Inhaltsverzeichnis - Freiburger Verlag

Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
7
1
Ganzrationale Funktion – Kurve 4. Grades
9
Hessen Musteraufgabe
9
2
Ganzrationale Funktion – Parabel und Stammfunktion
13
Hessen Abitur 2007
13
Ganzrationale Funktion – Rotationskörper
17
Hessen Musteraufgabe
17
Ganzrationale Funktion – Kurve 4. Grades
22
NRW Abitur 2007
22
5
Ganzrationale Funktion – Kugelstoßen
26
6
Ganzrationale Funktion – Stausee
30
NRW Abitur 2007
30
Ganzrationale Funktion – Heißluftballon
35
Hessen Abitur 2008
35
8
Ganzrationale Funktion – Mountainbike
40
9
Ganzrationale Funktion – Swimmingpool
43
3
4
7
10 Ganzrationale Funktion – Radsportler
NRW Abitur 2008
46
46
11 Gebrochenrationale Funktion – Mineraldünger
51
12 Gebrochenrationale Funktion – Flaschenproduktion
54
Hessen Abitur 2008
13 Gebrochenrationale Funktion – Eisenbahngleise
Hessen Abitur 2009
14 Exponentialfunktion – rechtwinkliger Schnittpunkt
NRW Abitur 2008
15 Exponentialfunktion – Funktionenschar
Niedersachsen Abitur 2006
16 Exponentialfunktion – Spiegelung und Streckung
54
59
59
65
65
70
70
75
Niedersachsen Abitur 2007
75
17 Exponentialfunktion – Ventile
80
5
Inhaltsverzeichnis
18 Exponentialfunktion – Jod
83
19 Exponentialfunktion – Bakterien
87
20 Exponentialfunktion – Pharmaunternehmen
91
NRW Abitur 2008
21 Exponentialfunktion – Fichtenwachstum
NRW Abitur 2007
22 Exponentialfunktion – Sonnenblume
23 Exponentialfunktion – Strauch
NRW Abitur 2009
24 Exponentialfunktion – Feinstaub
91
95
95
98
101
101
104
Niedersachsen Abitur 2006
104
25 Exponentialfunktion – Infusion
107
Hessen Musteraufgabe
107
26 Logarithmusfunktion – Schale
110
27 Trigonometrische Funktion – Sonnenschein
114
28 Trigonometrische Funktion – Luftvolumen der Lunge
117
KMK Musteraufgabe
Stichwortverzeichnis
6
117
120
Vorwort
Vorwort
In diesem Aufgabenbuch finden Sie 28 Aufgaben für Prüfungsvorbereitungsklassen. Die Aufgaben
sind nach Funktionenklassen sortiert und bieten eine breite Auswahl an Aufgabentypen und Schwierigkeitsgeraden.
Am Anfang finden Sie rein mathematische «klassische» Abituraufgaben, anschließend gemischte
Aufgaben und zum Schluss eher anwendungsbezogene Aufgaben. Im Anschluss an die Aufgaben
befindet sich eine ausführliche Lösung, mit der auch Ihre Schüler die Bearbeitung der Aufgabe gut
nachvollziehen kommen.
Teilweise handelt es sich bei den Aufgaben um ehemalige Abituraufgaben aus verschiedenen Bundesländern, dies ist im Inhaltsverzeichnis angegeben.
Wir hoffen, dass dieses Buch Ihnen bei der Abiturvorbereitung für Ihre Schüler hilft.
Helmut Gruber, Robert Neumann
7
8. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
8 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 Euro und variable Kosten V(x) (in Euro), die durch folgende
Tabelle modellhaft gegeben sind:
x
0
2
6
10
V(x)
0
306
954
1650
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V(x) sowie der
monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x.
Skizzieren Sie den Graph von H für 0 6 x 6 200 in ein geeignetes Koordinatensystem.
Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten?
b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 Euro pro Stück an
einen Händler verkauft.
Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie den Graph
der Gewinnfuktion in das vorhandene Koordinatensystem.
Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn?
Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat?
c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken.
Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn pro
Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen
soll?
40
8. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Lösung
a) Da die variablen Kosten V durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden
sollen, gilt für V der Ansatz: V(x) = ax 2 + bx + c.
Aus den gegebenen Daten erhält man folgende Gleichungen:
I V(0) =
0
II V(2) = 306
III V(6) = 954
bzw.
Dies führt zu:
I a · 02 + b · 0 + c =
0
2
II a · 2 + b · 2 + c = 306
III a · 62 + b · 6 + c = 954
I
II
III
c =
0
4a + 2b = 306
36a + 6b = 954
Multipliziert man Gleichung II mit 3 und subtrahiert davon Gleichung III, so ergibt sich:
−24a = −36 ⇒ a = 1, 5. Setzt man a = 1, 5 in Gleichung II ein, so erhält man:
4 · 1, 5 + 2b = 306 ⇒ b = 150. Außerdem ist auch V(10) = 100a + 10b = 1650 erfüllt.
Somit werden die variablen Kosten V beschrieben durch: V(x) = 1, 5x 2 + 150x.
Die monatlichen Herstellungskosten H setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten
V zusammen:
H(x) = 5000 + V(x)
= 1, 5x2 + 150x + 5000.
Wenn die variablen Kosten V(x) fünfmal so hoch wie die Fixkosten (5000 e) sein sollen, muss
gelten:
V(x) = 25 000 bzw. 1, 5x2 + 150x = 25 000 ⇒ x1 ≈ 88, 44 und x2 ≈ −188, 44.
Bei einer Produktion von 88 Mountainbikes sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die
Fixkosten.
41
8. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
b) Den monatlichen Gewinn G erhält man, indem man die Herstellungskosten H vom Erlös E
subtrahiert. Da ein Mountainbike für 450 e an den Händler verkauft wird, gilt für den Erlös E
bei x produzierten Mountainbikes:
E(x) = 450 · x
G(x) = E(x) − H(x) = 450x − (1, 5x2 + 150x + 5000) = −1, 5x2 + 300x − 5000
Die Firma macht Gewinn, wenn G(x) positiv ist, d.h. die Produktionszahlen zwischen den
Nullstellen von G liegen, da der Graph von G eine nach unten offene Parabel ist.
G(x) = 0 führt zu −1, 5x2 + 300x − 5000 = 0 ⇒ x1 ≈ 18, 4 und x2 ≈ 181, 6.
Die Firma macht Gewinn, wenn mehr als 18 und weniger als 182 Mountainbikes hergestellt
werden.
Den maximalen Gewinn erhält man durch Berechnung des Maximums von G durch Nullsetzen
der 1. Ableitung:
G 0 (x) = −3x + 300 = 0 ⇒ x = 100.
Da G 0 bei x = 100 das Vorzeichen von + nach − wechselt, handelt es sich um ein Maximum.
Setzt man x = 100 in G(x) ein, so erhält man:
G(100) = −1, 5 · 1002 + 300 · 100 − 5000 = 10 000.
Bei einer Produktion von 100 Mountainbikes pro Monat beträgt der maximale Gewinn also
10 000 e.
c) Wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden, betragen die Herstellungskosten
H(90) = 1, 5 · 902 + 150 · 90 + 5000 = 30 650.
Ist p der Preis für ein Mountainbike, so beträgt der Erlös E = 90 · p.
Da der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll, muss gelten:
90p − 30 650 > 2000 ⇒ p > 362, 78.
Der Preis für ein Mountainbike kann also höchstens um 450 − 362, 78 = 87, 22 e gesenkt
werden.
Da 87,22
450 ≈ 0, 194 = 19, 4 %, also kann der ursprünglich erzielte Preis um höchstens 19,4 %
gesenkt werden.
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