Ganzrationale Funktionen Lineare Funktionen
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E1/E2 Mathematik Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel E1/E2 Mathematik Martin-Niemöller-Schule Ganzrationale Funktionen Stefan Krissel Lineare Funktionen Wie erkennt man ganzrationale Funktionen? Lineare Funktionen (von lateinisch linea = (gerade) Linie) sind ganzrationale Funktionen mit dem Grad 1. Ihre Grundform ist: ganzrational nicht ganzrational m(x) 5x m(x) 5x g(y) y nicht ganzrational 1 f(x) x g(y) y 1 h(y) 3 y h(y) (3y) 1 z(a) a2 1 z(a) a0,2 1 w(a) ba2 1 n2 p(n) 3 k(q) 0,7 q20 w(b) ba2 1 n0,3 p(n) 2 k(q) 0,7 : q20 ü(u) (u 4) : 3 ü(u) (u 4) : u f(x) x 1 2 r(n) n2 n 5,3 s(q) 0,7q 20 t(u) (u 4) 2 1 1 r(n) n n 5,3 s(q) 20q 0,7 t(u) (u 4) 2 2 Die beiden Schreibweisen sind aber äquivalent (=gleichwertig). Diese Funktionen heißen linear, weil ihr Graph eine Gerade ist. Beispiele „Partnern“. Was fällt auf? 2. Versucht in Worten zu beschreiben, was alle ganzrationalen Funktionen gemeinsam haben und damit, wodurch sie sich von den ihnen ähnelnden nicht ganzrationalen Funktionen unterscheiden. an2x ... a2x a1x a0 Es gilt für diese Gleichung Folgendes (bitte unbedingt auswendig lernen!): ▪ n ist irgendeine natürliche Zahl. In Bezug auf die Funktion heißt sie Grad. Der Grad ist der höchste Exponent, der bei der Variablen steht. ▪ Die verschiedenen ai sind allesamt reelle Zahlen (wobei an als einzige Zahl nicht Null sein darf – sonst hätte die Funktion nicht mehr den Grad n). Sie heißen Koeffizienten. Die kleinen Zahlen und Buchstaben rechts unten neben dem a dienen nur der Durchnummerierung. e(u) 9,5 100u Pflichtaufgaben im Buch (Seiten 14–31) Zu erledigen bis Winkel Zu erledigen bis 1 Steigung, Achsenschnitte f(x) anx an1x 2 q(x) 3,7x Die linearen Funktionen werden im Buch auf den Seiten 14 bis 31 behandelt. Wir werden meistens dem Verlauf des Buches folgen. Die wichtigsten Informationen zu den linearen Funktionen findet man im Tafelwerk auf Seite 21. Jede ganzrationale Funktion hat eine Gleichung, die in folgende Form passt (auch wenn es zuerst nicht so scheinen mag): n2 3 w 2,5 5 Kapitel im Buch und im Tafelwerk Die Grundform ganzrationaler Funktionsgleichungen n1 z(w) k(r) 5r 6 2 Aufgaben dazu 1. Vergleiche nacheinander die ganzrationalen Funktionen mit den nebenstehenden nicht ganzrationalen n f(x) mx b Häufig schreibt man auch: f(x) a1x a0 Anw. 17 5 18 7 38 9 Anw. 47 6 14 2 Mehrere Geraden ganzrational 35 13 Anwendungsaufgabe Die Bearbeitung solcher Aufgaben ist sehr wichtig, da im Abitur fast nur solche Anwendungen vorkommen. Um mit den ganzrationalen Funktionen vertraut zu werden, befassen wir uns zunächst mit den Spezialfällen der linearen Funktionen und den quadratischen Funktionen. a) Werner und Andreas veranstalten ein 200m-Wettrennen. Da Werner älter und langsamer ist als Andreas, bekommt er 12 Meter Vorsprung. Die beiden starten gleichzeitig. Andreas läuft 18 km/h, Werner 16 km/h. Zeige, dass Andreas das Rennen gewinnt und bestimme, nach welcher Zeit und nach welcher Strecke Werner überholt wird. b) Nach dem Rennen leihen sich die beiden Quads und fahren auf eine Bergstraße. Dort steht ein Schild mit der Aufschrift „Steigung: 60%“. In der Gebrauchsanweisung der Quads steht: „Geeignet für Steigungen bis zu 35°“. Ermittle, ob die Straße für die beiden befahrbar ist. Ganzrationale Funktionen Ganzrationale Funktionen Noch eine Aufgabe 3. Nimm dir nun die ganzrationalen Funktionsgleichungen aus der Tabelle vor (also nur die „linken“). Gib jeweils die Koeffizienten (jeden einzeln angeben), den Grad und die Variable an. 1 2 E1/E2 Mathematik Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Quadratische Funktionen E1/E2 Mathematik Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel Aufgabe 4. Wandle die angegebenen Funktionsgleichungen in die beiden nicht angegebenen Formen um. Gib dann den Scheitelpunkt und die Achsenschnittpunkte an. Zeichne den Graphen. Quadratische Funktionen sind ganzrationale Funktionen mit dem Grad 2, sie haben also die Grundform f(x) a2x2 a1x a0 Man nennt sie quadratisch, weil eine Multiplikation einer Zahl mit sich selbst, also z.B. 5 5 52 , ebenfalls Quadrat genannt wird. 1 (x 3)2 2,25 4 a. a(x) (x 3)(x 2) b. b(x) (x 1)2 2,25 c. c(x) d. d(x) 2x2 8x 6 e. e(x) 3(x 1)2 3 f. f(x) 3 2 9 x 3x 2 2 Beispiele L(r) 4r2 2r 5 5 y(w) w2 w 1,2 8 p(x) 2x2 3x f(u) 7 u2 Kapitel im Buch und im Tafelwerk Die drei Formen quadratischer Funktionsgleichungen Die linearen Funktionen werden im Buch auf den Seiten 32 bis 48 behandelt. Wir werden meistens dem Verlauf des Buches folgen. Die wichtigsten Informationen zu den linearen Funktionen findet man im Tafelwerk auf Seite 22. Die Form als Polynom a 0 Parabel ist nach unten geöffnet. a 0 Parabel ist nach oben geöffnet. a=0 ist nicht erlaubt. Die Scheitelpunktsform 2 f(x) a(x xs ) ys mit a, xs , ys Hier kann man gut den Scheitelpunkt (Tief- oder Hochpunkt) des Graphen ablesen, er liegt bei (xs | ys ) . Man kann sagen, der Graph der Funktion gegenüber der Normalparabel um xs parallel zur x-Achse und um ys parallel zur y-Achse verschoben wurde, dazu kommen Streckungen und Stauchungen sowie die Öffnungsrichtung, abhängig vom Parameter a, wie oben erklärt. Zu erledigen bis Vers. und Streckung Rekons. 36 6 Extr. 37 7 Rekons. 38ab 8 12 Nullstellen 24 P. & Ger. 25 Relation 34 Die Darstellung als Linearfaktoren f(x) a(x xN1)(x xN2 ) mit a, xN1, xN2 In dieser Form kann man gut die Nullstellen der Funktion ablesen, sie sind xN1 und xN2 . Für a gilt das Übliche. Ganzrationale Funktionen 3 Zu erledigen bis 3 Anwendungen a 1 oder a 1 Parabel ist gestreckt. 1 a 1 Parabel ist gestaucht. Pflichtaufgaben im Buch (Seiten 14–31) Verschiebungen f(x) ax2 bx c mit a,b,c Wie ihr wisst, liegt bei (0|c) der y-Achsenschnittpunkt. Am Parameter a kann man ablesen, ob der Graph der Funktion, die Parabel, im Verhältnis zur Normalparabel gestaucht oder gestreckt ist und in welche Richtung er geöffnet ist: Ganzrationale Funktionen 4 41 42 43 49
