Sätze über stetige Funktionen - hhg

Sätze über stetige Funktionen
1. Zwischenwertsatz
2. Folgerung Zwischenwertsatz :
Eine stetige Funktion kann nur an einer Nullstelle ihr Vorzeichen wechseln
3. Satz vom Maximum
4. Lokale Extrema :
Auf ein lokales Minimum folgt stets ein lokales Maximum und umgekehrt.
5. Wendepunkte :
Zwischen zwei lokalen Extremstellen liegt stets wenigstens ein Wendepunkt. Außerdem gilt Satz 4
analog für Wendepunkte.
Sätze über ganzrationale Funktionen
(es wird immer vorausgesetzt, dass die Funktion nicht konstant ist)
1. Verhalten im Unendlichen
2. Jede Funktion ungeraden Grades besitzt wenigstens eine Nullstelle.
3. Jede Funktion geraden Grades besitzt wenigstens ein lokales Extremum, jede Funktion ungeraden
Grades besitzt wenigstens einen Sattelpunkt.
4. Ganzrationale Funktionen bleiben „unter sich“, d.h. Addition, Subtraktion und Multiplikation von
ganzrationalen Funktionen sind wieder ganzrational und es gilt der Euklidische Algorithmus analog
zu ganzen Zahlen : für Grad g < Grad f ist eindeutig :
f(x) = g(x) h(x) + r(x) (Grad r < Grad g)
5. Satz von der Polynomdivision :
Ist  Nullstelle von f, dann gibt es ein Polynom g niedrigeren Grades, so dass gilt :
g(x) = (x – a) f(x)
6. Satz vom Koeffizientenvergleich
7. Ganzrationale Funktionen sind nie stückweise konstant und stimmen auch nie stückweise überein,
es sei denn sie stimmen in ganz R überein.
8. Anzahl der Nullstellen, Anzahl der lokalen Extrema, Anzahl der Wendepunkte
9. Definition der Vielfachheit einer Nullstelle. Sätze über die Vielfachheit der Nullstellen und Max. /Min,
WP, Sattelp.
10. Jeder Sattelpunkt reduziert die Zahl der möglichen lokale Extrema um 2.