Erfolg im Mathe-Abi

Gruber I Neumann
Erfolg im
Mathe-Abi
Prüfungsaufgaben
Hessen
Übungsbuch für den Grundkurs
mit Tipps und Lösungen
Vorwort
Vorwort
Dieses Übungsbuch ist speziell auf die Anforderungen des zentralen Mathematik-Abiturs im
Grundkurs abgestimmt und enthält Übungsaufgaben auf Prüfungsniveau aus allen Gebieten, sowie die Original-Prüfungsaufgaben.
Der blaue Tippteil
Hat man keine Idee, wie man eine Aufgabe angehen soll, hilft der blaue Tippteil in der Mitte des
Buches weiter: Zu jeder Aufgabe gibt es dort Tipps, die helfen, einen Ansatz zu finden, ohne die
Lösung vorwegzunehmen.
Wie arbeitet man mit diesem Buch?
Am Anfang befinden sich die Aufgaben aus den drei Themenbereichen.
Die Aufgaben sind in der Regel in ihrer Schwierigkeit gestaffelt. In der Mitte des Buches befindet sich der blaue Tippteil mit Denk- und Lösungshilfen. Die Lösungen mit ausführlichem
Lösungsweg bilden den dritten Teil des Übungsbuchs. Hier findet man die notwendigen Formeln,
Rechenverfahren und Denkschritte sowie sinnvolle alternative Lösungswege.
Aus produktionstechnischen Gründen befindet sich das Stichwortverzeichnis auf Seite 103, am
Ende des Lösungsteils.
MeinMatheAbi.de
Im Internet finden Sie unter www.MeinMatheAbi.de nicht nur weitere Abituraufgaben, sondern
auch Lernkarten, Taschenrechneranleitungen zu verschiedenen Taschenrechnertypen, Videotutorials und ein Forum, das die Vorbereitung auf die Prüfung erleichtert.
Einige Übungsaufgaben sind als Musterbeispiele für die Abiturprüfung von öffentlichen Stellen
veröffentlicht worden. Die Urheber- und Nutzungsrechte für diese Aufgaben liegen bei dem jeweiligen Kultusministerium bzw. Landesinstitut. Die Tipps und die Lösungen hierzu stammen
wie bei allen anderen Aufgaben von den Autoren.
Allen Schülerinnen und Schülern, die sich auf das Abitur vorbereiten, wünschen wir viel Erfolg.
Helmut Gruber und Robert Neumann
Vorwort
Die Abiturprüfung
Seit 2007 werden die Mathematikaufgaben für die schriftliche Abiturprüfung in Hessen zentral
gestellt. Dabei gibt es das sogenannte «Abschlussprofil», welches ergänzend zum Lehrplan die
grundlegenden Anforderungen für die Prüfung auflistet:
Analysis
Differentialrechnung und Integralrechnung
• Differenzenquotient, Ableitung an einer Stelle
• Ableitungsregeln: Summenregel, Produktregel, Kettenregel (lineare Verkettung)
• Ableitungsfunktionen und ihre geometrischen Deutungen
• Untersuchungen von Funktionen und ihrer Graphen:
Symmetrie zur y-Achse, Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung, Nullstellen, relative
und absolute Extremalpunkte, Wendepunkte, Monotonieverhalten, Krümmungsverhalten
• Tangentengleichungen
• Bestimmung von Funktionen zu vorgegebenen Bedingungen
• Extremwertaufgaben
• Bestimmtes Integral, Stammfunktion, Summen- und Faktorregel
• Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
• Berechnung des Inhalts eines begrenzten Flächenstücks
• Integration durch lineare Substitution
Auswahl der Funktionsklassen
• Ganzrationale Funktionsscharen mit Parameter
• Exponentialfunktionen mit Parameter
• Einfache rationale Funktionen
• Einfache trigonometrische Funktionen
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
• Vektoren
• Geraden und Ebenen
• Parameter- und Koordinatendarstellung von Gerade und Ebene im Raum
• Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen im Raum
Vorwort
• Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zweier Vektoren
• Abstandsbestimmungen (außer bei windschiefen Geraden)
• Schnittwinkel von Geraden und Ebenen im Raum
• Anwendungen des Skalarproduktes
• Lineare Gleichungssysteme: Homogene und inhomogene lineare Gleichungssysteme, Lösungsverfahren, Lösungsmenge
Stochastik
• Ergebnis und Ereignis: Relative Häufigkeit, Empirisches Gesetz der großen Zahlen, Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, Laplace-Wahrscheinlichkeit
• Berechnen von Laplace-Wahrscheinlichkeiten: Geordnete Stichprobe (mit und ohne Zurücklegen), Ungeordnete Stichprobe (ohne Zurücklegen)
• Baumdarstellungen, Pfadregeln (Summen- und Produktregel)
• Bedingte Wahrscheinlichkeit (Baumdarstellung), Unabhängigkeit von zwei Ereignissen
• Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, Wahrscheinlichkeitsfunktion einer Zufallsgröße, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung
• Einseitiger und zweiseitiger Hypothesentest (nur mittels Binomialverteilung)
• Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler erster und zweiter Art
Vorwort
Der Ablauf der Abiturprüfung
Im Abitur sind, neben einer mathematischen Formelsammlung und einem Wörterbuch der deutschen Rechtschreibung, entweder ein wissenschaftlicher Taschenrechner (TR), ein grafikfähiger
Taschenrechner (GTR) oder ein Computer-Algebra-System (CAS) erlaubt. Tabellen zur Stochastik werden vor der Prüfung zur Verfügung gestellt.
Die Schule erhält für jeden Kurs einen Aufgabensatz (angepasst an den Taschenrechnertyp).
Die Schülerin/ der Schüler wählt vor der Prüfung aus den zur Verfügung gestellten Aufgaben
jeweils eine Aufgabe aus:
Analysis
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
Stochastik
Die Abiturprüfung besteht also aus drei Teilaufgaben: Einer Analysisaufgabe, einer Aufgabe der
Analytischen Geometrie und einer Stochastikaufgabe. Die Prüfungszeit beträgt 180 Minuten.
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
Analysis
1
Ganzrationale Funktion – Mountainbike ......................................................................... 11
2
Ganzrationale Funktion – Swimmingpool ....................................................................... 12
3
Ganzrationale Funktion – Kurve 4. Grades ..................................................................... 13
4
Exponentialfunktion – Jod ............................................................................................... 14
5
Exponentialfunktion – Bakterien ..................................................................................... 15
6
Exponentialfunktion – Ventile ......................................................................................... 16
7
Exponentialfunktion – Funktionenschar ......................................................................... 17
8
Trigonometrische Funktion – Sonnenschein ................................................................... 18
9
Trigonometrische Funktion – Luftvolumen der Lunge ................................................... 19
Lineare Algebra / Analytische Geometrie
10
Geometrie – Turm ............................................................................................................. 20
11
Geometrie – Pyramide ...................................................................................................... 21
12
Geometrie – Würfel .......................................................................................................... 22
13
Geometrie – Würfelstumpf ............................................................................................... 23
14
Geometrie – Geradenschar ............................................................................................... 24
15
Geometrie – Zelt ............................................................................................................... 25
16
Geometrie – Solarzellen ................................................................................................... 26
Stochastik
17
Stochastik – Glücksspiel 1 ................................................................................................ 27
18
Stochastik – Handys .......................................................................................................... 28
19
Stochastik – Sommerfest .................................................................................................. 29
20
Stochastik – Roboter ......................................................................................................... 30
21
Stochastik – Glücksspiel 2 ................................................................................................ 32
Tipps .......................................................................................................................................... 33
Lösungen ................................................................................................................................... 47
Stichwortverzeichnis .............................................................................................................. 103
Abituraufgaben 2010 ............................................................................................................. 105
Abituraufgaben 2011 .............................................................................................................. 145
Abituraufgaben 2012 ............................................................................................................. 189
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Tipps ab Seite 33, Lösungen ab Seite 47
Eine kleine Firma stellt Mountainbikes her. Bei einer Monatsproduktion von x Mountainbikes
entstehen Fixkosten in Höhe von 5000 Euro und variable Kosten V(x) (in Euro), die durch folgende Tabelle modellhaft gegeben sind:
x
0
2
6
10
V(x)
0
306
954
1650
a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 2. Grades V(x) sowie
der monatlichen Herstellungskosten H in Abhängigkeit von x.
Skizzieren Sie den Graph von H für 0 6 x 6 200 in ein geeignetes Koordinatensystem.
Bei welcher Produktionszahl sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie die Fixkosten?
b) Alle monatlich produzierten Mountainbikes werden zu einem Preis von 450 Euro pro Stück
an einen Händler verkauft.
Geben Sie den monatlichen Gewinn G in Abhängigkeit von x an und skizzieren Sie den
Graph der Gewinnfuktion in das vorhandene Koordinatensystem.
Bei welchen Produktionszahlen macht die Firma Gewinn?
Wie hoch ist der maximale Gewinn pro Monat?
c) Durch große Konkurrenz auf dem Markt muss die Firma den Preis pro Mountainbike senken.
Um wie viel Prozent vom ursprünglich erzielten Preis ist dies höchstens möglich, wenn
pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden und der Gewinn mindestens 2000 Euro
betragen soll?
11
Tipps
3 . Aufgabensatz
Tipps
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
a) Verwenden Sie für die variablen Kosten V den Ansatz V(x) = ax 2 + bx + c, setzen Sie die
gegebenen Daten ein und lösen Sie das entstandene Gleichungssystem.
Die Herstellungskosten setzen sich aus den Fixkosten und den variablen Kosten zusammen.
Setzen Sie V(x) = 5 · 5000 und lösen Sie die Gleichung.
b) Berechnen Sie den Verkaufserlös und ermitteln Sie den Gewinn durch Subtraktion der Herstellungskosten vom Erlös.
Bestimmen Sie die Nullstellen der Gewinnfunktion und überlegen Sie, für welche x-Werte
die Gewinnfunktion positiv ist.
Den maximalen Gewinn erhalten Sie mit Hilfe der 1. Ableitung der Gewinnfunktion.
c) Berechnen Sie die Herstellungskosten für 90 Mountainbikes und den Erlös für diese in Abhängigkeit vom neuen Preis p; da der Gewinn mindestens 2000 Euro betragen soll, ist eine
Ungleichung aufzustellen und nach p aufzulösen.
Bestimmen Sie die Differenz vom neuen Preis p zum ursprünglichen Preis sowie die prozentuale Abweichung.
2 Ganzrationale Funktion – Swimmingpool
a) Wenn Wasser weder zu- noch abläuft, müssen Sie die Zulaufrate Null setzen.
Die Zeitpunkte maximalen Zu- bzw. Abflusses erhalten Sie durch Berechnung der Hochbzw. Tiefpunkte des Graphen der Zulaufratenfunktion und Betrachtung der Werte am jeweiligen Intervallrand.
b) Den Wasserstand nach 3 Stunden erhalten Sie, indem Sie eine Funktion w(t) aufstellen,
die die Wassermenge zum Zeitpunkt t angibt. Diese erhalten Sie als Stammfunktion von f
unter Berücksichtigung der Anfangsbedingung (Wassermenge zu Beginn). Alternativ können Sie auch die Wassermenge, die zu Beginn im Pool ist, bestimmen und die zugeflossene
Wassermenge durch Integration berechnen und dazu addieren.
Die Höhe des Wasserstands am Ende des gesamten Vorgangs erhalten Sie, indem Sie die
vorhandene Wassermenge durch die Grundfläche des Pools teilen.
Die maximale Wassermenge kann sich jeweils nur am Ende einer Zuflussphase im Pool
befinden.
Überlegen Sie, wie sich die Wassermenge über das angegebene Zeitintervall hinaus entwickeln würde.
33
Lösungen
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Lösungen
Analysis
1 Ganzrationale Funktion – Mountainbike
a) Da die variablen Kosten V durch eine ganzrationale Funktion 2. Grades beschrieben werden
sollen, gilt für V der Ansatz: V(x) = ax2 + bx + c.
Aus den gegebenen Daten erhält man folgende Gleichungen:
I V(0) =
0
II V(2) = 306
III V(6) = 954
bzw.
Dies führt zu:
I a · 02
II a · 22
III a · 62
I
II
III
+ b·0 + c =
0
+ b · 2 + c = 306
+ b · 6 + c = 954
c =
0
4a + 2b = 306
36a + 6b = 954
Multipliziert man Gleichung II mit 3 und subtrahiert davon Gleichung III, so ergibt sich:
−24a = −36 ⇒ a = 1, 5. Setzt man a = 1, 5 in Gleichung II ein, so erhält man:
4 · 1, 5 + 2b = 306 ⇒ b = 150. Außerdem ist auch V(10) = 100a + 10b = 1650 erfüllt.
Somit werden die variablen Kosten V beschrieben durch: V(x) = 1, 5x 2 + 150x.
Die monatlichen Herstellungskosten H setzen sich aus den Fixkosten und den variablen
Kosten V zusammen:
H(x) = 5000 + V(x)
= 1, 5x2 + 150x + 5000.
Wenn die variablen Kosten V(x) fünfmal so hoch wie die Fixkosten (5000 e) sein sollen,
muss gelten:
V(x) = 25 000 bzw. 1, 5x2 + 150x = 25 000 ⇒ x1 ≈ 88, 44 und x2 ≈ −188, 44.
Bei einer Produktion von 88 Mountainbikes sind die variablen Kosten fünfmal so hoch wie
die Fixkosten.
47
1. Ganzrationale Funktion – Mountainbike
Lösungen
b) Den monatlichen Gewinn G erhält man, indem man die Herstellungskosten H vom Erlös
E subtrahiert. Da ein Mountainbike für 450 e an den Händler verkauft wird, gilt für den
Erlös E bei x produzierten Mountainbikes:
E(x) = 450 · x
G(x) = E(x) − H(x) = 450x − (1, 5x2 + 150x + 5000)= −1, 5x2 + 300x − 5000.
Die Firma macht Gewinn, wenn G(x) positiv ist, d.h. die Produktionszahlen zwischen den
Nullstellen von G liegen, da der Graph von G eine nach unten offene Parabel ist.
G(x) = 0 führt zu −1, 5x2 + 300x − 5000 = 0 ⇒ x1 ≈ 18, 4 und x2 ≈ 181, 6.
Die Firma macht Gewinn, wenn mehr als 18 und weniger als 182 Mountainbikes hergestellt
werden.
Den maximalen Gewinn erhält man durch Berechnung des Maximums von G durch Nullsetzen der 1. Ableitung:
G 0 (x) = −3x + 300 = 0 ⇒ x = 100.
Da G 0 bei x = 100 das Vorzeichen von + nach − wechselt, handelt es sich um ein Maximum. Setzt man x = 100 in G(x) ein, so erhält man:
G(100) = −1, 5 · 1002 + 300 · 100 − 5000 = 10 000.
Bei einer Produktion von 100 Mountainbikes pro Monat beträgt der maximale Gewinn
10 000 e.
c) Wenn pro Monat 90 Mountainbikes produziert werden, betragen die Herstellungskosten
H(90) = 1, 5 · 902 + 150 · 90 + 5000 = 30 650.
Ist p der Preis für ein Mountainbike, so beträgt der Erlös E = 90 · p.
Da der Gewinn mindestens 2000 e betragen soll, muss gelten:
90p − 30 650 > 2000 ⇒ p > 362, 78.
Der Preis für ein Mountainbike kann also höchstens um 450 − 362, 78 = 87, 22 e gesenkt
werden.
Da 87,22
450 ≈ 0, 194 = 19, 4 %, also kann der ursprünglich erzielte Preis um höchstens 19,4 %
gesenkt werden.
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