Gebrochenrationale Funktionen

Gebrochenrationale Funktionen
Die Darstellung einer ganzrationalen Funktion mit
f(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ..... + a 1 x + a 0
(n  IN und a0, ….., an  IR)
haben wir schon kennen gelernt.
Eine gebrochenrationale Funktion ist ein Quotient zweier ganzrationaler Funktionen
p(x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + ..... + a 1 x + a 0
und
q(x) = b m x m + b m - 1 x m - 1 + ..... + b 1 x + b 0 ,
wobei p(x) die Zählerfunktion und q(x) die Nennerfunktion darstellen soll.. Wir haben somit
folgenden Ausdruck:
p( x ) a n  x n  a n 1x n 1  .....  a1x  a 0
f (x) 

q( x ) b m  x m  bm 1x m 1  .....  b1x  b0
Hat die Nennerfunktion q den Grad 0, sie ist damit eine Konstante, so entsteht als spezieller
Fall eine ganzrationale Funktion.
Bei einer beliebig vorgegebenen gebrochenrationalen Funktion sind bezüglich der Zähler- und
Nennernullstellen mehrere Fälle denkbar.
Zunächst einmal ist jedoch klar, daß die Nullstellen der Nennerfunktion nicht zum
Definitionsbereich von f gehören können. Ist nun a  IR nur Nullstelle der Nennerfunktion,
d. h. gilt
p(a)  0
und
q(a) = 0,
so besitzt f an der Stelle x = a eine sogenannte Unendlichkeitsstelle – man sagt auch dazu
Pol. Das Verhalten von f an einem solchen Pol ist jedoch Gegenstand der Oberstufe, da solche
Untersuchungen Kenntnisse über Grenzwerte voraussetzen.
Freilich ist auch möglich, daß eine reelle Zahl a sowohl Nullstelle von p als auch Nullstelle
von q ist. Der Wert f(a) ist damit ohne Grenzwertuntersuchungen nicht bestimmbar.
Dennoch wollen wir in Vorbereitung auf die Oberstufe uns an den folgenden Beispielen
verschiedenen Fälle einmal anschauen.
Beispiel 1
Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion
f (x) 
x 3  3x  2
.
x 1
Zunächst halten wir fest, daß für x = 1 die Nennerfunktion eine Nullstelle besitzt. Für den
Definitionsbereich von f gilt demnach: ID = IR\{1}.
Durch Probieren erhalten wir einmal die 1 als zweifache Nullstelle und die -2 als einfache
Nullstelle der Zählerfunktion. Damit ist sie zweimal durch den Linearfaktor (x – 1) teilbar und
wir können schreiben
x 3  3x  2 x  1 x  2 Kürzen
f (x) 

 x  1x  2  x 2  x  2
x 1
x 1
2
1
für alle x  1
ACHTUNG Was ist eigentlich der Unterschied zwischen der Parabel x  x2 + x – 2 und
der gebrochenrationalen Funktion x  f(x) aus Beispiel 1 ??
Antwort
Der Unterschied liegt einfach im Definitionsbereich; denn die Parabel ist auf ganz IR definiert
und die gebrochenrationale Funktion f nur auf IR\{1}.
Später wird man aber im Rahmen von Stetigkeitsuntersuchungen sagen, daß man die Lücke
bei x = 1 beheben kann.
Nun wollen wir uns noch den Graph von f mit Hilfe eines Funktions-Plotters anschauen und
dazu einige Überlegungen anstellen.
10
8
Graph von f
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
0
-4
1
2
3
Definitionslücke
(Hier ist f nicht definiert !!)
1) Die Zählerfunktion von f besitzt mit n = 3 einen höheren Grad als die Nennerfunktion
mit m = 1.
2) Strebt x   bzw. x  -, so werden die Funktionswerte von f „immer größer“.
3) Da Zähler- und Nennerfunktion den Linearfaktor (x – 1) besitzen, sind die beiden
Polynome nicht teilerfremd – man sagt auch dazu, daß f nicht in der Normalform
vorliegt.
4) Der Graph von f ist bis auf die Definitionslücke mit einer Parabel identisch.
Beispiel 2
Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion
x 3  3x  2
f (x)  2
.
x  2x  1
Gegenüber Beispiel 1 hat sich die Zählerfunktion nicht verändert. Für die Nennerfunktion ist
jetzt x = 1 eine doppelte Nullstelle (Man denke etwa an die zweite Binomische Formel!).
Somit ist x = 1 für die Zähler- wie Nennerfunktion eine doppelte Nullstelle und wir können
schreiben
x 3  3x  2 x  1 x  2  Kürzen
f (x) 

 x  2 
x  12
x  12
2
2
für alle x  1
Ebenso wie bei Beispiel 1 betrachten wir den Graph der gebrochenrationalen Funktion f aus
Beispiel 2 und stellen noch einige Überlegungen an.
10
8
Graph von f
6
4
2
0
-4
-3
-2
-1
-2
0
1
2
3
Definitionslücke
(Hier ist f nicht definiert !!)
-4
1) Die Zählerfunktion von f besitzt mit n = 3 einen höheren Grad als die Nennerfunktion
mit m = 2.
2) Strebt x   , so werden die Funktionswerte von f „immer größer“. Strebt x  -,
so werden die Funktionswerte von f „immer kleiner“.
3) Ebenso wie in Beispiel 1 sind Zähler- und Nennerfunktion nicht teilerfremd, da in
beiden der Linearfaktor (x – 1) auftritt.
4) Der Graph von f ist bis auf die Definitionslücke mit einer Geraden identisch.
Beispiel 3
f (x) 
Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion
x 3  3x  2
.
x 3  3x 2  3x  1
Nach wie vor ist die Zählerfunktion unverändert geblieben. Für die Nennerfunktion ist nun x
= 1 eine dreifache Nullstelle und wir schreiben
x 3  3x  2 x  1 x  2 Kürzen x  2
f (x) 


x 1
x  13
x  13
2
für alle x  1
20
Graph von f
10
0
-4
-3
-2
-1
0
-10
-20
3
1
2
3
Pol
(Mit Vorzeichenwechsel !)
Die Zählerfunktion von f besitzt mit n = 3 denselben Grad wie die Nennerfunktion von f mit
m = 3.
1) Nähert sich x von links der Definitionslücke, so werden die Funktionswerte von f „immer
kleiner“. Nähert sich x von rechts der Definitionslücke, so werden die Funktionswerte von
f „immer größer“. Am Pol besteht somit ein Vorzeichenwechsel.
2) Strebt x   bzw. x  -, so streben die Funktionswerte von f gegen die Zahl 1.
Beispiel 4
Wir betrachten die gebrochenrationale Funktion f ( x ) 
x 3  3x  2
.
x 4  4x 3  6x 2  4x  1
Im Unterschied zu Beispiel 3 ist jetzt die Nennerfunktion vom Grad 4 und besitzt mit x = 1
eine vierfache Nullstelle. Wir schreiben
x 3  3x  2 x  1 x  2  Kürzen x  2


x  14
x  14
x  12
2
f (x) 
für alle x  1
20
Graph von f
10
0
-4
-3
-2
-1
0
-10
1
2
3
Pol
(Ohne Vorzeichenwechsel!)
-20
1) Die Zählerfunktion besitzt mit n = 3 einen geringeren Grad als die Nennerfunktion mit
m = 4.
2) Nähert sich x von links der Definitionslücke, so werden die Funktionswerte von f
„immer größer“. Nähert sich x von rechts der Definitionslücke, so werden die
Funktionswerte von f ebenfalls „immer größer“. Am Pol besteht somit kein
Vorzeichenwechsel.
3) Strebt x   bzw. x  -, so streben die Funktionswerte von f gegen die Zahl 0.
Bereits diese vier Beispiele zeigen, daß der Verlauf des Graphen einer gebrochenrationalen
Funktion wesentlich auch von den Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktion bestimmt
werden, die daher aufmerksam untersucht werden müssen – zumal deren Vielfachheit im
Hinblick auf das Verhalten an den Polen entscheidend ist.
4
Ebenso sind die drei unterschiedlichen Fälle
a)
Zählergrad > Nennergrad
b)
Zählergrad = Nennergrad
c)
Zählergrad < Nennergrad
zu beachten, weil sie das Verhalten der gebrochenrationalen Funktion für „große“ x
bestimmen.
Wir halten nach den vorangegangenen Betrachtungen fest.
Bemerkung 1 (Normalform)
Die Zuordnungsvorschrift jeder rationalen Funktion f(x) läßt sich als Quotient zweier
teilerfremder Polynome p(x) und q(x) darstellen. Diese Form wird auch als Normalform
bezeichnet.
Liegt also eine gebrochenrationale Funktion in ihrer Normalform vor, so besitzen Zähler- und
Nennerfunktion nicht dieselben Linearfaktoren.
Bemerkung 2 (Nullstellen)
Liegt eine gebrochenrationale Funktion f in ihrer Normalform vor, so sind die Nullstellen der
Zählerfunktion auch die Nullstellen von f.
Bemerkung 3 (Abspalten einer ganzrationalen Funktion, Asymptote)
Gegeben sei eine gebrochenrationale Funktion, deren Zählerfunktion p(x) ein Polynom vom
Grade n und deren Nennerfunktion q(x) ein Polynom vom Grade m ist.
Für den Fall m  n läßt sich dann nach Division des Zählers durch den Nenner eine
ganzrationale Funktion g(x) vom Grade m – n abspalten. Als Rest r(x) bleibt eine
gebrochenrationale Funktion, deren Zählergrad kleiner ist als deren Nennergrad.
Es gilt in diesem Falle
f (x) 
p( x )
 g( x )  r ( x )
q( x )
Die ganzrationale Funktion g(x) bezeichnet man auch als Asymptote. Sie bestimmt für
„große“ x den Verlauf von f(x).
x 3  3x 2  3x  1
noch ein Beispiel zur letzten Bemerkung. Die
x 1
Polynomdivision führt zu folgendem Ergebnis. Es ist
Abschließend mit f ( x ) 
f (x )  x 2  4x  7 
also
g(x) = x2 - 4x + 7
und
r(x) =
8
.
x 1
5
8
,
x 1