Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungen

Anleitung zum Aufstellen von Funktionsgleichungen
Funktionsgleichungen von Funktionen, von denen nur bestimmte Eigenschaften bekannt sind,
können durch das Lösen von Gleichungssystemen bestimmt werden. Dazu müssen aus dem
Text die verschiedenen Angaben erst in Gleichungen umgeschrieben werden, welche dann als
System gelöst werden müssen.
Beispiel (1):
Der Graph einer Funktion dritten Grades berührt im Punkt P(0/0) die x-Achse. Die Tangente
im Punkt Q(-3/0) ist parallel zur Geraden g(x) = 6x. Bestimme den Funktionsterm!
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allgemeine Funktion dritten Grades aufstellen: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
(evtl. darauf achten, ob eine Symmetrie gegeben ist: soll eine Funktion mit ungeraden
Grad punktsymmetrisch sein, so fallen automatisch die geraden Potenzen raus, z.B. f(x)
= ax3+ bx, so dass die Funktion nur noch ungerade Potenzen ohne Konstante enthält.
Bei geradem Grad wird analog vorgegangen.)
Bei Funktionen dritten Grades werden vier Gleichungen zum eindeutigen Lösen eines
Gleichungssystems benötigt, bei Funktionen vierten Grades werden fünf Gleichungen
benötigt, usw. Hier suchen wir also vier Gleichungen

Als nächstes wird meistens die 1. Ableitung benötigt, manchmal auch noch die zweite
Ableitung, d.h. der allgemeine Funktionsterm muss abgeleitet werden. In unserem
Beispiel wird nur die erste Ableitung benötigt:
f’(x) = 3ax2 + 2bx + c

Jetzt können die weiteren Angaben verarbeitet werden: Wenn der Graph einer
Funktion die x-Achse berührt, so liegt dort ein Extremum (HoP oder TiP) vor. Es
müssen also die entsprechenden x- und y-Koordinaten in die richtigen allgemeinen
Funktionsterme eingesetzt werden.
Berührpunkt P, also Extremum:
(1)
f ’(0) = 0 : x = 0 in f ’(x) einsetzen mit der
Extremwertbedingung f ’(x) = 0
Koordinaten des Extremums P(0/0): (2)
f(0) = 0 : x = 0 und y = 0 in f(x) = y
einsetzen

Tangente in Q(−3/0) ist parallel zur Geraden mit g(x) = 6x, d.h. die Steigung m der
Tangente an die Funktion in Q beträgt m = 6
Koordinaten von Q in f(x) = y einsetzen: (3)
f(−3) = 0
Steigung in x = −3 beträgt m = 6:
(4)
f ’(−3) = 6

Zusammenfassung:

Das ganze Problem läuft jetzt auf das Lösen zweier Gleichungen mit zwei
unbekannten hinaus. Für das Lösen von Gleichungssystemen können jetzt die in der
11.Klasse erlernten Methoden angewendet werden.
2
z.B. Additionsverfahren: 3b = 6  b = 2 in −27a + 9b = 0 eingesetzt:  a =
3
2
 f(x) = x3 + 2x2
3
(1) f ’(0) = 0: c = 0
(2) f(0) = 0: d = 0
(3) f(−3) =0: −27a + 9b − 3c + d = 0: −27a + 9b = 0 (c,d = 0)
(4) f ’(−3) = 6: 27a + 6b + c = 6
:
27a − 6b = 6 (c = 0)
Beispiel (2):
Der Graph eines Polynoms 3.Grades geht durch den Punkt P(0/11). Seine Tangente im
Wendepunkt WP(1/2) ist parallel zur Geraden g(x) = –12x. Wie lautet die Funktion?
Polynom dritten Grades:
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
f’(x) = 3ax2 + 2bx +c
f’’(x) = 6ax + 2b
Punkt P(0/11) :
Wendepunkt WP(1/2)
und WP Bedingung
parallel zu g:
(1) f(0) = 11:
(2) f(1) = 0:
(3) f ’’(1) = 0:
(4) f ’(1) = −12:
(2) a + b + c = −9
(3) 6a + 2b
=0
(4) 3a + 2b + c = −12
Additionsverfahren:
(4) − (2) = (2)* :
2a + b = −3
(3):
6a + 2b = 0
(3) − 2∙(2)*:
2a = 6  a = 3 in (3)
 b = −9
a, b in (2)
 c = −3
d = 11 aus (1)
 f(x) = 3x3 − 9x2 − 3x + 11
d = 11
a + b + c + 11 = 2 , da d = 11 (aus (1))
6a + 2b = 0
3a + 2b + c = −12