Nullstellen mit Parameter 1
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Lösungsskizzen auf den folgenden Seiten 3. Stegreifaufgabe der 11SA am 11. März 2009 1.0 Untersuchen Sie die jeweiligen Funktionen (D = IR) in 1.1 – 1.3 auf Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit vom entsprechenden Parameter (k, m, n IR): 1.1 fk(x) = (x – k)²(x² + 5x + 6) 1.2 gm(x) = x² + 6x + 9m 1.3 hn(x) = n² – n(x + 1) + 3x – 6 3. Stegreifaufgabe der 11SB am 27. April 2009 1.0 Untersuchen Sie die jeweiligen Funktionen (D = IR) in 1.1 – 1.3 auf Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit vom entsprechenden Parameter (k, m, n IR): 1.1fk(x) = 2kx + 3x + 4k – 5 1.2gm(x) = x² – m + 1 1.3 hn(x) = x² + x – n² – n 4. Stegreifaufgabe der B11VKA am 13. Mai 2009 1.0 Untersuchen Sie die jeweiligen Funktionen (D = IR) in 1.1 – 1.3 auf Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit vom entsprechenden Parameter (k, m, n IR): 1.1 fk(x) = x – k + 9 1.2 gm(x) = x² – m + 9 1.3 hn(x) = x² – nx + 9 3. Stegreifaufgabe der 11WA am 16. März 2010 1. Berechnen Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktion f : x x 3 2 x 2 11x 15 ; D = IR. 2. Berechnen Sie Anzahl, Lage und Vielfachheit der Nullstellen der Funktionenschar g a : x x 2 x 2 a 2 ; D = IR; a IR in Abhängigkeit von a. 3. Berechnen Sie Anzahl und Lage der Nullstelle(n) der Funktionenschar hm : x m x 1 3 x 1 75900569, Stand vom 14.05.16 ; D = IR; m IR in Abhängigkeit von m. Lösungen zur 3. Stegreifaufgabe der 11SA am 11. März 2009 1.1 (x – k)²(x² + 5x + 6)= 0 x1,2 = k x3 = –2 x4 = –3 k = –2: eine dreifache Nullstelle bei –2 und eine einfache Nullstelle bei –3 k = –3: eine dreifache Nullstelle bei –3 und eine einfache bei –2 sonst: eine doppelte Nullstelle bei k und zwei einfache bei –2 und –3 1.2 x² + 6x + 9m = 0 D = 36 – 36m m > 1: keine Nullstellen m = 1: x² + 6x + 9 = (x + 3)² eine doppelte Nullstelle bei –3 m < 1: zwei einfache Nullstellen x1, 2 6 36 36m 6 6 1 m 3 3 1 m 2 2 1.3 n² – n(x + 1) + 3x – 6 = 0 (3 – n)x = 6 – n² + n|(–1) (n – 3)x = n² – n – 6 „MiFo und Vieta“ oder Polynomdivision der rechten Seite durch (n – 3) führt zu: (n – 3)x = (n – 3)(n + 2) n = 3: w. A. d. h. h3(x) = 0 n 3: (n – 3)x = (n – 3)(n + 2)|:(n – 3) x=n+2 eine einfache Nullstelle bei n + 2 Lösungen zur 3. Stegreifaufgabe der 11SB am 27. April 2009 1.1 2kx + 3x + 4k – 5 = 0 (2k + 3)x = 5 – 4k k = –1,5: f–1,5(x) = –11 keine Nullstellen k –1,5: eine einfache Nullstelle bei 5 4k 2k 3 1.2 x² – m + 1 = 0 x² = m – 1 m < 1: keine Nullstellen m = 1: eine doppelte Nullstelle bei 0 m > 1: zwei einfache Nullstellen x1, 2 m 1 75900569, Stand vom 14.05.16 1.3 x² + x – n² – n = 0 D = 1 + 4n² + 4n = (2n + 1)² 1 0 0,5 2 1 2n 1 n –0,5: zwei einfache Nullstellen bei x1,1 , 2 1 2n 1 2n 1 2n 1 n und x1,1 n 1 also x1 2 2 2 n = –0,5: eine doppelte Nullstelle x1,1 Lösungen zur 4. Stegreifaufgabe der B11VKA am 13. Mai 2009 1.1 x – k + 9 = 0 x=k–9 eine einfache Nullstelle bei k – 9 1.2 x² – m + 9 = 0 x² = m – 9 m < 9: keine Nullstellen m = 9: eine doppelte Nullstelle bei 0 m > 9: zwei einfache Nullstellen bei m 9 1.3 x² – nx + 9 = 0 D = n² – 36 –6 < n < 6: keine Nullstellen n = 6: h6(x) = x² – 6x + 9 = (x – 3)² also eine doppelte Nullstelle bei 3 n = –6: h-6(x) = x² + 6x + 9 = (x + 3)² also eine doppelte Nullstelle bei –3 |n| >6: zwei einfache Nullstellen bei n n 2 36 2 Lösungen zur 3. Stegreifaufgabe der 11WA am 16. März 2010 1. x 3 2 x 2 11x 15 0 x1 = 3 x2 , 3 11 121 120 11 1 4 4 x2 = 3 x3 = 2,5 also eine doppelte Nullstelle bei 3 und eine einfache bei 2,5 2. x 2 x 2 a 2 0 x1 = –2 x2 = a x3 = –a a = 2: eine doppelte Nullstelle bei –2 und eine einfache bei 2 75900569, Stand vom 14.05.16 a = 0: eine doppelte Nullstelle bei 0 und eine einfache bei –2 a 2 a 0: drei einfache Nullstellen wie oben 3. m x 1 3 x 1 0 (m + 3)x = m – 3 m = –3: h-3(x) = 6 daher keine Nullstellen m –3: eine einfache Nullstelle bei 75900569, Stand vom 14.05.16 m3 m3
