"Realem Bezug". ()

D:\68609261.doc
14.05.16
03:23
Ganzrationale Funktionen mit „realem Bezug“
Aufgabe 1:
Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion niedrigsten Grades, die diese Rampe beschreibt („glatte“ Anschlüsse, d.h. ohne
Knick). Prüfen Sie, ob die maximale Steigung einen Winkel von 28° nicht übersteigt.
l(x) = 1 für x ≤ 0; r(x) = 5 für x ≥ 9; der Graph der gesuchten Funktion f muss die Punkte A(0|1)
und B(9|5) enthalten; wegen „glatt“ muss f (0) = 0 und f (9) = 0 sein. Dies ergibt vier Bedingungen,
d.h., man bestimmt eine Funktion dritten Grades. Aus f (0) = 0 folgt c = 0, aus f(0) = 1 folgt d = 1
f (9) = 0:
243a + 18b = 0 
f(9) = 5:
729a 
2187
2
a = 4
b = 
a = 

27
2
8
a
729
; b =
4
27
;
f(x) = 
8
729
x3 +
4
27
x² + 1
Aufgabe 2:
Eine lineare Funktion f geht durch den Punkt A(–2|2) mit f ( 2) = 2, eine lineare Funktion g geht durch den Punkt B(3|0) mit
g(3) = –1. Gesucht ist eine ganzrationale Funktion niedrigsten Grades, welche die beiden Punkte knickfrei verbindet.
Fertigen Sie eine Skizze für –5 ≤ x ≤ 6.
Vier Bedingungen liefern wieder eine Funktion dritten Grades.
I: h(–2) = 2:
–8a + 4b –2c + d = 2
II: h(3) = 0:
27a + 9b + 3c + d = 0
III: h(3) = –1:
27a + 6b + c = –1
IV: h( 2) = 2: 12a –4b + c = 2
h(x) =
9
125
x3 
51
125
x2 
62
125
x
402
125
Aufgabe 3:
Ein bisher sehr unfallträchtiger Straßenabschnitt soll durch eine neue Straßenführung zwischen
A(–2|1) und B(1|–1) sicherer werden. Insbesondere soll an den Anschlussstellen kein Wechsel des Lenkradeinschlags erfolgen
(„ruckfreier“ Übergang). Für x ≤ –2 folgt der Straßenverlauf der Funktion f mit f(x) = (x + 2)² + 1, für x ≥ 1 der Funktion g
mit
g(x) = 0,25x² – 1,5x + 0,25.
Sechs Bedingungen liefern eine Funktion fünften Grades.
I: h(–2) = 1:
–32a + 16b –8c + 4d –2e + f = 1
II: h(1) = –1:
a + b + c + d + e + f = –1
III: h(1) = –1: 5a + 4b + 3c + 2d + e = –1
IV: h( 2) = 0: 80a – 32b + 12c –4d + e = 0
V: h(1) = 0,5: 20a + 12b + 6c + 2d
= 0,5
VI: h( 2) = 2: –160a + 48b –12c + 2d = 2
h(x) = 
13
x 
5
324
1
81
x 
4
95
x 
324
3
25
162
x 
2
107
81
x
19
81
Aufgabe 4:
Die beiden Funktionen g und h beschreiben den Verlauf zweier Straßenabschnitte. Diese sollen durch eine
Verbindungsstraße glatt miteinander verbunden werden. g(x) = –2 für x ≤ 0, h(x) = –½x + 4 für x ≥ 6
a)
Finden Sie eine ganzrationale Funktion möglichst niedrigen Grades, welche diese Bedingung erfüllt.
Man erhält vier Bedingungen und damit eine Funktion dritten Grades.
I: f(0) = –2:
©pegeos
d = –2
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II:
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f (0) = 0:
c = 0
III: f (6) = –0,5: 108a + 12b = –0,5
IV: f(6) = 1:
b)
f(x) = 
216a + 36b = 3
1
24
x3 
1
3
x2  2
Im Planquadrat 3 ≤ x ≤ 4  0 ≤ y ≤ 1 befindet sich ein See. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funktion so,
dass die Straße nicht durch den See führt.
1  4  5
1 
 1
k
 k   x3  k  x2  2
x 
108 
 36
 72 3 
Eine mögliche Funktionenschar als Lösung: fk(x) = 
©pegeos
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