Erfolg im Mathe

H. Gruber, R. Neumann
Erfolg im
Mathe-Abi
Prüfungsaufgaben
Niedersachsen
Übungsbuch für den Grundkurs
mit Tipps und Lösungen - plus
Aufgaben für GTR und CAS
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Analysis
1
Ganzrationale Funktion - Mountainbike ............................................................................ 9
2
Ganzrationale Funktion - Swimmingpool ........................................................................ 10
3
Exponentialfunktion - Jod ................................................................................................. 11
4
Exponentialfunktion - Ventile ........................................................................................... 12
5
Exponentialfunktion - Infusion ......................................................................................... 13
6
Ganzrationale Funktion - Küstenlinie (GTR) ................................................................... 14
7
Ganzrationale Funktion - Näherungskurve (GTR) .......................................................... 15
8
Exponentialfunktion - Sonnenblume (GTR) .................................................................... 16
9
Exponentialfunktion - Tannensetzling (GTR) .................................................................. 17
10
Gebrochenrationale Funktion - Heizkosten (GTR) .......................................................... 18
11
Gebrochenrationale Funktion - Zahnpasta (GTR) ........................................................... 19
12
Gebrochenrationale Funktion - Skispringen (GTR) ......................................................... 20
13
Trigonometrische Funktion - Sonnenschein (GTR) ......................................................... 21
14
Trigonometrische Funktion - Schwimmer (GTR) ............................................................ 22
15
Trigonometrische Funktion - Pegelstand (GTR) .............................................................. 23
16
Exponentialfunktion - Abkühlung (CAS) ......................................................................... 24
17
Trigonometrische Funktion - Näherungskurve (CAS) ..................................................... 25
Geometrie
18
Turm .................................................................................................................................. 26
19
Pyramide ............................................................................................................................ 27
20
Geradenschar ..................................................................................................................... 28
21
Zelt ..................................................................................................................................... 29
22
Solarzellen (GTR) ............................................................................................................. 30
23
Kreiskegel (GTR) .............................................................................................................. 31
24
Würfel (CAS) .................................................................................................................... 32
Stochastik
25
Glücksspiel 1 ..................................................................................................................... 33
26
Handys ............................................................................................................................... 34
27
Sommerfest ........................................................................................................................ 35
Inhaltsverzeichnis
28
Überraschungseier ............................................................................................................. 36
29
Bundesbürger (CAS) ......................................................................................................... 37
Tipps .......................................................................................................................................... 39
Lösungen ................................................................................................................................... 59
Stichwortverzeichnis .............................................................................................................. 137
Original Abituraufgaben ab 2006 ........................................................................................ 141
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Tipps ab Seite 39, Lösungen ab Seite 59
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes
entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 Euro und variable Kosten V(x) (in Euro), die durch folgende Tabelle modellhaft gegeben sind:
x
0
2
6
10
V(x)
0
306
954
1650
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V(x) sowie
der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x.
Skizzieren Sie das Schaubild von H für 0 6 x 6 200 in ein geeignetes Koordinatensystem.
Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten?
b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 Euro pro Stück
an einen Händler verkauft.
Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie das
Schaubild der Gewinnfuktion in das vorhandene Koordinatensystem.
Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn?
Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat?
c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken.
Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn
pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 Euro
betragen soll?
9
Tipps
2. Ganzrationale Funktion – Swimmingpool
Tipps
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
a) Verwenden Sie für die variablen Kosten V den Ansatz V(x) = ax 2 + bx + c, setzen Sie die
gegebenen Daten ein und lösen Sie das entstandene Gleichungssystem.
Die Herstellungskosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen.
Setzen Sie V(x) = 5 · 5000 und lösen Sie die Gleichung.
b) Berechnen Sie den Verkaufserlös und ermitteln Sie den Gewinn durch Subtraktion der Herstellungskosten vom Erlös.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Gewinnfunktion und überlegen Sie, für welche x-Werte
die Gewinnfunktion positiv ist.
Den maximalen Gewinn erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.
c) Berechnen Sie die Herstellungskosten für 90 Mountainbikes und den Erlös für diese in Abhängigkeit vom neuen Preis p; da der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen soll, ist eine
Ungleichung aufzustellen und nach p aufzulösen.
Bestimmen Sie die Differenz vom neuen Preis p zum ursprünglichen Preis sowie die prozentuale Abweichung.
2 Ganzrationale Funktion – Swimmingpool
a) Wenn Wasser weder zu- noch abläuft, müssen Sie die Zulaufrate Null setzen.
Die Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses erhalten Sie durch Berechnung der Hochbzw. Tiefpunkte des Schaubilds der Zulaufratenfunktion und Betrachtung der Werte am
jeweiligen Intervallrand.
b) Den Wasserstand nach 3 Stunden erhalten Sie, indem Sie eine Funktion w(t) aufstellen,
die die Wassermenge zum Zeitpunkt t angibt. Diese erhalten Sie als Stammfunktion von f
unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (Wassermenge zu Beginn). Alternativ können Sie auch die Wassermenge, die zu Beginn im Pool ist, bestimmen und die zugeflossene
Wassermenge durch Integration berechnen und dazu addieren.
Die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Vorgangs erhalten Sie, indem Sie die
vorhandene Wassermenge durch die Grundfläche des Pools teilen.
Die maximale Wassermenge kann sich jeweils nur am Ende einer Zuflussphase im Pool
befinden.
39
Lösungen
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Lösungen
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
a) Da die variablen Kosten V durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden
sollen, gilt für V der Ansatz: V(x) = ax2 + bx + c.
Aus den gegebenen Daten erhält man folgende Gleichungen:
I V(0) =
0
II V(2) = 306
III V(6) = 954
bzw.
Dies führt zu:
I a · 02
II a · 22
III a · 62
I
II
III
+ b·0 + c =
0
+ b · 2 + c = 306
+ b · 6 + c = 954
c =
0
4a + 2b = 306
36a + 6b = 954
Multipliziert man Gleichung II mit 3 und subtrahiert davon Gleichung III, so ergibt sich:
−24a = −36 ⇒ a = 1, 5. Setzt man a = 1, 5 in Gleichung II ein, so erhält man:
4 · 1, 5 + 2b = 306 ⇒ b = 150. Außerdem ist auch V(10) = 100a + 10b = 1650 erfüllt.
Somit werden die variablen Kosten V beschrieben durch: V(x) = 1, 5x 2 + 150x.
Die monatlichen Herstellungskosten H setzen sich aus den Fixkosten und den variablen
Kosten V zusammen:
H(x) = 5000 + V(x)
= 1, 5x2 + 150x + 5000.
Wenn die variablen Kosten V(x) fünfmal so hoch wie die Fixkosten (5000 e) sein sollen,
muss gelten:
V(x) = 25 000 bzw. 1, 5x2 + 150x = 25 000 ⇒ x1 =≈ 88, 44 und x2 ≈ −188, 44.
Bei einer Produktion von 88 Mountainbikes sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie
die Fixkosten.
59
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Lösungen
b) Den monatlichen Gewinn G erhält man, indem man die Herstellungskosten H vom Erlös
E subtrahiert. Da ein Mountainbike für 450 e an den Händler verkauft wird, gilt für den
Erlös E bei x produzierten Mountainbikes:
E(x) = 450 · x
G(x) = E(x) − H(x) = 450x − (1, 5x2 + 150x + 5000)= −1, 5x2 + 300x − 5000.
Die Firma macht Gewinn, wenn G(x) positiv ist, d.h. die Produktionszahlen zwischen den
Nullstellen von G liegen, da das Schaubild von G eine nach unten offene Parabel ist.
G(x) = 0 führt zu −1, 5x2 + 300x − 5000 = 0 ⇒ x1 ≈ 18, 4 und x2 ≈ 181, 6.
Die Firma macht Gewinn, wenn mehr als 18 und weniger als 182 Mountainbikes hergestellt
werden.
Den maximalen Gewinn erhält man durch Berechnung des Maximums von G durch Nullsetzen der 1. Ableitung:
G 0 (x) = −3x + 300 = 0 ⇒ x = 100.
Da G 0 bei x = 100 das Vorzeichen von + nach − wechselt, handelt es sich um ein Maximum. Setzt man x = 100 in G(x) ein, so erhält man:
G(100) = −1, 5 · 1002 + 300 · 100 − 5000 = 10 000.
Bei einer Produktion von 100 Mountainbikes pro Monat beträgt der maximale Gewinn
10 000 e.
c) Wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden, betragen die Herstellungskosten
H(90) = 1, 5 · 902 + 150 · 90 + 5000 = 30 650.
Ist p der Preis für ein Mountainbike, so beträgt der Erlös E = 90 · p.
Da der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll, muss gelten:
90p − 30 650 > 2000 ⇒ p > 362, 78.
Der Preis für ein Mountainbike kann also höchstens um 450 − 362, 78 ≈ 87, 22 e gesenkt
werden.
Da 87,22
450 = 0, 194 ≈ 19, 4 %, also kann der ursprünglich erzielte Preis um höchstens 19,4 %
gesenkt werden.
60