gbratfu - Lehrer-Uni

LK M Themenblatt
Gebrochen Rationale Funktionen untersuchen
(spezifische Fragestellungen)
Zu einer ausführlichen Funktionsuntersuchung (einschließlich „Spezialitäten“ der gebrochen
rationalen Funktionen) gehören:
maximale Definitionsmenge, Symmetrie
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen
Verhalten bei den Definitionslücken (Pole mit oder ohne VZW, hebbare Lücken,
senkrechte Asymptoten)
Verhalten für x   , waagrechte oder schiefe Asymptoten, Näherungsfunktion
Untersuchung auf Extrempunkte und Wendepunkte
Wertetabelle und Schaubild
Definitionslücken
Entscheidungsverfahren bei einer Definitionslücke x=c (ohne TI92+):
(gegeben sei f(x) in der Form ZP(x) / NP(x) , wobei ZP das Zählerpolynom, NP das
Nennerpolynom ist)
Die Nullstellen von NP(x) sind die Definitionslücken, der verbleibende Definitionsbereich sei
im folgenden D.
Fall 1: NP(c)=0 aber ZP(c)  0
An der Stelle x=c liegt ein Pol vor. Durch Zerlegung von NP(x) in Linearfaktoren kann
die „Vielfachheit“ der Nullstelle c gefunden werden. Ist diese gerade, liegt ein Pol ohne
VZW vor, andernfalls ein Pol mit VZW.
Fall 2: NP( c)=0 und ZP(c)=0
Vor der endgültigen Klärung der Situation muss f(x) mit (x-c) gekürzt werden, was mit
Sicherheit möglich ist. Diese Umformung gilt für D.
Nach der Umformung liegt f(x) in einfacherer Gestalt vor.
Unterfall 2a) In dieser einfacheren Gestalt hat der Nenner für x=c keine Nullstelle
mehr  Es handelt sich um eine hebbare Lücke
Unterfall 2b) Der Nenner hat nach dem Kürzen immer noch eine Nullstelle bei
x=c, der Zähler aber ebenfalls  mit der bereits vereinfachten Darstellung mit
Fall 2 (Kürzen) weitermachen (bis Unterfall 2b nicht mehr auftritt)
Unterfall 2c) Der Nenner hat nach dem Kürzen immer noch eine Nullstelle bei
x=c, der Zähler aber nicht mehr  Weiterbehandlung wie Fall 1.
Entscheidungsverfahren bei einer Definitionslücke x=c (mit TI92+):
Berechne limit(f(x),x,c,-1) und limit(f(x),x,c,1) . Aus den Ergebnissen lassen sich entweder
das Vorhandensein und die Art eines Poles herauslesen, bzw. wenn f(x) beidseitig gegen
einen bestimmten (endlichen) Wert geht, liegt eine hebbare Lücke vor.
Liegt bei x=c eine Polstelle vor, so nennt man die Gerade x=c senkrechte Asymptote.
Verhalten für x  
ZG < NG
f(x)  0; y=0 ist waagrechte Asymptote
ZG = NG
f(x) 
an
a
; y= n ist waagrechte Asymptote
bn
bn
In den anderen Fällen bestimmt man durch Polynomdivision bzw. beim TI mit der Funktion
propFrac eine Form von f(x), die f als Summe einer ganzrationalen Funktion g(x) und einer
gebr.rat. Restfunktion r(x) mit ZG<NG (also Grenzwert 0 für x   ) darstellt. Es gilt dann:
ZG = NG+1
ZG > NG+1
r(x) ist eine lineare Funktion, y=r(x) ist schiefe Asymptote
r(x) ist eine nichtlineare Funktion vom Grad (ZG-NG)
y = r(x) heißt Näherungsfunktion