Differentialrechnung in Geometrie und Physik 14 1) Lotrechter Wurf
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Differentialrechnung in Geometrie und Physik 1) 14 Lotrechter Wurf: s(t) = 12,5 t – 5t² Berechne die maximale Steighöhe! ( 7,81m) Wann hat der Körper eine Höhe von 5 m ? ( nach 0,5 und nach 2 s) Berechne die durchschnittliche Steiggeschwindigkeit! ( 6,25 m/s) Welche Geschwindigkeit hat er nach 1 s ? ( 2,5 m/s) Zeige, dass die Aufprallgeschwindigkeit = Anfangsgeschwindigkeit ist! 2) Freier Fall: s(t) = 5t² Zeige, dass es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handelt! 3) Berechne die Geschwindigkeit nach 2 Sekunden! ( 20m/s) Berechne die Fallhöhe für eine Fallzeit von 5 s! ( 125 m) Wie groß ist dann die Aufprallgeschwindigkeit! (50m/s) Ein Zug fährt in 10 Minuten von einem Bahnhof A zum Bahnhof B. Er legt dabei eine Strecke s(t) = - 0,03 t³ + 0,45 t² zurück. ( t in min, s in km) Berechne die Entfernung AB! ( 15 km) Mit welcher Durchschnittsgeschwindigkeit fährt der Zug? ( 90 km/h) Wann erreicht er eine Geschwindigkeit v = 2,25 km/min und wie weit ist er zu diesem Zeitpunkt vom Bahnhof A entfernt? ( nach 5 min; 7,5 km von A) 4) Beweise über den Differentialquotienten die Ableitung von f(x) = 5x² - 3x +1 5) Wo und unter welchem Winkel schneiden einander die beiden Kurven a) f(x) = x5 und g(x) = 1 x (Bem: b) f(x) = x² + 8x + 6 und g(x) = 3x ? 6) x x 2 ;S1(0/0) = 90°, S2(1/1) = 52,13°) (:S1(-3/-9) = 8,13° S2(-2/-6) = 4,4°) Die Tangente an den Graphen: f(x) = x³ + x² -4 schließt mit der x-Achse einen Winkel a = 30° ein. Bestimme die Koordinaten des Berührpunktes! 7) (P(-0,88/-3,91) Q( 0,22/-3,94)) Der Lichtpunkt auf einem Bildschirm bewegt sich längs einer Kurve, die durch f(x) = x³ - x gegeben ist. In welche Richtung bewegt sich der Punkt an der Stelle 2 ? ( Vektor!) Unter welchem Winkel ist die Tangente in 2 gegen die x-Achse geneigt? 8) f(x) = 3(2x+1)³ An welchen Stellen xo hat die Tangente die Steigung k= 2 ? 9) ( (1/11) ; = 84,8°) KD: f(x) = -x³ + 6x² - 9x + 4 (xo= -2/3, - 1/3) (N1(1/0)², N3(4/0), T(1/0), H(3/4), W(2/2) kw=3) 10) Der Graph der Funktion f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e geht durch die Punkte N(4/0) und P(2/2). Er Hat im Ursprung einen Wendepunkt mit der x-Achse als Tangente. 1 8 ( Bsp 11) 1 2 11) KD: f(x) = x 4 x3 12) Eine Polynomfunktion 4.Grades f(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e berührt die Gerade g: X = (-1/1) + t(3/-1) in den Punkten P( -1/yP) und Q( 2/yQ) und schneidet die y-Achse in R(0/2). ( Lösung mit Ansätzen: P(-1/1), Q(2/0) , k = -1/3 f(-1)=1, f(2)=0, f(0)=2, f‘(-1) = -1/3, f‘(2) = -1/3 als erstes ergibt sich e = 2, dann sind 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten zu lösen!! f(x) = 1 4 2 3 x x 2x 2 ) 3 3 13) Der Graph der Funktion f(x)= ax³ + bx² + cx + d hat die Nullstellen 2 und 0 und den Wendepunkt W(0/0) mit der Wendetangente tw: y = 0,5 x Der Graph der Parabel g(x) = px² + qx + r hat dieselben Nullstellen wie f(x); in W(0/0) stehen die beiden Kurven aufeinander NORMAL. Bestimme die Gleichungen der beiden Funktionen und zeichne ihre Graphen in ein Koordinatensystem! ( Wenn k1 k2 k2 = -1/ k1 f(x) = x³ x , g(x) = x² - 2x ) 8 2 14) Der Graph der Funktion f(x) = ax³ + bx² + cx + d hat in P(0/0) die Steigung 3 und in T(6/0) einen Tiefpunkt. Der Graph der Funktion g(x) = px² + qx +r hat seinen Scheitelpunkt ( = Scheitel der Parabel, also Extrempunkt) an der Stelle 3 und schneidet den Graphen von f in P(0/0) rechtwinkelig. (Buch Nr. 423 f(x)= x³/12 – x² + 3x; N1(0/0), N2(6/0); H(2/8/3), T(6/0), W(4/4/3) kw=-1; g(x)=x²/18-x/3 N1(0/0), N2(6/0), T(3/-0,5)) 15) Der Graph der Funktion f(x)= x³ + bx² + cx + d geht durch P(2/3) und hat in T(1/-1) einen Tiefpunkt. In seinem Wendepunkt wird er vom Graphen g(x) = px² + qx + r BERÜHRT. Der Scheitel von g liegt an der Stelle –1. ( Nr. 424 f(x) = x³ - 3x + 1; N1(-1,88/0),N2(0,35/0), N3(1,53/0) können nur durch ein Näherungsverfahren oder per Computer ( z.Bsp.Derive) berechnet werden!, H(-1/3), T(1/-1), W(0/1) kw=-3; g(x) = -1,5x² - 3x + 1; N1(-2,29/0), N2(0,29/0), H(-1/2,5) 16) Der Graph der Funktion f(x) = ax² + bx +3 verläuft durch die Extrempunkte des Graphen von g(x) = 1 3 3 x x 1. 8 2 Diskutiere beide Funktionen und fertige eine Zeichnung! ( Buch Nr. 425 f(x)= -x²/2 –x +3 N1(-3,65/0) N2(1,65/0) H(-1/3,5); g(x) N1(-3,76/0), N2(0,69/0), N3(3,06/0) können nur durch ein Näherungsverfahren oder per Computer ( z.Bsp.Derive) berechnet werden! H(-2/3), T(2/-1), W(0/1) kw=-3/2) 17) Die Flugbahn eines in 9m Höhe, also in P(0/9) waagrecht abgeschossenen Hartgummiballs wird durch eine quadrat. Funktion beschrieben. Auf die durch x = 4m gegebene lotrechte Wand trifft er in 5 m Höhe auf und wird dort reflektiert (). Wo und unter welchem Winkel schlägt er am Boden wieder auf? ( 2m / 0) unter 71,57°)
