei.
Daniel s Lehrbuch der Physik [Dan97] gibt den Streuquerschnitt für die Streuung von langwel”
ligem Licht am Elektron“ mit 0, 6 × 10−24 cm2 an, das entspricht rechnerisch einem Radius von
6, 1 fm, doch der Querschnitt für Neutrino-Elektron-Streuung ist im Fall von Reaktorneutrinos
”
in der Größenordnung von 10−44 cm2“, das entspräche einem Radius in der Größenordnung von
10−9 fm.
24
Max Born entwickelte 1933 zusammen mit Leopold Infeld [BoIn34] eine nichtlineare Modifikation
der Maxwell schen Elektrodynamik, bei der ad hoc die maximale Feldstärke prinzipiell begrenzt
wird, womit ebenfalls das Problem der unendlichen Selbstenergie gebändigt wäre.3
Unter der Voraussetzung einer innere Tiefe‘ ist allerdings keine künstliche Modifikation grund’
legender Gesetzmäßigkeiten wie der Maxwell schen Gleichungen notwendig, vielmehr wird stattdessen eine Modifikation des Raumes selbst, eine endlich kleine Struktur, aber außerhalb der
dreidimensionalen Längenmessung, angenommen.
Auf diese Weise könnte ein Teilchen innerhalb der drei Raumdimensionen als wirklich punktförmig erscheinen, ohne tatsächlich unendlich klein zu sein und ohne dass eine Singularität in den
verwendeten Formalismen auftritt.
3.3
Ausblick
~
Da für die mikroskopische Feldstärke E(d)
∝ d12 als Voraussetzung in die Feldintegrale hineinge~
steckt wurde, war zu erwarten, dass E(d)
∝ d12 für d w wieder herauskommt, allerdings bleibt
die so berechnete makroskopische Feldstärke bewusst auch bei kleinsten Abständen endlich, was
~
die vorausgesetzte Bedingung E(d)
∝ d12 nicht erfüllen kann.
∂
Interessant wäre eine Lösung, bei der das makroskopische Ergebnis für E(d) ∝ ∂d
Wij , als mikroskopische Voraussetzung in die angenommene Formel für die Wechselwirkungsenergie eingespeist, für alle d exakt dieselbe Feldstärkefunktion zurückliefert, die auch als Voraussetzung ein~ w), die folgende gemischte Differential–Integral~ d,
geführt wird, also eine Feldstärkefunktion E(
gleichung erfüllt:
I 2
ε ∂
~
~ w) + E(~
~ w) ∂~r
~
~ r + d,
~ r − d,
E(d, w) = ·
E(~
(46)
q ∂d
Dabei ist 2d~ der Abstand zweier Teilchen, bzw. d~ der Abstand von der Feldquelle, bewusst als
~ w) richtungsabhängig ist
~ d,
Vektor ausgedrückt, um vorerst offenzulassen, ob die Funktion E(
oder nicht. w ist, wie gehabt, die hypothetische innere Tiefe‘.
’
~ w) und E2 = E(~
~ w):
~ r + d,
~ r − d,
Verkürzt geschrieben mit E1 = E(~
I 2
ε ∂
~
~1 + E
~ 2 ∂~r
~
E
E(d, w) = ·
q ∂d
I
∂ ~2 ~2
ε
~ 1E
~ 2 ∂~r
= ·
E1 + E2 + 2E
oder
q
∂d
I ε
~1 · ∂ E
~ 1 + 2E
~2 · ∂ E
~ 2 + 2E
~1 · ∂ E
~ 2 + 2E
~2 · ∂ E
~ 1 ∂~r .
= ·
2E
q
∂d
∂d
∂d
∂d
3
Born schrieb später [EiBo69, zu seinem Brief vom 8.3.1934]: man spricht seitdem gewöhnlich von der Born”
Infeld-Theorie. [. . . ] Wir bemühten uns sehr, sie mit den Prinzipien der Quantentheorie in Einklang zu bringen.
Aber das mißlang, und heute ist die Sache wohl mit Recht vergessen.“
25
Unter Vernachlässigung der Selbstenergie-Anteile bleiben
I
∂ ~ ~ 2ε
~
~ d, w) =
E(
·
E1 · E2 ∂~r
q
∂d
I 2ε
~1 · ∂ E
~2 + E
~2 · ∂ E
~ 1 ∂~r .
·
E
=
q
∂d
∂d
(47)
Zum Auffinden einer solchen Lösung, falls sie denn aufzufinden ist, sind allerdings andere analytische Methoden erforderlich, sodass im Rahmen der vorliegenden Arbeit darauf verzichtet
werden soll.
26
4
Anhang: Herleitungen
Die Herleitungen zu den oben verwendeten Beziehungen sind nach zunehmender Komplexität
angeordnet und werden dabei zunehmend komprimiert beschrieben.
4.1
Einige elementare Integrale
Auf die folgenden Integrale wird, teilweise wiederkehrend, in den weiteren Herleitungen zurückgegriffen, darum werden sie zunächst separat hergeleitet.
R
4.1.1
sin2 (x) ∂x,
Es wird hergeleitet
Z
cos2 (x) ∂x
R
cos2 (x) ∂x
=
1
x + cos(x) sin(x) + C
2
(48)
=
1
x − cos(x) sin(x) + C .
2
(49)
und
Z
sin2 (x) ∂x
Beide Stammfunktionen können formuliert werden als Produktintegral4 in der Form
Z
Z
f (x) g(x) ∂x = F (x) g(x) − F (x) g 0 (x) ∂x ,
(50)
im ersteren Fall also
Z
Z
cos(x) cos(x) ∂x = sin(x) cos(x) − sin(x) · − sin(x) ∂x
Z
= sin(x) cos(x) + sin2 (x) ∂x ,
wegen cos2 (x) + sin2 (x) = 1
Z 1 − cos2 (x) ∂x
Z
Z
= sin(x) cos(x) + 1 ∂x − cos2 (x) ∂x
Z
= sin(x) cos(x) + x + C − cos2 (x) ∂x ,
= sin(x) cos(x) +
4
üblicherweise partielles Integral‘ genannt. Allerdings stellt es nicht das sinngemäße Pendant zum Begriff der
’
partiellen Ableitung‘ dar, daher soll erstere Bezeichnung hier reserviert bleiben für jene andere Bedeutung.
’
27
somit
Z
2
Z
cos(x) cos(x) ∂x = sin(x) cos(x) + x + C
1
x + sin(x) cos(x) + C ,
cos2 (x) ∂x =
2
was zu zeigen war.
Der zweite Fall kann unabhängig davon auf analoge Weise gelöst oder aber
mit cos2 + sin2 = 1 aus dem soeben erhaltenen Ergebnis abgeleitet werden durch
Z
Z 2
sin (x) ∂x =
1 − cos2 (x) ∂x
Z
Z
1
x + sin(x) cos(x) + C
= 1 ∂x − cos2 (x) ∂x = x −
2
1
=
x − sin(x) cos(x) + C ,
2
womit auch dies gezeigt wurde.
4.1.2
R
1/(x2 + a2 ) ∂x – der Arcustangens
Es wird hergeleitet
+∞
Z
1
∂x
2
(x + a2 )
"
x
1
=
arctan
|a|
|a|
#+∞
−∞
=
−∞
π
.
|a|
Mit der Substitution
x =: |a| t ,
∂x =: |a| ∂t
wird x als Vielfaches von a ausgedrückt,
Z
Z
Z
1
|a|
|a|
F :=
∂x =
∂t =
∂t
2
2
2
2
2
2
x +a
a t +a
a (t2 + 1)
sodass a vor das Integral gezogen werden kann:
1
=
|a|
Z
t2
1
∂t .
+1
Nun greift die trigonometrische Substitution
t =: tan(u),
∂t =:
1
∂u
cos2 (u)
⇒
28
(51)
1
F =
|a|
Z
(tan2 (u)
1
∂u .
+ 1) cos2 (u)
Mit tan2 (u) + 1 = 1/ cos2 (u) lässt sich kürzen zu
=
1
|a|
Z
1
∂u
1
cos2 (u)
cos2 (u)
=
1
|a|
Z
1 ∂u ,
was nun trivial zu lösen ist,
F =
u
+C.
|a|
Schließlich wird resubstituiert
tan(u) = t =
x
,
|a|
x
,
u = arctan(t) = arctan
|a|
und wir erhalten als Stammfunktion
x
1
F =
+C.
arctan
|a|
|a|
Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen wird das uneigentliche Integral bestimmt zu
+∞
x
x 1 π
π
π
1
F (x)
lim arctan
− lim arctan
=
=
−−
,
=
x→−∞
|a| x→+∞
a
a
|a| 2
2
|a|
−∞
was gezeigt werden sollte.
4.1.3
Exkurs: Nützliches rund um den Arcustangens
Eine Merkregel für die Ableitung des Arcustangens eines Quotienten
Entsprechend der Quotientenregel der Differentialrechnung, welche wiedergegeben werden kann
in der Form
Z 0 N Z 0 − ZN 0
,
(52)
=
N
N2
wobei die Strichnotation offenlässt, nach welcher darin enthaltenen Größe abgeleitet wird, lässt
sich eine vergleichbare Regel für die Ableitung des Arcustangens eines Quotienten formulieren,
Z 0 N Z 0 − ZN 0
,
arctan
=
N
N 2 + Z2
(53)
die gerade aufgrund ihrer überraschenden Ähnlichkeit mit der Quotientenregel entsprechend
leicht zu memorieren sein kann.
29
Die Herleitung sei schnell gezeigt. Aus (51) lässt sich ablesen
1
∂
arctan(x) = 2
∂x
(x + 1)
und durch Einsetzen von x =
Z
N
erhalten wir daraus
Z 1
1
∂
arctan
= Z2
= Z2
Z
N
∂N
( N 2 + 1)
( N2 +
N2
N2
)
=
Z2
N2
+ N2
als äußere Ableitung. Mit der Quotientenregel (52) als innere Ableitung finden wir sodann
unter Verwendung der Kettenregel
Z 0
arctan
N
=
N2
2 + Z2
}
|N {z
·
N Z 0 − ZN 0
2
N
{z
}
|
=
N Z 0 − ZN 0
.
N 2 + Z2
äußere Ableitung innere Ableitung
Summen und Vielfache des Arcustangens eines Quotienten
In der Standardliteratur (siehe etwa [Bro01, (2.8.7)]) lässt sich finden, dass
arctan(X) + arctan(Y )
X +Y = arctan
1 − XY
π
( +π (xy > 1,
±0 (xy < 1)
−π (xy > 1,
x > 0)
.
x < 0)
Wo die Addition eines Vielfachen von π für die weitere Rechnung unerheblich ist, können wir
π
bei Einführung der Kurzschreibweise =“ für kongruent modulo π“ auch schreiben
”
”
X +Y π
arctan(X) + arctan(Y ) = arctan
1 − XY
und daraus ersehen
X2 − 1 π
2X π
π
2 arctan(X) = arctan
=
arctan
± ,
1 − X2
2X
2
sowie mit X =
Z1
N1 ,
Y =
Z2
N2
Z Z 1
2
arctan
+ arctan
N1
N2
und insbesondere
Z 2 arctan
N
Z N + N Z π
1 2
1 2
= arctan
N1 N2 − Z1 Z2
2ZN π
= arctan
N 2 − Z2
Z2 − N 2 π
π
= arctan
± .
2ZN
2
30
(54)
4.1.4
1
x
Exkurs: Die Funktion
arctan( xa )
Die Funktion5
x
1
arctan
x
a
atc(x, a) :=
verdient nähere Betrachtung, da ihre Eigenschaften nicht unmittelbar aus ihrer Definiton ersichtlich sind.
Verhalten für x → 0
Mit der Substitution z := xa wird x durch dimensionslose Vielfache von a ausgedrückt (x und a
müssen dieselbe Dimension besitzen, da zumindest alle transzendenten Funktionen generell nur
dimensionslose Argumente vertragen und auch dimensionslose Ergebnisse liefern), damit kann
das dimensionsbehaftete a als konstanter Faktor vorgezogen werden.
atc(x, a) =
1
arctan(z)
az
(55)
Der Grenzwert für z → 0 zeigt sich mit
1
0
arctan(z) =
z→0 az
0
lim
nach de l’Hospital als endlicher Quotient der Ableitungen von Zähler- und Nennerpolynom:
lim
∂
∂z
z→0
arctan z
∂
a ∂z
z
= lim
z→0
1
1
=
+ 1)
a
a(z 2
und somit
atc(0, a) =
1
.
a
(56)
Dieser Punkt stellt gleichzeitig die obere Schranke und das globale Maximum der Funktion dar.
Die untere, offene, Schranke liegt bei
lim
z→±∞
1
arctan(z) = 0 .
az
Der verschwindende Ausdruck z1 setzt sich hier durch, da arctan(z) in beide Richtungen z → ±∞
endlich beschränkt ist, nämlich auf ± π2 .
Der Bildbereich für
]0, a1 ].
1
z
arctan(z) ist somit das Intervall ]0, 1] und damit für atc(x, a) das Intervall
5
Die Bezeichnung atc‘wurde hier gewählt für Arcus Tangens Cardinalis‘, in Anlehnung an den Sinus Cardi’
’
’
nalis‘ sinc(x) := x1 sin(x), der ähnliche Eigenschaften besitzt.
31
Aus der MacLaurinschen Reihenentwicklung (Potenzreihenentwicklung um z = 0) des Arkustangens
1
1
1
1
arctan(z) = z − z 3 + z 5 − z 7 + z 9 . . .
3
5
7
9
ergibt sich bei Division durch z die Reihenentwicklung für (55):
1
1
1
1
1
arctan(z) = 1 − z 2 + z 4 − z 6 + z 8 . . .
z
3
5
7
9
Diese Funktion ist offensichtlich stetig, beliebig oft differenzierbar und, da z nur in geradzahligen
Potenzen auftritt, auch achsensymmetrisch. Es handelt sich qualitativ um eine Glockenfunktion
2
mit einer Gestalt ähnlich e−x , x21+1 oder x1 tanh(x).
Verhalten für z → ±∞
Aus der umgekehrten Potenzreihenentwicklung um z = ±∞ des Arkustangens
arctan(z) =
π 1
1
1
1
− + 3 − 5 + 7 ...
2 z 3z
5z
7z
lässt sich bei Division durch z die alternative Reihenentwicklung für (55) ersehen
1
π
1
1
1
1
arctan(z) =
− 2 + 4 − 6 + 8 ... .
z
2z z
3z
5z
7z
Im Grenzfall für z 0 reduziert sich dies im Glied erster Ordnung auf
π 1
1
arctan(z) = · ,
z→+∞ z
2 z
lim
und wegen der Achsensymmetrie
1
1
arctan(z) =
arctan(−z)
z
−z
insgesamt auch für negative |z| 0 auf
π 1
1
arctan(z) = ·
.
z
2 |z|
lim
z→±∞
Krafteichung‘
’
Bei Multiplikation mit π2 schmiegt sich die Funktion atc(x, a) für z weitab vom Nullpunkt ein
in den absoluten Kehrwert 1/ |z|:
lim
2
x→±∞
π
atc(x, a)
=
1
2
· lim
arctan(z)
π z→±∞ z
32
=
1
,
|z|
(57)
wobei überall gilt
2
atc(x, a)
π
=
2
arctan(z)
πz
<
1
.
|z|
(58)
Energieeichung‘
’
Wird nun in der Funktion atc(x, a) der Parameter a variiert, so ändert sich ihr Maximum gemäß
1
2
atc(0, a) = ,
π
a
(59)
wobei die Beziehungen (57) und (58) der Krafteichung‘ gültig bleiben. Insbesondere ist dann
’
2
2
πx
2
atc(0, ) = lim
arctan
= 1.
x→0 πx
π
π
2
4.1.5
1/(x2 + a2 )3/2 ∂x
R
Es wird hergeleitet
+∞
Z
−∞
1
∂x
2
(x + a2 )3/2
"
x
1
= 2·√
2
a
x + a2
#+∞
=
−∞
2
.
a2
(60)
Mit der Substitution
x =: |a| t ,
∂x =: |a| ∂t
wird x als Vielfaches von a ausgedrückt und a vor das Integral gezogen,
Z
Z
1
|a|
F :=
∂x
=
∂t
3/2
2
2
2
2
(x + a )
(a (t + 1))3/2
Z
1
1
∂t ,
= 2
2
a
(t + 1)3/2
unter derselben trigonometrischen Substitution wie zuvor,
t =: tan(u),
∂t =:
1
∂u ,
cos2 (u)
erhalten wir
1
F = 2
a
Z
1
a2
Z
=
1
∂u
2
(tan (u) + 1)3/2 cos2 (u)
1
= 2
a
cos(u) ∂u ,
33
Z
1
cos3 (u)
1
∂u
cos2 (u)
was ebenfalls leicht zu lösen ist,
F =
1
sin(u) + C .
a2
p
Nun wird zunächst mit sin(u) = tan(u) cos(u) und cos(u) = 1/ tan2 (u) + 1 erweitert,
F =
1
tan(u) cos(u) + C
a2
=
1
tan(u)
·p
+C,
a2
tan(u)2 + 1
sodass nach Resubstitution von u = arctan(t)
=
tan(arctan(t))
1
·p
+C
a2
tan(arctan(t))2 + 1
=
t
1
·√
+C,
2
a2
t +1
und mit t = x/ |a| als Stammfunktion erhalten wird
F =
=
1
x
q
·
+C
2
a |a| x2 + 1
2
a
=
1
x
q
·
+C
2
a |a| x2 +a2
2
a
1
x
+C.
·√
2
2
a
x + a2
Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen ergibt sich schließlich das bestimmte Integral
+∞
2
1
F (x)
= 2,
= 2 +1 − −1
a
a
−∞
was zu zeigen war.
4.1.6
R
1/(x2 + a2 )2 ∂x
Es wird hergeleitet
+∞
Z
1
∂x
2
(x + a2 )2
"
1
=
2a2
x
1
x
arctan
+ 2
x + a2
|a|
|a|
−∞
#+∞
=
−∞
Wieder wird mit der Substitution
x =: |a| t ,
∂x =: |a| ∂t
x als Vielfaches von a ausgedrückt und a vor das Integral gezogen,
Z
Z
|a|
1
F :=
∂x =
∂t
2
2
2
2
2
(x + a )
(a (t + 1))2
Z
1
1
= 3
∂t ,
2
(t + 1)2
|a |
34
π
.
2 |a3 |
(61)
unter derselben trigonometrischen Substitution wie zuvor,
1
∂u ,
t =: tan(u),
∂t =:
cos2 (u)
erhalten wir
Z
1
1
F = 3
∂u
|a |
(tan2 (u) + 1)2 cos2 (u)
Z
1
= 3
cos2 (u) ∂u ,
|a |
1
= 3
|a |
Z
1
cos4 (u)
1
∂u
cos2 (u)
was mit (48) führt zu
1 1
u + sin(u) cos(u) +C .
F = 3 ·
|a | 2
Erweitert wird nun mit cos(u)/ cos(u) zu
1 1
1 sin(u) cos(u)2
F = 3
+C
u+ ·
|a | 2
2
cos(u)
1 1
1
tan(u)
= 3
+C ,
u+ ·
|a | 2
2 tan2 (u) + 1
sodass nach Resubstitution von u = arctan(t) und t = x/ |a|
tan(arctan(t))
1
+C
arctan(t) +
F =
2 |a3 |
tan2 (arctan(t)) + 1
x
t
1
xa2
1
=
arctan(t) + 2
+C =
arctan
+
+C
2 |a3 |
t +1
2 |a3 |
|a|
|a| (x2 + a2 )
x
x
1
1
+ 2
+C .
= 2
arctan
2a |a|
|a|
x + a2
Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen erhalten wir das bestimmte Integral
+∞
1
π
π
F (x)
= 2
+0−−
−0
2a 2 |a|
2 |a|
−∞
π
,
=
2 |a3 |
was zu zeigen war.
4.1.7
Das Kugelintegral‘ 4π
’
R
r2 /(r2 + a2 )2 ∂r
Es wird hergeleitet
" # ∞
Z∞
r 1
r2
r
∂r = 2π
4π
arctan
− 2
(r2 + a2 )2
r + a2
|a|
|a|
0
0
" #∞
|a| r
1
− 2
.
= 2π − arctan
|a|
r
r + a2
0
35
=
π2
|a|
(62)
Zunächst werden unter der Substitution
r =: t |a| ,
∂r =: ∂t · |a|
alle r durch a ausgedrückt,
Z
Z
Z
r2
t2 a2 |a|
t2 a2 |a|
F := 4π
∂r
=
4π
∂t
=
4π
∂t
(r2 + a2 )2
(t2 a2 + a2 )2
(a2 (t2 + 1))2
Z
Z
t2 |a|
t2 a2 |a|
∂t
=
4π
∂t ,
= 4π
a4 (t2 + 1)2
a2 (t2 + 1)2
sodass die a gemeinsam vor das Integral gezogen werden können:
4π
=
|a|
Z
∂t
t2
.
(t2 + 1)2
Nun greift erneut die trigonometrische Substitution
∂t =: ∂u/ cos2 (u)
t =: tan(u),
4π
F =
|a|
Z
∂u
⇒
tan2 (u)
.
(tan2 (u) + 1)2 · cos2 (u)
Mit tan2 (u) + 1 = cos2 (u) lässt sich kürzen
4π
=
|a|
Z
tan2 (u)
4π
∂u
=
1
2
|a|
cos (u)
(cos2 (u))2
Z
∂u tan2 (u) cos2 (u) ,
und mit tan(u) = sin(u)/ cos(u) erhalten wir
Z
4π
sin2 (u)
∂u
cos2 (u)
|a|
cos2 (u)
Z
4π
∂u sin2 (u) ,
=
|a|
=
was mit (49) führt zu
4π 1
2π
=
· (u − sin(u) cos(u)) + C =
|a| 2
|a|
2π
tan(u)
=
u−
+C.
|a|
tan2 (u) + 1
sin(u)
2
u−
cos (u) + C
cos(u)
Schließlich wird resubstituiert,
tan(u) = t,
u = arctan(t)
⇒
36
2π
F =
|a|
t = r/a
t
arctan(t) − 2
t +1
+C,
⇒
und wir erhalten als Stammfunktion
r 1
r
F = 2π
arctan
− 2
+C,
|a|
|a|
r + a2
welche wegen arctan(x/a) = ±π − arctan(a/x) auch als
r
|a|
1
− 2
+ (C ± π)
F = 2π − arctan
|a|
r
r + a2
ausgedrückt werden kann.
Durch Einsetzen der Integrationsgrenzen bestimmen wir schließlich das uneigentliche Integral
zu
+∞
1
r
2π
2π π
F (r)
=
− lim
− arctan(0) + 0 =
lim arctan
−0−0+0
r→∞ r
|a| r→∞
a
|a| 2
0
=
π2
,
|a|
was zu zeigen war.
4.1.8
Die Zylinderintegrale‘ 2π
’
R
r/(r2 + a2 )n ∂r
Es wird hergeleitet, für n > 1,
"
#∞
Z∞
π
r
−π
2π
∂r =
=
,
2
2
n
2
2
n−1
(r + a )
(n − 1)(r + a )
(n − 1) a2(n−1)
(63)
0
0
und damit insbesondere für n = 2
"
#∞
Z∞
−π
r
∂r = 2
2π
(r2 + a2 )2
r + a2
=
0
0
π
,
a2
(64)
sowie für n = 3
Z∞
2π
r
∂r
2
(r + a2 )3
"
−π
=
2
2 (r + a2 )2
0
#∞
=
0
π
.
2a4
(65)
Das Auftreten von r im Zähler der linken Seite von (63) legt die einfache Substitution nahe
u := r2 + a2 ,
∂u =
1
∂r ,
2r
37
dann ist
Z∞
2π
r
∂u
2r un
Z∞
=π
0
"
u−n ∂u
=π
u(1−n)
(1 − n)
0
#∞
−π
=
(n − 1) un−1
0
π
,
=
(n − 1) a2(n−1)
"
−π
=
(n − 1)(r2 + a2 )n−1
#∞
0
was zu zeigen war. Die Spezialfälle werden daraus durch Einsetzen von n erhalten.
4.2
Selbstenergie-Raumintegral
Es wird hergeleitet
I
1
π2
∂x∂y∂z
=
.
(x2 + y 2 + z 2 + w2 )2
|w|
(66)
Da das Selbstenergiefeld kugelsymmetrisch zum Ursprung ist, führt der einfachste
R Weg über ein
Kugelintegral‘, gemeint ist hier ein Integral über Kugelschalen in der Form 4π r2 f (r) ∂r.
’
Ein anderer Weg führt über drei aufeinanderfolgende Integrale
R entlang der kartesischen Raumachsen. Schließlich ist es möglich, erst zylindrisch über 2π rf (r) ∂r, dann linear, oder erst
linear, dann zylindrisch zu integrieren.
4.2.1
Kugelintegral
Sei r2 := x2 + y 2 + z 2 und a2 := w2 . Somit erhalten wir aus (62) direkt
Z∞
4π
r2
∂r
(r2 + a2 )2
"
r r
1
= 2π
arctan
− 2
|a|
|a|
r + a2
0
#∞
=
0
s. 4.1.7,
S. 35
π2
|a|
=
π2
.
|w|
(67)
Damit ist bereits gezeigt, was zu zeigen war. Zum Vergleich werden aber auch die alternativen
Lösungswege durchgerechnet, die alle auf dasselbe Ergebnis führen sollen und dies auch tun.
4.2.2
Zylindrisch, dann kartesisch
Sei zunächst r2 := x2 + y 2 und a2 := z 2 + w2 . Somit erhalten wir als Zylinderintegral nach (64)
Z∞
2π
0
r
∂r
(r2 + a2 )2
"
−π
= 2
r + a2
#∞
=
0
π
a2
38
=
π
.
z 2 + w2
s. 4.1.8,
S. 37
Mit der trivialen Substitution x2 := z 2 und a2 := w2 erhalten wir dann gemäß (51)
+∞
Z
π
1
∂x
2
x + a2
"
x
π
=
arctan
|a|
|a|
−∞
#+∞
π2
|a|
=
−∞
=
s. 4.1.2,
S. 28
π2
,
|w|
was zu zeigen war.
4.2.3
Kartesisch, dann zylindrisch
Sei zunächst a2 := y 2 + z 2 + w2 . Integriert wird linear über ∂x. Somit erhalten wir nach (61)
+∞
Z
1
∂x
2
(x + a2 )2
"
1
=
2a2
x
1
x
arctan
+ 2
|a|
|a|
x + a2
−∞
π
=
2 |a3 |
=
π
2 (y 2 + z 2 + w2 )3/2
#+∞
−∞
.
(68)
Nun mit r2 := y 2 + z 2 und a2 := w2 erhalten wir als Zylinderintegral nach (63) mit n = 3/2
π
· 2π
2
Z∞
"
#∞
−2π
π
√
=
2
r2 + a2 0
r
∂r
2
(r + a2 )3/2
0
=
s. 4.1.6,
S. 34
π 2π
·
2 |a|
=
s. 4.1.8,
S. 37
π2
,
|w|
was zu zeigen war.
4.2.4
Dreifach kartesisch
Nachdem in (68) bereits einmal linear über ∂x integriert wurde, wird anschließend
mit x2 := y 2 und a2 := z 2 + w2 gemäß (60) ein zweites Mal, über ∂y, integriert
π
2
+∞
Z
−∞
1
∂x
2
(x + a2 )3/2
"
#+∞
π 1
x
=
·√
2 a2
x2 + a2 −∞
=
π 2
·
2 a2
=
und im dritten Schritt mit x2 := z 2 und a2 := w2 gemäß (51) über ∂z
+∞
Z
π
1
∂x
2
x + a2
−∞
"
x
1
=π
arctan
|a|
|a|
#+∞
=π·
−∞
was zu zeigen war.
39
π
|a|
=
π2
,
|w|
z2
s. 4.1.5,
S. 33
π
,
+ w2
s. 4.1.2,
S. 28
4.3
4.3.1
Wechselwirkungsenergie-Raumintegrale und Wegableitungen
Alternativer Ansatz B mit einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Sei r2 := x2 + y 2 + z 2 . Gezeigt wird
Z ∞
π2
r2
√
4π
∂r
=
.
(r2 + d2 + w2 )2
d2 + w 2
0
Mit der Substitution a2 := d2 +w2 erfolgt die Herleitung analog zum Selbstenergie-Raumintegral
auf einem der Wege, die in 4.2 dargestellt sind,
s. 4.2,
S. 38
Z ∞
π2
π2
r2
∂r =
=√
,
I(d, w) := 4π
(r2 + a2 )2
|a|
d2 + w 2
0
Erste Ableitung nach dem Abstand
Für den weiteren Rechengang wird mit der Substitution z := wd das d durch dimensionslose Vielfache von w ausgedrückt und das dimensionsbehaftete w als konstanter Faktor ausgeklammert,
f (d, w) =
π2
1
·√
,
2
w
z +1
(69)
womit die Ableitung leicht zu finden ist
2
− 12 · 2z
∂z ∂
π
1
1 π2
√
f 0 (d, w) =
·
·
=
·
·
∂d ∂z w2
w w (z 2 + 1)3/2
z2 + 1
2
π
−z
= 2· 2
.
w (z + 1)3/2
(70)
Zur weiteren Verwendung als Kraftformel wird resubstituiert
f 0 (d, w) = −π 2
(d2
d
.
+ w2 )3/2
(71)
Zweite Ableitung nach dem Abstand
Zum Auffinden der Extrema von (70) wird deren Ableitung gebildet,
2
z · − 32 · 2z
∂z ∂
π
−z
1 π2
1
00
f (d, w) =
·
·
= · 2·
+
∂d ∂z w2 (z 2 + 1)3/2
w w
(z 2 + 1)3/2 (z 2 + 1)5/2
π2
2z 2 − 1
= 3· 2
.
w (z + 1)5/2
Nullstellen der zweiten Ableitung
40
(72)
Da der Nenner von (72) im Reellen keine Nullstellen besitzt, sind alle reellen Nullstellen des
Zählers gleichzeitig Nullstellen der gesamten Ableitung,
f 00 (d, w) = 0
⇒
1 − 2z 2 = 0
⇔ z0 =
1
d
= ± √ ≈ ∓ 0.70710678 ,
w
2
(73)
und damit ergeben sich die
Extrema der ersten Ableitung
durch Einsetzen in (70) zu
w
2
π2
f 0 (± √ , w) = 2 · ∓ √ ≈ ∓ 0.38490018 .
w
2
3 3
4.3.2
(74)
Alternativer Ansatz B mit separaten inneren Tiefen‘
’
Die Herleitung erfolgt auch hier am einfachsten über ein Kugelintegral, doch mit separaten
inneren Tiefen‘ ist der Weg ein anderer als in 4.2. Mit der Substitution r2 := x2 + y 2 + z 2 wird
’
hergeleitet über die Ermittlung der Stammfunktion
+∞
Z
4π
0
r2
2π 2
q
∂r
=
+C.
q
(r2 + d2 + wi2 )(r2 + d2 + wj2 )
d2 + wi2 + d2 + wj2
Unter den weiteren Substitutionen
a2 := d2 + wi2 ,
b2 := d2 + wj2
und mit der Partialbruchzerlegung
4π r2
A
B
f (r) : = 2
= 4π
+
(r + a2 )(r2 + b2 )
(r2 + a2 ) (r2 + b2 )
A(r2 + b2 ) + B(r2 + a2 )
= 4π
⇒
(r2 + a2 )(r2 + b2 )
A(r2 + b2 ) + B(r2 + a2 )
A+B =1
⇔
⇒
r2
=
(A + B)r2 + Ab2 + Ba2
B := 1 − A ,
Ab2 + (1 − A)a2
B
=
=0=
A(b2 − a2 ) + a2
⇔
−b2
a2 − b2 − a2
=
a2 − b2
a2 − b2
2
a
b2
4π
−
f (r) = 2
(a − b2 ) (r2 + a2 ) (r2 + b2 )
=1−A
=
41
A=
a2
a2 − b2
⇒
(75)
lässt sich die Stammfunktion ablesen als
Z
r
r 4π
F (r) := ∂r f (r) = 2
a · arctan
− b · arctan
+C.
(a − b2 )
a
b
(76)
Nach Bestimmung des Integrals
+∞
r
r
4π
I = F (r)
= 2
lim a · arctan
− arctan(0) − lim b · arctan
+ arctan(0)
r→∞
(a − b2 ) r→∞
a
b
0
π
4π
π
4π 2 (a − b)
= 2
a
−
0
−
b
+
0
=
(a − b2 ) 2
2
2(a − b)(a + b)
2
2π
=
a+b
und Resubstitution
a2 =: d2 + wi2 ,
b2 =: d2 + wj2
erhalten wir
f (d, wi , wj ) = q
2π 2
.
q
d2 + wi2 + d2 + wj2
(77)
Einseitige‘ Form der Stammfunktion
’
Mit wj = 0 erhalten wir aus (77) die einseitige‘ Form der Stammfunktion
’
f (d, wi , 0) =
2π 2
√
.
|d| + d2 + w2
Besonderheiten
Die Betragsfunktion ergibt sich aus der vorliegenden Problemstellung in der Form des Grenzwertes
p
|d| := lim d2 + w2
w→0
und damit wird als deren erste Ableitung die Signumfunktion hier ausgedrückt durch
∂
d
|d| = sgn(d) := lim √
.
2
w→0
∂d
d + w2
Im Folgenden wird vereinfacht gerechnet mit den Identitäten
√
d2 = |d| ,
|d| · sgn(d) = d
|d|
= d.
sgn(d)
und
42
Erste Ableitung nach dem Abstand
Mit den Substitutionen
q
A := d2 + wi2 ,
B :=
q
d2 + wj2
und den vorbereitenden Teilergebnissen
∂
d
∂
d
A = A0 = ,
B = B0 = ,
∂d
A
∂d
B − Ad + Bd
−d A+B
1
−(A0 + B 0 )
−d
∂
AB
=
=
=
=
2
2
2
∂d A+B
(A + B)
(A + B)
(A + B)
(A + B)AB
erhalten wir
f 0 (d, wi , wj ) =
∂
∂
2π 2
q
f (d, wi , wj ) =
q
∂d
∂ d d2 + w 2 + d2 + w 2
i
j
∂
1
−d
= 2π 2
∂d A+B
(A + B)AB
2π 2 d
= − q
,
q
q
d2 + wi2 + d2 + wj2
(d2 + wi2 )(d2 + wj2 )
= 2π 2
und mit wj = 0 die
Einseitige‘ erste Ableitung
’
2π 2 sgn(d)
2π 2 sgn(d)
2π 2 d
=−
=− 2
(A + |d|)A |d|
(A + |d|)A
A + |d| A
sgn(d)
q
= −2π 2
.
d2 + wi2 + |d| d2 + wi2
f 0 (d, wi , 0) = −
(78)
√
Durch das Kürzen von d/ |d|, genauer d/ d2 , ergibt sich die Signum-Funktion als Faktor und
führt in die Ableitung die Unstetigkeitsstelle für d = 0 ein.
Zweite Ableitung nach dem Abstand
Unter denselben Substitutionen und mit den weiteren Teilergebnissen
∂
∂d
∂
∂d
∂
∂d
d
∂ 1
d
1
=− 3,
=− 3,
A
A
∂d B
B
d
1
−d · d
AB − d2
=
+
=
A+B
A + B (A + B)AB
(A + B)AB
1
∂ 1 1
1 ∂ 1
−d
−d
−d(A2 + B 2 )
=
+
= 3 + 3 =
AB
∂d A B A ∂d B
A B B A
A3 B 3
43
erhalten wir
∂
∂ 0
−d
2
f (d, wi , wj ) =
f (d, wi , wj ) = 2π
∂d
∂ d (A + B)AB
2
2
2
2
2 2
2
2
2
AB − d
−d (A + B )
2
2 A B − d (A + B + AB)
+
=
2π
,
= 2π
(A + B)A2 B 2
(A + B)A3 B 3
(A + B)A3 B 3
00
und mit
A2 B 2 − d2 (A2 + B 2 + AB)
= (d2 + wi2 )(d2 + wj2 ) − d2 (d2 + wi2 + d2 + wj2 + AB)
= d4 + d2 (wi2 + wj2 ) + wi2 wj2 − 2d4 − d2 (wi2 + wj2 ) − AB d2
= wi2 wj2 − d4 − AB d2
= wi2 wj2 − d2 (d2 + AB)
schließlich
wi2 wj2 − d2 (d2 + AB)
f (d, wi , wj ) = 2π
(A + B)A3 B 3
q
wi2 wj2 − d2 d2 + (d2 + wi2 )(d2 + wj2 )
= 2π 2 q
.
q
d2 + wi2 + d2 + wj2 (d2 + wi2 )3/2 (d2 + wj2 )3/2
00
2
(79)
Durch Einsetzen von wj = 0 in (79) ergibt sich daraus die
Einseitige‘ zweite Ableitung
’
q
q
0 − d2 d2 + (d2 + wi2 ) |d|
d2 + (d2 + wi2 ) |d|
q
f 00 (d, wi , 0) = 2π 2 q
= 2π 2 2
2
|d| + d2 + wi2 (d2 + wi2 )3/2 d
d2 + wi + |d| (d2 + wi )3/2 d3
q
|d| |d| + (d2 + wi2 )
sgn(d)
q
= 2π 2 = 2π 2 2
.
(80)
(d
+ wi2 )3/2
d |d| + d2 + wi2 (d2 + wi2 )3/2
Nullstelle der einseitigen zweiten Ableitung
Da der Nenner für wi > 0 keine Nullstelle besitzt, ist die Nullstelle der Signumfunktion bei d = 0
im Zähler die der gesamten zweiten Ableitung. Somit erhalten wir aus (78) durch Bilden der
Grenzwerte für d → ±0 die
Extrema der einseitigen ersten Ableitung
lim f 0 (d, wi , 0) = −
d→−0
2π 2
,
wi2
lim f 0 (d, wi , 0) = +
d→+0
44
2π 2
.
wi2
(81)
4.3.3
Alternativer Ansatz A bei einheitlicher innerer Tiefe‘
’
Hergeleitet wird die Funktion
I
1
∂ 3 (x|y|z)
f (d, w) =
2
2
2
2
2
2
2
2
(x − d) + y + z + w (x + d) + y + z + w
d 2
π
=
arctan
+C,
d
|w|
(82)
sowie deren Ableitung
d 1
|w|
∂
f (d, w) = −π 2 2 arctan
−
.
∂d
d
|w|
d(d2 + w2 )
(83)
Auf einfachem Wege gelangt man zum Ziel, indem erst kartesisch über x, unter Einbeziehung
der Differenz d, integriert und anschließend über y und z das Rotationsintegral gebildet wird.
Beginnend kartesisch mit Differenz
Zunächst wird entlang der x-Richtung integriert, in der auch die Positionsdifferenz eingeht,
Z +∞
Z +∞
1
∂x . (84)
IK :=
fK ∂x =
2
2
2
2
(x + d) + y + z + w (x − d)2 + y 2 + z 2 + w2
−∞
−∞
Mit der Substitution
y 2 + z 2 + w2 =: a2
formulieren wir
fK :=
(x +
d)2
+
a2
1
(x − d)2 + a2
.
Da das Nennerpolynom bereits in ausreichend faktorisierter Form vorliegt, können wir
die Partialbruchzerlegung gleich anschließen
Cx + D
Ax + B
+
⇒
2
2
(x + d) + a
(x − d)2 + a2
(Ax + B) · (x − d)2 + a2 + (Cx + D)· (x + d)2 + a2 = 1 =: α + β ,
fK =
α : = A(x3 + xd2 + xa2 −2dx2 )
+ C(x3 + xd2 + xa2
β : = B(x2 + d2 + a2
2
2
2
+ D(x + d + a
+2dx2 )
−2dx)
+2dx) .
45
Um die Terme in x3 zu eliminieren, muss C = −A
⇒
α = 4Adx2 ,
β = (B + D)x2 + (B + D)(a2 + d2 ) + (B − D) · 2dx ,
um die übrigen Terme in x1 zu eliminieren, muss D = B
⇒
α + β = 4Adx2 + 2Bx2 + 2B (a2 + d2 ) ,
um die Terme in x2 zu eliminieren, muss B = 2Ad
α + β = 4Ad(a2 + d2 ) = 1
A=
1
,
+ d2 )
4d(a2
B=D=
⇒
⇒
C = −A ,
1
2d
=
.
2
2
+d )
2(a + d2 )
4d(a2
Damit kann fK angegeben werden als
1
x + 2d
x − 2d
fK =
.
−
4d(d2 + a2 ) (x + d)2 + a2 (x − d)2 + a2
Zur Herleitung der Stammfunktion lässt sich aufteilen
1
fK =
·
L(x)
+
A(x)
,
4d(d2 + a2 )
(85)
mit
L(x) :=
x−d
x+d
−
2
2
(x + d) + a
(x − d)2 + a2
A(x) :=
d
d
+
,
2
2
(x + d) + a
(x − d)2 + a2
(Die Ableitung des Nenners ist hier
als Faktor im Zähler enthalten)
und
und getrennt integrieren
Z
Z
Z
1
FK = fK ∂x =
L(x) ∂x + A(x) ∂x ,
4d(d2 + a2 )
(86)
mit
Z
Z
x+d
x−d
2
2
L(x) ∂x =
∂ (x + d) + a −
∂ (x − d)2 + a2
2
2
2
2
(x + d) + a
(x − d) + a
1
1
= ln (x + d)2 + a2 − ln (x − d)2 + a2 + CL
2
2
1 (x + d)2 + a2
= ln
+ CL
2 (x − d)2 + a2
Z
46
(87)
und
Z
Z
d
d
∂
x
+
d
+
∂
x
−
d
A(x) ∂x =
(x + d)2 + a2
(x − d)2 + a2
d
x+d
d
x − d
= arctan
+ arctan
+ CA .
a
a
a
a
Z
(88)
Somit lässt sich die Stammfunktion darstellen als
1
(x + d)2 + a2
ln
8d(a2 + d2 ) (x − d)2 + a2
x + d
x − d 1
+
arctan
+ arctan
+C.
4a(a2 + d2 )
a
a
FK =
Bei der Bestimmung des Integrals fällt der ln-Term weg, der arctan-Term ergibt sich als konstant
und führt einen Faktor 2π ein.
+∞
π π π π
1
=
IK = FK
− − −
+
4a(a2 + d2 )
2
2
2
2
−∞
π
1
= ·
(89)
2
2 a(a + d2 )
Alternativ dazu kann das uneigentliche Integral auch aus den komplexen Residuen erhalten
werden. Da der Nenner der zu integrierenden gebrochenrationalen Funktion fK rein reell und
der Grad des Nenners gerade ist, somit alle komplexen Pole paarweise konjugiert auftreten und
außerdem alle einfach sind und der Grad des Nenners den Grad des Zählers um mindestens 2
übersteigt, erfüllt fK alle Bedingungen, um das Integral gemäß
Z +∞
X Z(x0 )
Z(x)
∂x = 2πi
(90)
N 0 (x0 )
−∞ N (x)
alle x0
aus den Residuen der Nennernullstellen zu bestimmen. Mit vollständiger Faktorisierung des
Nenners
fK =
1
Z(x)
=:
(x + d + ia)(x + d − ia)(x − d + ia)(x − d − ia)
N (x)
werden die paarweise konjugierten Nennernullstellen {±ia + d, ±ia − d} ersichtlich.
47
(91)
Das Nennerpolynom lässt sich geeignet umformen
N (x) = ((x − d)2 + a2 ) · ((x + d)2 + a2 )
= (x2 − 2xd + d2 + a2 ) · (x2 + 2xd + d2 + a2 )
= ((x2 + d2 + a2 ) − 2xd) · ((x2 + d2 + a2 ) + 2xd)
= (x2 + a2 + d2 )2 − 4x2 d2
4
2
2
2
2
(92)
2 2
2 2
= x + 2x (a + d ) + (a + d ) − 4x d
= x4 + 2x2 a2 + 2x2 d2 + (a2 + d2 )2 − 4x2 d2
= x4 + 2x2 a2 − 2x2 d2 + (a2 + d2 )2
= x4 + 2x2 (a2 − d2 ) + (a2 + d2 )2
| + (a2 − d2 )2 − (a2 − d2 )2
= (x2 + a2 − d2 )2 + (a2 + d2 )2 − (a2 − d2 )2
= (x2 + a2 − d2 )2 + (a4 + 2a2 d2 + d4 ) − (a4 − 2a2 d2 + d4 )
N (x) = (x2 + a2 − d2 )2 + 4a2 d2 .
(93)
Nach Ableitung des Nenners
N 0 (x) =
∂
(x2 + a2 − d2 )2 + 4a2 d2 = 4x(x2 + a2 − d2 )
∂x
erhalten wir die Residuenfunktion
Res(x) =
1
Z(x)
=
.
N 0 (x)
4x(x2 + a2 − d2 )
Durch Einsetzen nur der Nullstellen mit positivem Imaginärteil,
1
4(ia +
+ 2iad + d2 + a2 − d2 )
−i(d − ia)
−a − id
d − ia
=
=
=
2
2
2
2
4(d + a )2iad
4(d + a )2ad
8ad(a2 + d2 )
Res(ia + d) =
d)(−a2
und
1
4(ia −
− 2iad + d2 + a2 − d2 )
d + ia
−i(d + ia)
+a − id
=
=
=
,
4(d2 + a2 )2iad
4(d2 + a2 )2ad
8ad(a2 + d2 )
Res(ia − d) =
d)(−a2
ergibt sich
IK = 2πi Res(ia + d) + Res(ia − d)
+a − id
−2id
−a − id
= 2πi
+
= 2πi ·
2
2
2
2
8ad(a + d ) 8ad(a + d )
8ad(a2 + d2 )
1
π
= ·
,
2
2 a(a + d2 )
48
das ist identisch mit dem Ergebnis in (89).
Durch Resubstitution erhalten wir in beiden Fällen
a2 =: y 2 + z 2 + w2
fR := IK =
⇒
π
1
p
.
·
2
2
2
2 (y + z + w + d2 ) y 2 + z 2 + w2
(94)
Dann rotativ ohne Differenz
Nun bietet sich an, die Stammfunktion FR mit der Substitution y 2 +z 2 =: r2 als Rotationsintegral
über y und z gleichzeitig zu ermitteln.
Z
Z
r
√
FR = 2π r · fR (r) ∂r = π 2
∂r
(r2 + w2 + d2 ) r2 + w2
Unter der weiteren Substitution
r2 + w2 =: a2
⇒
√
r
∂a
∂ r2 + w2
2r
=
=
= √
2
2
∂r
∂r
a
2 r +w
a
∂r =: · ∂a
r
erhalten wir
Z
Z
Z
a
r
r
1
2
2
2
FR = π
∂r = π
· ∂a = π
∂a
2
2
2
2
2
a(a + d )
a(a + d ) r
a + d2
a
π2
=
+C
arctan
d
d
und nach Resubstitution
a2 =: r2 + w2
⇒
√ 2
r + w2
π2
FR =
arctan
+C.
d
d
Einsetzen der Integrationsgrenzen führt schließlich auf die Funktion der Wechselwirkungsenergie
nach dem halben Abstand d,
+∞
|w| π2 π
− arctan
f (d, w) : = FR
=
d 2
d
0
2
d
π
=
arctan
,
(95)
d
|w|
49
vgl. (51),
S. 28
welche im Grenzfall der Annäherung auf d = 0
lim f (d, w) =
d→0
π2
|w|
als Maximum die Selbstenergie gemäß (4.2) ergibt.
vgl. (66),
S. 38
Wieder wird mit der Substitution z := wd in (95) das d durch dimensionslose Vielfache
von w ausgedrückt und das dimensionsbehaftete w als konstanter Faktor ausgeklammert,
∂ π2 1
f (d, w) =
· arctan(z) ,
∂z w z
um die
Erste Ableitung nach dem Abstand
zu finden
∂z ∂ π 2 1
f (d, w) =
·
· arctan(z)
∂d ∂z w z
1
−1
1 π2 1
·
+ 2 arctan(z)
= ·
w w z (z 2 + 1)
z
2
1
1
π 1
− arctan(z) .
= 2·
w z (z 2 + 1) z
0
Zur Verwendung als Kraftformel wird resubstituiert
d |w|
1
π2
0
.
− arctan
f (d, w) =
d (d2 + w2 ) d
|w|
(96)
(97)
Weiter erhalten wir aus (96) die
Zweite Ableitung nach dem Abstand
2
π 1
1
1
∂z ∂
00
f (d, w) =
·
·
−
arctan(z)
∂d ∂z w2 z (z 2 + 1) z 2
−1
1
−2
1
1
1 π 2 1 −1 · 2z
·
+ 2 · 2
−
·
− 3 arctan(z)
= · 2
w w z (z 2 + 1)2
z
(z + 1) z 2 (z 2 + 1)
z
2
π
2z
2
2
= 3 −
− 2 2
+ 3 arctan(z)
2
2
w
z(z + 1)
z (z + 1) z
2
2z 2
2(z 2 + 1)
2
π
= 3
arctan(z) − 2 2
−
w z3
z (z + 1)2 z 2 (z 2 + 1)2
π2 2 1
2z 2 + 1
arctan(z) − 2
.
= 3· 2
w z z
(z + 1)2
50
(98)
Zum Auffinden der Extremstellen der ersten Ableitung (96) suchen wir die
Nullstellen der zweiten Ableitung
1
2z 2 + 1
arctan(z) − 2
=0
z
(z + 1)2
Z(z) = (z 2 + 1)2 arctan(z) − z(2z 2 + 1) = 0 .
f 00 (d, w) = 0
⇒
⇔
(99)
Eine triviale Nullstelle bei z = 0 ist ersichtlich, die nichttrivialen Nullstellen liegen wegen z 2 symmetrisch dazu. Da die Lösung nicht analytisch darstellbar ist, kommt eine numerische Näherung
mittels Newton-Verfahren in Betracht. Dazu wird die Ableitung der Zielfunktion (99) formuliert:
Z 0 (z) = 4z(z 2 + 1) · arctan(z) + (z 2 + 1)2 ·
1
− z · 4z − 1 · (2z 2 + 1)
z2 + 1
= 4(z 2 + 1) arctan(z) − 5z
(100)
Implementiert wurde die Iteration durch wenige Zeilen in der Skriptsprache Perl. Als Startwert
wurde z = 1 gewählt und als Abbruchkriterium das Unterschreiten einer Fehlergrenze von
|ε| ≤ 10−15 :
#!/usr/bin/perl -w
# Customized function and derivative
sub F{ my $Z = shift();
return ($Z*$Z+1.)*($Z*$Z+1.)*atan2($Z,1.) - $Z*(2.*$Z*$Z+1.);
}
sub D{ my $Z = shift();
return 4.*($Z*$Z+1.)*atan2($Z,1.)-5.*$Z;
}
# Generic Newton solver
for( my $Z=1., $E=1.; abs($E)>1.E-15;){
$Z -= ($E = F($Z)/D($Z));
print( "$Z\n");
}
Perl-Skripte sind zwar langsamer als compilierte Programme in C oder C++, doch bei nur wenigen Millisekunden Ausführungszeit überwiegt der Vorteil der schnelleren Programmerstellung:
$ time ./Newton.pl
0.889655334426319
0.843031569420122
0.82831509004522
0.82501545059119
0.82439898662169
...
51
0.824265949420822
0.824265949420805
0.824265949420801
0.824265949420801
real
user
sys
0m0.013s
0m0.004s
0m0.004s
Nach insgesamt 21 Iterationen erhalten wir den gesuchten Wert auf 14 sichere Stellen genau,
± z0 =
± d0
≈ 0.82426594942080 ,
w
(101)
und durch Einsetzen in die erste Ableitung (96) erhalten wir die
Extrema der ersten Ableitung
zu
f 0 (±z0 , w) ≈ ∓
π2
· 0.29224806 .
w2
(102)
52
4.3.4
Alternativer Ansatz A bei separaten inneren Tiefen‘
’
Hergeleitet wird die Funktion
I
1
∂ 3 (x|y|z)
f (d, wi , wj ) =
2
2
2
2
2
2
2
2
(x − d) + y + z + wi (x + d) + y + z + wj
!
4d2 − (w2 − w2 ) 1
4d2 + (w2 − w2 ) π2 1
i
j
i
j
arctan
+ arctan
+C,
=
d 2
4d |wi |
2
4d |wj |
(103)
sowie deren Ableitung
4d2 − (w2 − w2 ) 4d2 + (w2 − w2 ) 1
1
i
j
i
j
arctan
+
arctan
2d
4d |wi |
2d
4d |wj |
!
2 (|wi | + |wj |)
− 2
.
(104)
4d + (|wi | + |wj |)2
π2
∂
f (d, wi , wj ) = −
∂d
d
Auch hier gelangt man zum Ziel, indem erst kartesisch über x, unter Einbeziehung der Differenz
d, integriert und anschließend über y und z das Rotationsintegral gebildet wird.
Beginnend kartesisch mit Differenz
Hier wird zunächst entlang der x-Richtung integriert, in der auch die Positionsdifferenz d eingeht,
Z +∞
Z +∞
1
∂x . (105)
IK :=
fK ∂x =
2
2
2
2
(x + d) + y + z + wi (x − d)2 + y 2 + z 2 + wj2
−∞
−∞
Mit den Substitutionen
y 2 + z 2 + wi2 =: a2 ,
y 2 + z 2 + wj2 =: b2
wird formuliert
fK =
(x +
d)2
+
a2
1
(x − d)2 + b2
,
und es folgt die Partialbruchzerlegung
Cx + D
Ax + B
+
2
2
(x + d) + a
(x − d)2 + b2
(Ax + B)((x − d)2 + b2 ) + (Cx + D)((x + d)2 + a2 )
=
((x + d)2 + a2 )((x − d)2 + b2 )
fK =
⇒
(106)
53
(Ax + B) · (x − d)2 + b2 + (Cx + D)· (x + d)2 + a2 = 1
= A(x3 + xd2 + xb2 − 2dx2 ) + B(x2 + d2 + b2 − 2dx)
+ C(x3 + xd2 + xa2 + 2dx2 ) + D(x2 + d2 + a2 + 2dx)
= (A + C)x3 + (−2dA + B + 2dC + D)x2 + ((d2 + b2 )A − 2dB + (d2 + a2 )C + 2dD)x1
+ ((d2 + b2 )B + (d2 + a2 )D)x0 .
Damit ergibt sich das lineare Gleichungssystem
(A + C) · x3 = 0 · x3 ,
(−2dA + B + 2dC + D) · x2 = 0 · x2 ,
((d2 + b2 )A − 2dB + (d2 + a2 )C + 2dD) · x1 = 0 · x1 ,
((d2 + b2 )B + (d2 + a2 )D) · x0 = 1 · x0 .
Zur Auflösung wird dieses Gleichungssystem in Form einer Matrix und eines Vektors dargestellt
und die Matrix diagonalisiert.
A
B
C
D
(x3 )
1
0
1
0
0
(x2 )
−2d
1
+2d
1
0
−2d
d2 + a2
(x1 ) d2 + b2
(x0 )
0
d2
+
b2
0
+2d
d2
+
0
a2
54
1
Zunächst werden die linken Dreieckselemente eliminiert und die Diagonalelemente normalisiert,
Zu Zeile (x2 ) wird 2d mal Zeile (x3 ) addiert:
(x2 ) 0
1
4d
1
0
Von Zeile (x1 ) wird (d2 + b2 ) mal Zeile (x3 ) subtrahiert:
(x1 ) 0 −2d
a2 − b2
+2d
0
Zu Zeile (x1 ) wird 2d mal Zeile (x2 ) addiert:
(x1 ) 0
0
8d2 + a2 − b2
4d
0
Zeile (x1 ) wird durch a2 − b2 + 8d2 dividiert:
(x1 ) 0
0
4d
a2 −b2 +8d2
1
0
Von Zeile (x0 ) wird (d2 + b2 ) mal Zeile (x2 ) subtrahiert:
(x0 ) 0
−4d(d2 + b2 )
0
a2 − b2
1
Zu Zeile (x0 ) wird 4d(d2 + b2 ) mal Zeile (x1 ) addiert:
(x0 ) 0
0
0
Zeile (x0 ) wird durch a2 − b2 +
(x0 )
0
0
16d2 (d2 +b2 )
8d2 +a2 −b2
a2 − b2 +
16d2 (d2 +b2 )
8d2 +a2 −b2
0
dividiert:
(8d2 + a2 − b2 )/N
1
mit N := (a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
sodass als Zwischenergebnis erhalten wird
A B
C
D
(x3 )
1
0
1
0
0
(x2 )
0
1
4d
1
0
0
(8d2 + a2 − b2 )/N
(x1 )
0
0
1
4d
8d2 +a2 −b2
(x0 )
0
0
0
1
.
55
1
Sodann werden die rechten Dreieckselemente eliminiert und wieder die Diagonalelemente normalisiert,
Von Zeile (x1 ) wird
(x1 )
0
0
1
4d
8d2 +a2 −b2
mal Zeile (x0 ) subtrahiert:
−4d/N
0
Von Zeile (x2 ) wird Zeile (x0 ) subtrahiert:
(x2 )
0
1
4d
0
−((a2 − b2 ) + 8d2 )/N
Von Zeile (x2 ) wird 4d mal Zeile (x1 ) subtrahiert:
(x2 )
0
1
0
0
−((a2 − b2 ) − 8d2 )/N
Von Zeile (x3 ) wird Zeile (x1 ) subtrahiert:
(x3 )
1
0
0
0
A B
C
D
1
0
0
+4d/N
Endergebnis:
(x3 )
0
(x2 )
0
1
0
0
(x1 )
0
0
1
0
(x0 )
0
0
0
1
+4d/N
(8d2
− (a2 − b2 ))/N
−4d/N
(8d2
+ (a2 − b2 ))/N
Nach Resubstitution von
N =: (a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 ) + 16d4
lässt sich ablesen
A=
B=
(a2
−
b2 )2
4d
,
+ 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
8d2 − (a2 − b2 )
,
(a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
C = −A ,
D=
8d2 + (a2 − b2 )
.
(a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
Damit kann fK angegeben werden als
fK =
2
1
8d − (a2 − b2 ) + 4dx 8d2 + (a2 − b2 ) − 4dx
+
.
(a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
(x + d)2 + a2
(x − d)2 + b2
Zur Herleitung der Stammfunktion lässt sich wieder aufteilen
1
fK = 2
·
L(x)
+
A(x)
,
(a − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
56
mit
L(x) :=
2d(2x − 2d)
2d(2x + 2d)
−
2
2
(x + d) + a
(x − d)2 + b2
A(x) :=
4d2 − (a2 − b2 ) 4d2 + (a2 − b2 )
+
,
(x + d)2 + a2
(x − d)2 + b2
(Die Ableitung des Nenners ist so
als Faktor im Zähler enthalten)
und
und getrennt integrieren
Z
Z
Z
1
L(x) ∂x + A(x) ∂x ,
FK = fK ∂x = 2
(a − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
mit
Z
2x − 2d
2x + 2d
2
2
∂
(x
+
d)
+
a
∂ (x − d)2 + b2
−
2d
2
2
2
2
(x + d) + a
(x − d) + b
2
2
2
2
= 2d ln (x + d) + a − 2d ln (x − d) + b + CL
(x + d)2 + a2
= 2d ln
+ CL
(107)
(x − d)2 + b2
Z
Z
L(x) ∂x = 2d
und
Z
4d2 − (a2 − b2 )
4d2 + (a2 − b2 )
∂
x
+
d
+
∂ x−d
2
2
2
2
(x + d) + a
(x − d) + b
2
2
2
4d − (a − b )
x+d
=
arctan
a
a
2
2
2
x − d
4d + (a − b )
arctan
+ CA .
+
b
b
Z
Z
A(x) ∂x =
(108)
Somit lässt sich die Stammfunktion darstellen als
(x + d)2 + a2
1
2d
·
ln
(a2 − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
(x − d)2 + b2
2
x + d
4d − (a2 − b2 )
+
arctan
a
a
2
!
4d + (a2 − b2 )
x − d
+
arctan
+C.
b
b
FK =
Bei der Bestimmung des Integrals fällt der ln-Term weg, der arctan-Term ergibt sich als konstant
und führt einen Faktor π ein.
+∞
IK = FK
−∞
2
4d − (a2 − b2 ) 4d2 + (a2 − b2 )
1
+
=π· 2
(a − b2 )2 + 8d2 (a2 + b2 + 2d2 )
a
b
57
Nach Resubstitution von
a2 =: r2 + wi2 ,
b2 =: r2 + wj2
erhalten wir
2
4d − (wi2 − wj2 ) 4d2 + (wi2 − wj2 )
π
q
q
+
(wi2 − wj2 )2 + 8d2 (wi2 + wj2 + 2r2 + 2d2 )
r2 + wj2
r2 + wi2
2
4d − (wi2 − wj2 ) 4d2 + (wi2 − wj2 )
π
q
q
.
+
=
(wi2 − wj2 )2 + 8d2 (wi2 + wj2 + 2d2 ) + 16d2 r2
r2 + wj2
r2 + wi2
IK =
(109)
Dann rotativ ohne Differenz
Auch hier bietet sich an, die Stammfunktion FR mit der Substitution y 2 + z 2 =: r2 als Rotationsintegral über y und z gleichzeitig zu ermitteln.
Z
FR = 2π r · fR (r) ∂r
Mit der Substitution
α1 := (4d2 − (wi2 − wj2 ))/16d2
α2 := (4d2 − (wj2 − wi2 ))/16d2
= (4d2 + (wi2 − wj2 ))/16d2
β := ((wi2 − wj2 )2 + 8d2 (wi2 + wj2 + 2d2 ))/16d2
wird fR vereinfacht und dann aufgeteilt,
π
fR = 2
r +β
α1
q
+q
α2
!
r2 + wj2
πα2
πα1
q
q
=
+
(r2 + β) r2 + wi2 (r2 + β) r2 + wj2
r2
+
wi2
= fRA (r) + fRB (r) ,
sodass wir die Stammfunktion ermitteln können als
Z ∞ FR = 2π
r fRA (r) + fRB (r) ∂r
Z0 ∞
Z ∞
rfRA (r) ∂r + 2π
rfRB (r) ∂r
= 2π
0
0
= FRA + FRB .
58
Da die Teilfunktionen fRA (r) und fRB (r) identisch sind bis auf die Vertauschung von wi und wj ,
genügt es, stellvertretend die Stammfunktion für fRA (r) zu ermitteln, um unter Berücksichtigung
der Symmetrien auch fRB (r) zu erhalten.
Wir substituieren
t :=
q
r2 + wi2 ,
∂r =: ∂t ·
q
2 r2 + wi2
2r
= ∂t ·
t
r
(110)
und finden
Z
∞
FRA = 2π
rW1 (r) ∂r
0
Z
= 2π
0
∞
πα1 r
t
· ∂t = 2π 2 α1
2
2
(t − wi + β)t r
2π 2 α1
t
=q
arctan q
β − wi2
β − wi2
Resubstitution von t =
FRA
q
Z
0
∞
1
q
2 ∂t
t2 + β − wi2
!
+C.
r2 + wi2 führt auf
q
!
r2 + wi2
+C.
arctan q
=q
β − wi2
β − wi2
2π 2 α1
Die Konstante β löst sich mit wi2 auf in ein übersichtliches Binom
((wi2 − wj2 )2 + 8d2 (wi2 + wj2 ) + (4d2 )2 )
− wi2
16d2
((wi2 − wj2 )2 + 8d2 (wi2 + wj2 ) + (4d2 )2 − 16d2 wi2 )
=
16d2
2
2
2
2
((wi − wj ) + 8d (−wi2 + wj2 ) + (4d2 )2 )
=
16d2
2
2
2
(4d − (wi − wj ))2
.
=
(4d)2
β − wi2 =
Insbesondere ist dann
q
4d2 − (wi2 − wj2 )
= 4dα1
β − wi2 =
4d
und damit die Stammfunktion
q
!
2
r2 + wi2
2π α1
FRA =
arctan
+C,
4dα1
4dα1
59
nach Resubstitution
FRA =
π2
2d
4d
arctan
q
r2 + wi2
!
4d2 − (wi2 − wj2 )
+C.
(111)
Daraus wird das Teilintegral IRA bestimmt
IRA
!!
∞
4d |wi |
π2 π
− arctan
: = FRA
=
2d 2
4d2 − (wi2 − wj2 )
0
4d2 − (w2 − w2 ) π2
i
j
=
arctan
,
2d
4d |wi |
und das zweite Teilintegral IRB ergibt sich daraus durch Vertauschen aller wi und wj ,
IRB : =
4d2 − (w2 − w2 ) π 2
4d2 + (w2 − w2 ) π2
j
i
i
j
=
.
arctan
arctan
2d
4d |wj |
2d
4d |wj |
Damit ergibt sich als Summe der beiden Teilintegrale
I : = IRA + IRB
π2
=
d
!
4d2 − (w2 − w2 ) 1
4d2 + (w2 − w2 ) 1
i
j
i
j
+ arctan
.
arctan
2
4d |wi |
2
4d |wj |
(112)
Separate‘ erste Ableitung nach dem Abstand
’
(112) besteht aus zwei symmetrischen Anteilen, die sich nur durch Vertauschung von wi und wj
unterscheiden. Mit den Substitutionen
α := |wi | + |wj | ,
α + β = 2 |wi | ,
β := |wi | − |wj |
α − β = 2 |wj | ,
⇒
αβ = wi2 − wj2
lässt sich dieselbe Symmetrie ausdrücken durch Vertauschungen von + und − und wir können
(112) umformulieren zu
2
2
!
π2 1
4d − αβ
1
4d + αβ
f (d, wi , wj ) =
arctan
+ arctan
,
2 d
2d (α + β)
d
2d (α − β)
oder, in einer verkürzten Schreibweise,
2
!
±
π2 X 1
4d ∓ αβ
f (d, wi , wj ) =
arctan
2
d
2d (α ± β)
60
und dessen Ableitung
2
2
!
±
∂
π2 X
1
1 ∂
4d ∓ αβ
4d ∓ αβ
f (d, w) =
− 2 arctan
+ ·
arctan
.
∂d
2
d
2d (α ± β)
d ∂d
2d (α ± β)
Mit der Merkregel
Z 0 N Z 0 − ZN 0
=
,
arctan
N
Z2 + N 2
vgl. 53,
S. 29
wobei hier
Z = 4d2 ∓ αβ ,
Z 0 = 8d ,
N = 2d (α ± β) ,
N 0 = 2 (α ± β) ,
finden wir
2
∂
4d ∓ αβ
arctan
∂d
2d (α ± β)
2d (α ± β) 8d − (4d2 ∓ αβ) 2 (α ± β)
=
(4d2 ∓ αβ)2 + (2d)2 (α ± β)2
2 (α ± β) (8d2 − 4d2 ± αβ)
=
(4d2 )2 + (αβ)2 ∓ 8d2 (αβ) + 4d2 (α2 + β 2 ± 2(αβ))
2 (α ± β) (4d2 ± αβ)
=
(4d2 )2 + (αβ)2 ∓ 8d2 (αβ) + 4d2 (α2 + β 2 ) ± 8d2 (αβ)
2 (α4d2 ± β4d2 ± α2 β + αβ 2 )
=
(4d2 )2 + α2 β 2 + 4d2 (α2 + β 2 )
2 (α (4d2 + β 2 ) ± β (4d2 + α2 ))
=
,
(4d2 + α2 ) · (4d2 + β 2 )
und schließlich
2
±
X
∂
4d ∓ αβ
arctan
∂d
2d (α ± β)
2
4 α (4d + β 2 )
=
(4d2 + α2 ) · (4d2 + β 2 )
4α
= 2
.
4d + α2
=
± X
2 (α (4d2 + β 2 ) ± β (4d2 + α2 ))
(4d2 + α2 ) · (4d2 + β 2 )
Damit erhalten wir als gesamten Ausdruck für die Ableitung von (112)
f 0 (d, wi , wj ) = −
−
π2
d
4d2 − αβ 4d2 + αβ 1
1
arctan
+
arctan
2d
2d (α + β)
2d
2d (α − β)
!
2α
+ α2
4d2
61
und nach Resubstitution
4d2 − (w2 − w2 ) 4d2 + (w2 − w2 ) 1
1
i
j
i
j
arctan
+
arctan
2d
4d |wi |
2d
4d |wj |
!
2 (|wi | + |wj |)
− 2
.
(113)
4d + (|wi | + |wj |)2
π2
f (d, wi , wj ) = −
d
0
Für wi = wj = w reduziert sich das auf (97).
Einseitige‘ Form des Integrals
’
Zur Formulierung des Potentials und der Feldstärke eines einzelnen Teilchens gegenüber seiner
Umgebung ist es erforderlich, eine der beiden inneren Tiefen‘ gegen Null streben zu lassen,
’
beziehungsweise gleich Null zu setzen.
Mit wj = 0 erhalten wir aus (112)
4dw (4d2 + w2 ) π 2
π2
4dwi i
i
=
arctan −
arctan
−
2d
2d
16d4 − wi4
4d2 − wi2
4d2 − w2 π
π2
i
arctan
±
.
=
2d
4dwi
2
f (d, wi , 0) =
Nun kann auch hier z := wdi substituiert werden, um die dimensionsbehafteten Größe wi als
gemeinsamen Vorfaktor auszuklammern
vgl. (55),
S. 31
4z 2 − 1 π π2 1
·
arctan
.
±
f (d, wi ) =
2wi z
4z
2
Mit
Z2 − N 2 π
±
arctan
2ZN
2
vgl. (54),
S. 30
Z π
= 2 arctan
N
lässt sich zeigen
4z 2 − 1 π
±
arctan
4z
2
π
= 2 arctan(2z) ,
und daher
f (d, wi ) =
π2 2
· arctan(2z)
2wi z
=
2d π2
· arctan
,
d
wi
(114)
analog zu (55) mit 2z anstelle von z. Damit sind die dort gefundenen Aussagen über Stetigkeit, vgl. (55),
S. 31
Symmetrie, Differenzierbarkeit und Beschränktheit hier ebenfalls zutreffend.
Die
62
Einseitige‘ erste Ableitung nach dem Abstand
’
ergibt sich zu
∂z ∂ π 2 1
0
·
· arctan(2z)
f (d, wi ) =
∂d ∂z wi z
−1
1 π2 1
2
=
·
·
+ 2 arctan(2z)
wi wi z (4z 2 + 1)
z
2
2
1
π 1
− arctan(2z) ,
= 2·
wi z 4z 2 + 1 z
(115)
das entspricht (96), mit 2z anstelle von z und dem zusätzlichen Faktor
∂2z
∂z
= 2.
ZurFormulierung der Feldstärke wird resubstituiert
1
π2
2 |wi |
2d
0
− arctan
f (d, wi ) =
.
d 4d2 + wi2 d
|wi |
(116)
Weiter erhalten wir aus (115) die
Einseitige‘ zweite Ableitung nach dem Abstand
’
π2 1
2
1
·
−
arctan(2z)
wi2 z (4z 2 + 1) z 2
−1
1
−2
1 π2 1
−2 · 8z
2
2
·
·
+ 2 ·
−
·
− 3 arctan(2z)
wi wi2 z (4z 2 + 1)2
z
(4z 2 + 1) z 2 (4z 2 + 1)
z
2
π
4
2
16z
−
−
+
arctan(2z)
z(4z 2 + 1)2 z 2 (4z 2 + 1) z 3
wi3
π2 2
16z 2
4(4z 2 + 1)
arctan(2z)
−
−
z 2 (4z 2 + 1)2 z 2 (4z 2 + 1)2
wi3 z 3
π2 2 1
2(8z 2 + 1)
.
(117)
arctan(2z) −
·
(4z 2 + 1)2
wi3 z 2 z
∂z ∂
·
f (d, wi ) =
∂d ∂z
00
=
=
=
=
2
Das entspricht (98), mit 2z anstelle von z und dem zusätzlichen Vorfaktor ( ∂2z
∂z ) = 4.
Zum Auffinden der Extremstellen der ersten Ableitung (115) suchen wir die
Nullstellen der einseitigen zweiten Ableitung
1
2(8z 2 + 1)
arctan(2z) −
=0
z
(4z 2 + 1)2
Z(z) = (4z 2 + 1)2 arctan(2z) − 2z(8z 2 + 1) = 0 .
f 00 (d, wi ) = 0
⇒
⇔
(118)
Auch hier ist eine triviale Nullstelle bei 2z = 0 ersichtlich, sowie wegen z 2 zwei nichttriviale
Nullstellen symmetrisch dazu. Da auch diese Lösung nicht analytisch darstellbar ist, wird wieder
das Newton-Verfahren verwendet mit der Ableitung der Zielfunktion (118)
vgl. (4.3.3),
S. 51
63
Z 0 (z) = 2(4z 2 + 1) · 8z · arctan(2z) + (4z 2 + 1)2 ·
2
− 48z 2 − 2
+1
4z 2
= 16z(4z 2 + 1) arctan(2z) − 40z 2
= 8z(8z 2 + 2) arctan(2z) − 5z) .
(119)
Zur numerischen Bestimmung der Nullstelle wird das Skript von Seite 51 entsprechend angepasst:
# Customized function and derivative
sub F{ my $Z = shift();
return (4.*$Z*$Z+1.)*(4.*$Z*$Z+1.)*atan2(2.*$Z,1.) - 2.*$Z*(8.*$Z*$Z+1.);
}
sub D{ my $Z = shift();
return 8.*$Z*((8.*$Z*$Z+2.)*atan2(2.*$Z,1.) - 5.*$Z);
}
und wir erhalten
$ time ./Newton.pl
0.800734201086324
0.652606098830639
0.545214586611528
0.472206903511519
0.430166377275709
0.414364993042011
0.412172746177964
0.412132987630307
0.412132974710402
0.412132974710401
0.4121329747104
real
user
sys
0m0.010s
0m0.004s
0m0.000s
nach 11 Iterationen den gesuchten Wert auf 14 sichere Stellen genau,
± z0 =
± d0
≈ 0.41213297471040 ,
wi
(120)
das ist exakt die Hälfte des in (101) erhaltenen Wertes, was zu erwarten war.
vgl. (101),
S. 52
Extrema der einseitigen ersten Ableitung
Durch Einsetzen von (120) in die erste Ableitung (115) erhalten wir schließlich
f 0 (± z0 , wi ) ≈ ∓
π2
· 0.584496120298 ,
wi2
(121)
das ist das Doppelte der in (102) erhaltenen Größe.
64
4.3.5
Über die analytische Unlösbarkeit des formal korrekten Ansatzes
Für die zu integrierende Funktion sind mehrere gleichwertige sinnvolle Darstellungen möglich.
Hier steht ±w2 für die beiden Fälle gleich- oder gegensinniger innerer Tiefen‘.
’
~ri · ~rj
f=
k~ri k2 k~rj k2
(x + d)(x − d) + y 2 + z 2 ± w2
=
,
((x − d)2 + y 2 + z 2 + w2 )3/2 ((x + d)2 + y 2 + z 2 + w2 )3/2
bei maximaler Zusammenfassung von x2
=
x2 + y 2 + z 2 − d2 ± w2
,
((x2 + y 2 + z 2 + w2 − d2 )2 + 4(y 2 + z 2 + w2 )d2 )3/2
(122)
bei maximaler Zusammenfassung von (y 2 + z 2 )
=
x2 + y 2 + z 2 − d2 ± w2
.
((x2 + y 2 + z 2 + w2 + d2 )2 − 4x2 d2 )3/2
(123)
Im Folgenden steht [−2w2 ] für den optionalen Teil, der nur bei gegensinnigen inneren Tiefen‘
’
einzusetzen ist.
Versuchen wir, (122) zuerst entlang ∂x zu integrieren mit a2 := y 2 + z 2 + w2 ,
Z
Z
x2 + a2 − d2 [−2w2 ]
Fx = f ∂x =
∂x = FxA − FxB , mit
((x2 + a2 − d2 )2 + 4a2 d2 )3/2
Z
(x2 + a2 − d2 )
∂x und
FxA :=
((x2 + a2 − d2 )2 + 4a2 d2 )3/2
Z
1
∂x ,
FxB := 0 [+2w2 ]
2
2
2
((x + a − d )2 + 4a2 d2 )3/2
(124)
so sind allerdings die einzelnen Teil-Stammfunktionen FxA , FxB beide analytisch nicht auffindbar, insbesondere da für die Substitution von x2 kein x zum Kürzen der Ableitung 2x zur
Verfügung steht.
Integrieren wir dagegen (123) zuerst zylindrisch über ∂r mit r2 := y 2 + z 2 und a2 := x2 + w2 ,
Z
Z
r (r2 + a2 − d2 [−2w2 ])
Fr = 2π rf (r) ∂r = 2π
∂r = FrA − FrB , mit
((r2 + a2 + d2 )2 − 4x2 d2 )3/2
Z
r (r2 + a2 + d2 )
FrA := 2π
∂r und
((r2 + a2 + d2 )2 − 4x2 d2 )3/2
Z
r
2
2
FrB := 2π 2d [+2w ]
∂r ,
2
2
2
((r + a + d )2 − 4x2 d2 )3/2
65
so kann hier wegen des Faktors r das r2 substituiert und können dadurch als Teil-Stammfunktionen gefunden werden
−1
+C,
FrA = 2π p
2
2
2 (r + a + d2 )2 − 4x2 d2
−(r2 + a2 + d2 )
p
+C.
FrB = 2π (2d2 [+2w2 ])
8x2 d2 (r2 + a2 + d2 )2 − 4x2 d2
Daraus lässt sich durch Einsetzen der Integrationsgrenzen [0; ∞[ und Resubstitution
von a2 = x2 + w2 erhalten
i∞
h
π
=p
frAx = FrA
0
(a2 + d2 )2 − 4x2 d2
π
π
=p
=p
,
2
2
2
2
2
2
2
2
(x + w + d ) − 4x d
(x + w − d2 )2 + 4w2 d2
1
x2 + w2 + d2
p
−
1
4x2 d2
(x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2
h
w2 i π
1 + 2
frBx1 + (w2 + d2 ) frBx1 frBx2 − frBx2 ,
=
4
d
(125)
i∞
h
= π d2 [+w2 ]
frBx = FrB
0
1
frBx1 = p
(x2
frBx2 =
+
w2
−
d2 )2
+
4w2 d2
=
1
frAx
π
mit
(126)
und
1
.
x2
Nun wird im zweiten Schritt über ∂x integriert. Aus (125) wird formuliert
Z
1
∂x ,
FrAx = π p
2
2
(x + w − d2 )2 + 4w2 d2
doch eine solche Stammfunktion ist offenbar nicht analytisch aufzufinden.
Aus (126) formulieren wir
Z
Z
2
2
FrBx = frBx ∂x = π d [+w ]
1
x2 + w2 + d2
p
− 1 ∂x
4x2 d2
(x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2
h
Z
w2 i π
=
1 + 2
FrBx1 + (w2 + d2 ) frBx1 frBx2 ∂x − FrBx2 , wobei
4
d
Z
FrBx1 =
FrBx2
Z
1
p
(x2
w2
d2 )2
−
+
Z
1
1
=
∂x = − + C .
x2
x
+
4w2 d2
∂x =
1
frAx ∂x und
π
(127)
(128)
66
Die Stammfunktion (127) stellt ein konstantes Vielfaches von (125) dar und ist somit gleichfalls
nicht analytisch darstellbar. Hingegen ist (128) trivial lösbar, doch divergiert das bestimmte
Integral für x ∈ ] − ∞; +∞[ ,
h
i0
h
i+a lim FrBx2
+ FrBx2
= ∞.
a→∞
−a
0
Bleibt noch die Integration des Produkts von (127) und (128). In der Form
Z
Z
1
p
∂x ,
frBx1 frBx2 ∂x =
2
2
2
x (x + w − d2 )2 + 4w2 d2
ist wieder keine Substitution von x2 möglich und auch anderweitig keine analytische Lösung zu
finden.
Gemäß der Produktregel der Integration lässt sich auch formulieren
Z
Z ∂
Z
∂
frBx1 frBx2 ∂x =
frBx2 ∂x ∂x
frBx1 frBx2 −
frBx1
∂x
∂x
Z
(x2 + w2 − d2 )
2 (x2 + w2 − d2 )
=−
+
2
∂x .
x ((x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2 )3/2
((x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2 )3/2
Das Integral der rechten Seite entspricht seiner Form nach (124) und ist damit wie jenes nicht
analytisch darstellbar. Der linke Teil ergibt beim Einsetzen der Integrationsgrenzen wiederum
Null.
Bei Vertauschen von frBx1 und frBx2 ,
Z
Z ∂
Z
∂
frBx1 frBx2 ∂x =
frBx1 ∂x ∂x
frBx2 frBx1 −
frBx2
∂x
∂x
Z
Z
1
1
2
p
=− p
+2
∂x ∂x ,
x3
x3 (x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2
(x2 + w2 − d2 )2 + 4w2 d2
divergiert der linke Teil beim Einsetzen der Integrationsgrenzen; auf der rechten Seite entspricht
das innere Integral (127) und ist damit ebenfalls nicht analytisch darstellbar.
Zusammengefasst lässt sich sagen, dass kein Weg zu finden ist, auf dem alle Teil-Stammfunktionen analytisch auffindbar sind. Auch kommt wegen der Wurzeln im Nenner kein mir bekanntes
Residuenverfahren für die uneigentlichen bestimmten Integrale in Betracht.
Insgesamt erscheint es nicht möglich, einen analytischen Ausdruck für W (d, w) anzugeben, obwohl eine beschränkte Glockenfunktion, qualitativ den Lösungen der alternativen Ansätze A
und B entsprechend, vermutlich existiert. Dies ist unbefriedigend und erdarbt eine Lösung.
67
Literatur
[Jac06]
John David Jackson. Klassische Elektrodynamik.
überarbeitete Auflage, 2006.
[Sch03]
Jürgen Schnakenberg. Elektrodynamik: Einführung in die theoretischen Grundlagen.
Wiley-VCH, Weinheim, 1. Auflage, 2003.
[Hak04]
Hermann Haken und Hans Christoph Wolf. Atom- und Quantenphysik: Einführung
in die experimentellen und theoretischen Grundlagen. Springer, Berlin, 8., aktualisierte und erweiterte Auflage, 2004.
[Dan97]
Herbert Daniel. Physik II: Elektrodynamik – relativistische Physik. de Gruyter,
Berlin, 1997.
[Bro01]
Ilja N. Bronštejn, Konstantin A. Semendjaev, Gerhard Musiol und Heiner Mühlig,
Hrsg. Taschenbuch der Mathematik. Deutsch, Frankfurt am Main, 5. Auflage, 2001.
[Tur10]
Claus Wilhelm Turtur. Prüfungstrainer Mathematik . Vieweg+Teubner, Wiesbaden,
3. aktualisierte Auflage, 2010.
[BoIn34]
Max Born & Leopold Infeld, 1934: Foundation of the New Field Theory. Proc. Roy.
Soc. A 144: 425–451
[EiBo69]
Albert Einstein, Hedwig und Max Born: Briefwechsel 1916–1955 kommentiert von
Max Born, München 1969
68
de Gruyter, Berlin u.a., 4.
5
Erklärung
”
Je n’ai pas les temps“
Évariste Galois
Hiermit versichere ich, diese Arbeit alleine und ohne andere als die aufgeführten Hilfsmittel
verfasst zu haben, ohne zu wissen, ob und in welcher Form dasselbe Thema bereits früher
bearbeitet worden sein mag.
Bronsteins Taschenbuch der Mathematik [Bro01] und der Beantwortungsdienst Wolfram|Alpha
(http://wolframalpha.com), basierend auf dem Computeralgebrasystem Mathematica, wurden
verwendet, um sowohl die Auffindbarkeit von Stammfunktionen im Vorfeld zu prüfen, als auch
um die Korrektheit eigener Lösungen zu bestätigen.
Die dargestellten Rechenwege wurden allesamt aus eigener Kraft bewältigt. Für die drucktechnische Umsetzung kamen TEX/LATEX, AMSmath, BibTEX und TikZ/PGF zum Einsatz.
Unabhängig von der Beurteilung der dargestellten Thesen soll damit nahegelegt werden, dass
ich zu einem naturwissenschaftlichen Hochschulstudium befähigt bin.
Dazu wurde diese Arbeit in Form und Umfang einer Seminararbeit gestaltet, soweit mir die dafür
typischen Anforderungen bekannt waren. Die Ausführungen der zugrundeliegenden Rechenwege wurden dabei in den Anhang ausgegliedert, um im Hauptteil den Umfang einer üblichen
Seminararbeit nicht zu sprengen.
Tübingen, den 23. Oktober 2012,
Carsten S.P.Spanheimer
69

Zugehörige Unterlagen

Beispiel 471 (MA1 Sammlung)

pdf-file

Raumintegrale elektrostatischer Felder diskreter

Zugehörige Unterlagen

Produkte

Unterstützung

Raumintegrale elektrostatischer Felder diskreter

Zugehörige Unterlagen

Dieses Dokument Sammlung (en)

Dieses Dokument gespeichert

Schlagen Sie uns vor, wie wir StudyLib verbessern können