Ganzrationale Funktionen Lineare Funktionen

Werbung
E1/E2 Mathematik
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
E1/E2 Mathematik
Martin-Niemöller-Schule
Ganzrationale Funktionen
Stefan Krissel
Lineare Funktionen
Wie erkennt man ganzrationale Funktionen?
Lineare Funktionen (von lateinisch linea = (gerade) Linie) sind ganzrationale Funktionen mit dem Grad 1.
Ihre Grundform ist:
ganzrational
nicht ganzrational
m(x)  5x
m(x)  5x
g(y)  y
nicht ganzrational
1
f(x) 
x
g(y)  y 1
h(y)  3 y
h(y)  (3y) 1
z(a)  a2  1
z(a)  a0,2  1
w(a)   ba2  1
n2
p(n)  
3
k(q)  0,7  q20
w(b)   ba2  1
n0,3
p(n)  
2
k(q)  0,7 : q20
ü(u)  (u  4) : 3
ü(u)  (u  4) : u
f(x)  x
1
2
r(n)  n2  n  5,3
s(q)  0,7q
20
t(u)  (u  4)
2
1 1
r(n)  n  n  5,3
s(q)  20q
0,7
t(u)  (u  4)
2
2
Die beiden Schreibweisen sind aber äquivalent (=gleichwertig).
Diese Funktionen heißen linear, weil ihr Graph eine Gerade ist.
Beispiele
„Partnern“. Was fällt auf?
2. Versucht in Worten zu beschreiben, was alle ganzrationalen Funktionen gemeinsam haben und damit,
wodurch sie sich von den ihnen ähnelnden nicht ganzrationalen Funktionen unterscheiden.


 an2x
 ...  a2x  a1x  a0
Es gilt für diese Gleichung Folgendes (bitte unbedingt auswendig lernen!):
▪ n ist irgendeine natürliche Zahl. In Bezug auf die Funktion heißt sie Grad. Der Grad ist der höchste Exponent, der bei der Variablen steht.
▪ Die verschiedenen ai sind allesamt reelle Zahlen (wobei an als einzige Zahl nicht Null sein darf – sonst
hätte die Funktion nicht mehr den Grad n). Sie heißen Koeffizienten. Die kleinen Zahlen und Buchstaben rechts unten neben dem a dienen nur der Durchnummerierung.
e(u)  9,5  100u
Pflichtaufgaben im Buch (Seiten 14–31)
Zu erledigen bis
Winkel
Zu erledigen bis
  
1
Steigung,
Achsenschnitte
f(x)  anx  an1x
2
q(x)  3,7x
Die linearen Funktionen werden im Buch auf den Seiten 14 bis 31 behandelt. Wir werden meistens dem
Verlauf des Buches folgen.
Die wichtigsten Informationen zu den linearen Funktionen findet man im Tafelwerk auf Seite 21.
Jede ganzrationale Funktion hat eine Gleichung, die in folgende Form passt (auch wenn es zuerst nicht so
scheinen mag):
n2
3
w  2,5
5
Kapitel im Buch und im Tafelwerk
Die Grundform ganzrationaler Funktionsgleichungen
n1
z(w) 
k(r)  5r  6
2
Aufgaben dazu
1. Vergleiche nacheinander die ganzrationalen Funktionen mit den nebenstehenden nicht ganzrationalen
n
f(x)  mx  b
Häufig schreibt man auch:
f(x)  a1x  a0
Anw.
17
5
18
7
38
9
Anw.
47
6
  
14
2
Mehrere
Geraden
ganzrational
35
13
Anwendungsaufgabe
Die Bearbeitung solcher Aufgaben ist sehr wichtig, da im Abitur fast nur solche Anwendungen vorkommen.
Um mit den ganzrationalen Funktionen vertraut zu werden, befassen wir uns zunächst mit den Spezialfällen der
linearen Funktionen und den quadratischen Funktionen.
a) Werner und Andreas veranstalten ein 200m-Wettrennen. Da Werner älter und langsamer ist als Andreas,
bekommt er 12 Meter Vorsprung. Die beiden starten gleichzeitig. Andreas läuft 18 km/h, Werner 16 km/h.
Zeige, dass Andreas das Rennen gewinnt und bestimme, nach welcher Zeit und nach welcher Strecke Werner überholt wird.
b) Nach dem Rennen leihen sich die beiden Quads und fahren auf eine Bergstraße. Dort steht ein Schild mit
der Aufschrift „Steigung: 60%“. In der Gebrauchsanweisung der Quads steht: „Geeignet für Steigungen bis
zu 35°“. Ermittle, ob die Straße für die beiden befahrbar ist.
Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen
Noch eine Aufgabe
3. Nimm dir nun die ganzrationalen Funktionsgleichungen aus der Tabelle vor (also nur die „linken“). Gib jeweils die Koeffizienten (jeden einzeln angeben), den Grad und die Variable an.
1
2
E1/E2 Mathematik
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Quadratische Funktionen
E1/E2 Mathematik
Martin-Niemöller-Schule
Stefan Krissel
Aufgabe
4. Wandle die angegebenen Funktionsgleichungen in die beiden nicht angegebenen Formen um. Gib dann
den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte an. Zeichne den Graphen.
Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen mit dem Grad 2, sie haben also die Grundform
f(x)  a2x2  a1x  a0
Man nennt sie quadratisch, weil eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, also z.B. 5  5  52 , ebenfalls
Quadrat genannt wird.
1
(x  3)2  2,25
4
a. a(x)  (x  3)(x  2)
b. b(x)  (x  1)2  2,25
c. c(x) 
d. d(x)  2x2  8x  6
e. e(x)  3(x  1)2  3
f. f(x)  
3 2
9
x  3x 
2
2
Beispiele
L(r)  4r2  2r  5
5
y(w)   w2  w  1,2
8
p(x)  2x2  3x
f(u)  7  u2
Kapitel im Buch und im Tafelwerk

Die drei Formen quadratischer Funktionsgleichungen

Die linearen Funktionen werden im Buch auf den Seiten 32 bis 48 behandelt. Wir werden meistens dem
Verlauf des Buches folgen.
Die wichtigsten Informationen zu den linearen Funktionen findet man im Tafelwerk auf Seite 22.
Die Form als Polynom
a  0  Parabel ist nach unten geöffnet.
a  0  Parabel ist nach oben geöffnet.
a=0 ist nicht erlaubt.
Die Scheitelpunktsform
2
f(x)  a(x  xs )  ys mit a, xs , ys  
Hier kann man gut den Scheitelpunkt (Tief- oder Hochpunkt) des Graphen ablesen, er liegt bei (xs | ys ) . Man
kann sagen, der Graph der Funktion gegenüber der Normalparabel um xs parallel zur x-Achse und um ys parallel
zur y-Achse verschoben wurde, dazu kommen Streckungen und Stauchungen sowie die Öffnungsrichtung, abhängig vom Parameter a, wie oben erklärt.
Zu erledigen bis
Vers. und
Streckung
Rekons.
36
6
Extr.
37
7
Rekons.
38ab
8
12
Nullstellen
24
P. & Ger.
25
Relation
34
Die Darstellung als Linearfaktoren
f(x)  a(x  xN1)(x  xN2 ) mit a, xN1, xN2  
In dieser Form kann man gut die Nullstellen der Funktion ablesen, sie sind xN1 und xN2 . Für a gilt das Übliche.
Ganzrationale Funktionen
3
Zu erledigen bis
  
3
Anwendungen
a  1 oder a  1  Parabel ist gestreckt.
1  a  1  Parabel ist gestaucht.
Pflichtaufgaben im Buch (Seiten 14–31)
Verschiebungen
f(x)  ax2  bx  c mit a,b,c  
Wie ihr wisst, liegt bei (0|c) der y-Achsenschnittpunkt. Am Parameter a kann man ablesen, ob der Graph der
Funktion, die Parabel, im Verhältnis zur Normalparabel gestaucht oder gestreckt ist und in welche Richtung er
geöffnet ist:
Ganzrationale Funktionen
4
41
42
43
49
  
Herunterladen
Explore flashcards