Schrittweise Erläuterung der Lenzschen Regel anhand von Aufgabe

1
Lösung zu Blatt 8 Aufgabe 2
2.1 Geben Sie für die Schaltung die komplexe Übertragungsfunktion Ua =f(Ue ) an.
Ua = G(ω) · Ue mit G(ω) als Übertragungsfunktion.
Dieser Schaltung liegt ein invertierender Verstärker (Rückführung auf den
invertierenden Eingang) zu grunde. Deshalb ist die Differenzspannung zwischen den Eingängen Null bzw. die Spannungen haben den gleichen Wert.
UD = 0 ⇒ U+ = U−
(1)
U+ ist die Spannung zwischen nichtinvertierendem Eingang und Masse - liegt
also über dem Kondensator C. Um U+ zu berechnen kann man die Spannungsteilerformel anwenden.
U+ =
⇒ U+ =
1
XC
· Ue mit XC =
RL + XC
jωC
1
jωC
R2 +
1
jωC
· Ue =
1
· Ue
1 + jωCR2
U− ist die Spannung zwischen dem invertierenden Eingang und Masse. Diese
Spannung kann mit dem Überlagerungssatz berechnet werden.
R1
· Ua
R1 + R3
R3
U−00 =
· Ue
R1 + R3
R1
R3
U− = U−0 + U−00 =
· Ua +
· Ue
R1 + R3
R1 + R3
U−0 =
nach (1)
1
R1
R3
· Ue =
· Ua +
· Ue
1 + jωCR2
R1 + R3
R1 + R3
2
Ua
⇔ G(ω) =
=
Ue
1
3
− R1R+R
1+jωCR2
3
R1
R1 +R3
=
R1 + R3
R1
−
R1 + jωCR2 R1 R3
mit R1 = R2 = R3 = 1kΩ
⇒ G(ω) =
2
−1
1 + jωCR2
2.2 a) Wie lautet Ua =f(Ue ) für ω → 0 ?
G(ω) = 1
2.2 b) Wie lautet Ua =f(Ue ) für ω → ∞ ?
G(ω) = −1
2.3 Es sei ω =
G(ω) =
1
.
R2 C
2
1+
j R21C CR2
Geben Sie für diesen Fall Ua =f(Ue ) an.
−1 =
2
2
1−j
2 − 2j
−1 =
·
−1 =
− 1 = −j
1+j
1+j 1−j
1+1
2.4 Skizzieren Sie den Phasengang der Übertragungsfunktion Ua =f(Ue ).
Der Phasengang der Übetragungsfunktion kann mit den Werten aus 2.2 und
2.3 bereits gezeichnet werden. Alternativ kann ϕ(ω) berechnet werden:
G(ω) =
2
2 − (1 + jωR2 C)
1 − jωR2 C
−1=
=
1 + jωR2 C
1 + jωR2 C
1 + jωR2 C
3
G(ω) = |G(ω)| · ejϕ(ω)
Amplitudengang |G(ω)|:
p
12 + (−ωR2 C)2
|Zaehler|
|G(ω)| =
= p
=1
|N enner|
12 + (ωR2 C)2
Phasengang ϕ(ω):
ϕ(ω) = ϕZaehler −ϕN enner = arctan(
−ωR2 C
ωR2 C
)−arctan(
) = −2 arctan(ωR2 C)
1
1
ϕ(0) = 0 ; ϕ(∞) = −2 · 90◦ = −180◦ ; ϕ(
1
) = −2 · 45◦ = −90◦
R2 C
Abbildung 1: Phasengang