Hochpass - HIT HS Karlsruhe

Elektrotechnik
16.4
Das Bode-Diagramm des Hochpasses
Es soll nun die Schaltung nach (16-40)
untersucht und das zugehörige Bode-Diagramm
ermittelt werden. Gegenüber der
vorhergehenden Schaltung sind hier
Kondensator und Widerstand vertauscht
UC
IC
IR
C
I1
R
U1
(16-40)
UR
UOUT
Hochpass
Die Ausgangsspannung UOUT ist Spannung UR.
Diese läßt sich nach der Spannungsteilerregel
berechnen:
R
(16.40)
U OUT 
U 1
R  ZC
Einsetzen des komplexen Widerstands des
Kondensators ergibt:
U OUT 
R
1
R
j C
U 1
(16.41)
jRC
U 1 (16.42)
1  jRC
Auch hier dividiert man die ganze Gleichung
durch die komplexe Spannung U1 , um die
Übertragungsfunktion A zu erhalten:
UC
jRC
 A j  
U1
1  jRC
(16.43)
Der Betrag von A ist der Amplitudengang und
ergibt sich zu :
A j  
jRC
1  jRC

 1 

 RC 
 1 
  A j   arctg 

 RC 
  A j   arctg 
RC
1  RC 
(16.44)
2
Der Phasengang wird am einfachsten aus
Gleichung (16.41) abgeleitet, da dort der Zähler
1 ist:
(16.45)
Wie wir schon im letzten Kapitel gesehen
haben, ist die doppeltlogarithmische
Darstellung für den Amplitudengang und die
einfachlogarithmische Darstellung für den
Phasengang zweckmäßig (Bode-Diagramm).
Wir können aus der graphischen Darstellung
und aus den beiden Gleichungen (16.44) (16.45) folgende Eigenschaften ablesen:
für =RC  0 erhält man:
A j   0 
j0
1  j0
0
(16.46)
 A j  0  arctg    90
(16.47)
für =RC   erhält man:
A j     lim
 
Zur Vereinfachung wird der Ausdruck durch
Erweitern mit jC auf einen Nenner gebracht:
U OUT  F  j  
 ImNenner 

 ReNenner 
  A j   arctg 
j
1  j
1
 A j    arctg 0  0
(16.48)
(16.49)
für =RC =1 erhält man:
A j  RC 1 
j1
1  j1

1
 0,707 (16.50)
2
 A j RC1  arctg 1  45
(16.51)
Der Betrag der Übertragungsfunktion nimmt
also ausgehend von A=0 für =0 mit
zunehmender Frequenz zu, bis er bei   
eins geworden ist. Diese Schaltung sperrt also
die tiefen Frequenzen (A=0) und läßt die
hohen Frequenzen ungehindert (A=1) durch.
Diese Schaltung wird daher als Hochpass
bezeichnet.
Der Phasenwinkel der Übertragungsfunktion
nimmt ausgehend von A = +90° für  = 0
mit zunehmender Frequenz ab, bis er bei
   A = 0° geworden ist.
08.06.2017 Prof. Dr. Koblitz, FH Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 841122240
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Elektrotechnik
Die Frequenz =1/RC (oder =RC=1) wird
auch als Eckfrequenz bezeichnet. Bei dieser
Frequenz ist der Betrag von A auf 0,707
abgefallen und der Phasenwinkel ist A = +45°.
Das Bode-Diagramm des Hochpasses
Über dem Logarithmus der Frequenz wird das
Maß der darzustellenden Größe
(Übertragungsfunktion) in dB aufgetragen:
a(dB)  20 * log 10  A j  
(16.30)
Wir berechnen für verschiedene Werte von
=RC die dazugehörigen Werte von a und
und  und tragen diese in das Bode-Diagramm
ein. Besonders markante Punkte sind die für
=RC=0,1 1 und 10

0,001
0,01
0,1
1/4
1/2
1
2
4
10
100
1000
A j  A in dB A / °
0,001
0,01
0,09955
0,2425
0,4472
0,707
0,894
0,970
0,995
1
1
-60
-40
-20,004
-12,3
-6,99
-3,01
-0,973
-0,0265
-0,0435
0
0
89,9
89,4
84,3
76
63,4
45
26,6
14
5,7
0,6
0,1
Diese Werte sind im Bodediagramm (16-41)
eingetragen.
Gegenüber dem Tiefpass ist der
Amplitudengang des Hochpasses um die
senkrechte Achse durch =RC=1 gespiegelt.
Der Phasengang ist gegenüber dem Tiefpass
praktisch um +90° nach oben geschoben.
=RC=1 hat der Amplitudengang den Wert
–3dB gegenüber der waagrecht liegenden
Asymptote.
Skizze des Phasengangs:
Der Phasengang läßt sich für Frequenzen
=RC1 durch die waagrechte Asymtote,
A = +90° annähern. Für Frequenzen
=RC1 läßt sich die Phase durch den
Wert A = 0° annähern, Am Frequenzpunkt
=RC=1 hat die Phase einen Wert von
A = +45°. Die Wendetangente kann zur
Erleichterung der Skizze eingetragen werden.
Sie schneidet die 0° und +90° Linie bei ca.
2/3 einer Dekade im logarithmischen
Maßstab. Hilfreich sind auch noch die beiden
Phasenwerte von
A = +84,3° und A = +5,7° bei =RC=0,1
bzw. =RC=10
a /dB
0
-3dB
-20
-40
0,01
0,1
1
3
10

100
(A)
+90°
2/3 einer Dekade
+84,3°
+60°
+30°
+5,7°
Wendetangente
Der Amplitudengang und der Phasengang
lassen sich mit einfachen graphischen
Hilfsmitteln ohne großen Aufwand skizzieren:
0°
Skizze des Amplitudengangs:
Der Amplitudengang läßt sich für Frequenzen
=RC1 durch die waagrechte Asymptote,
die bei a=0dB die senkrechte Achse schneidet,
annähern. Für Frequenzen =RC1 läßt sich
der Amplitudengang durch eine Asymptote
annähern, die die waagrechte Asymptote bei
=RC=1 schneidet und mit +20dB pro
Frequenzdekade ansteigt. Am Frequenzpunkt
(16-41) Bode-Diagramm des Hochpasses
nach (16-40)
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08.06.2017 Prof. Dr. Koblitz, FH Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 841122240
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