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a) Nacht. 2001
1. Parameter im Leitkoeffizienten (LK)
Gegeben sind die reellen Funktionen
1.1
Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion fa und deren Vielfachheit in Abhängigkeit von a.
1
 (ax 3  27 x) mit a  R  a  0.
27
Der Graph einer solchen Funktion wird mit G f a bezeichnet.
f a ( x) 
(5BE)
1.2
b) Nacht.
2004
(6BE)
Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen die Funktion fa echt monoton zu- bzw.
abnimmt.
Gegeben sind nun die reellen Funktionen f a ( x) 
4
(ax 4  4 x 3 ) mit a  R\ {0}.
27
2.1
Berechnen Sie die Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a.
(3BE) Geben Sie auch die jeweilige Vielfachheit an.
2.2
c)Exoten
(8BE)
Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph G f a echt monoton
steigt bzw. fällt. (Hinweis: Führen Sie eine geeignete Fallunterscheidung durch.)
Frage nach dem Verhalten im Unendlichen in Abhängigkeit von a – z.B.:
Frage nach Symmetrie in Abhängigkeit von a – z.B.:
fa(x) = (a – 1) x4 – x3
fa(x) = a x3 + (a – 1) x2 + a x – a + 1
a) Nacht.
2003
2. Diskriminante
1.1
(9BE)
1.2
(6BE)
1
Die reellen Funktionen f a/ ( x)   ( x 2  4 x  a) sind die ersten Ableitungen der
4
Funktionen fa.
Bestimmen Sie die Werte von a, für die der Graph G f a keine, eine bzw. zwei waagrechte
Tangenten besitzt. Geben Sie für a  4 Art und Abszissen der Extrempunkte an.
Zeigen Sie ohne Verwendung der dritten Ableitung, dass der Graph unabhängig von a bei
x w  2 einen Wendepunkt besitzt
1.3
Bestimmen Sie für a = 5 den Funktionsterm von f 5 so, dass die Gerade G g mit
4
20
(6BE) g ( x)   9 x  9 den Graphen G f 5 in dessen Tiefpunkt schneidet.
b)
1.0
Alte Schulaufgabe
Gegeben ist die Funktionenschar fc durch die Gleichung f c ( x) 
x3
 (c  1)  x ;
c
x e IR  c > 0 ; Kc ist der jeweils zugehörige Funktionsgraph.
1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion fc in Abhängigkeit von c und erläutern
(6BE) Sie, weshalb es immer drei Nullstellen gibt.
1.2 Ermitteln Sie, für welche x e IR der Graph Kc waagrechte Tangenten besitzt.
(4BE)
1.3
(4BE)
Berechnen Sie nun c so, dass eine dieser beiden waagrechten Tangenten
bei XQ = 2 liegt.
möglicher Zusatz: c  IR \ { 0 } beliebig
(also nicht mehr: c > 0 )
(6 BE)
3. Verschiebung (y – Richtung)
1.
Geg.: f ( x) 
1.1
Normale Kurvendiskussion mit H, T, W
2.
Geg.: f ( x) 
1 3
( x  27 x) +2
27
1 3
( x  27 x) +c
27
(8BE) Bestimmen sie die Anzahl und Vielfachheit der Nullstellen in Abhängigkeit von c.
4. Mal Min – mal Max – mal Terrassenpunkt
2.0 Gegeben sind die reellen Funktionen fc durch fc (x) =  14 x 3  2c x 2 
Der Graph einer solchen Funktion wird mit Gfc bezeichnet.
mit c  
2.1 Bestimmen Sie die Nullstellen von fc in Abhängigkeit von c.
(3BE)
2.2 Entscheiden Sie in Abhängigkeit von c, welche Vielfachheit die Nullstellen aufweisen
und geben Sie jeweils die Bedeutung für den Graphen Gfc an.
(6BE)
2.3 Bestimmen Sie die maximalen Intervalle, in denen der Graph Gfc echt monoton steigt
bzw. fällt. Führen Sie hierzu eine geeignete Fallunterscheidung durch.
(10BE)
2.4 Bestimmen Sie c so, dass die Gerade g: x = 2 die Wendetangente im Wendepunkt Wc
schneidet.
(5BE)
5. „Wandernde Nullstelle“ (Verschiebung einer Nullstelle in x – Richtung)
Prüfungsaufga
benvorschlag
1 2
x x,
4
Gegeben ist die Parabel p durch p(x) =
1.1
Zeigen Sie, dass p und ga für jeden beliebigen Wert von a den Punkt N ( 4 I 0 ) gemeinsam
haben. Zeigen Sie weiterhin, dass für alle Werte a IR gilt: ga(a) = 0
(6BE)
sowie die Parabelschar ga durch: ga(x) = 

1 2
x  ( 4  a ) x  4a
2

1.2.0
Gegeben ist weiterhin die Funktionenschar f a durch fa(x) = p(x)ga(x).
1.2.1
Ermitteln Sie in Abhängigkeit von a alle Nullstellen von fa; geben Sie die Vielfachheit der
Nullstellen, und die jeweils zugehörige Bedeutung für den Funktionsgraphen G an.
(12BE)
1.2.2
(6BE)
Bestimmen Sie nun a so, dass sich die beiden Parabeln senkrecht im Punkt N ( 4 I 0 )
schneiden.
1.3
Setzen Sie nun a = 2. Sie erhalten f2(x) = 
1.3.1
Geben Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse alle Nullstellen von
p, g2 und f2 und deren Vielfachheit an.
(3BE)
1 4
( x  10 x 3  32 x 2  32 x)
8
Lösungen
1
Parameter im LK
a)
NT 2001
b) NT 2004
Exoten Ist a – 1  0, so bestimmt x4 den
Kurvenverlauf im Unendlichen
a>1
a<1
y
14
12
10
8
6
4
2
x
-28
-26
a = 0:
-24
-22
f(x) = x3
-20
-18
-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
a = 0: Die ungeraden Potenzen verschwinden: Symmetrie zur y – Achse
a = 1: Die geraden Potenzen verschwinden: Symmetrie zum Ursprung
Sonst: keine einfache Symmetrie (gerade UND ungerade Potenzen von x)
2.
Diskriminante
a)
NT 2003
b)
alte Schulaufgabe
1.1
f c ( x)  0  x  [
x2
x2
x2
 (c  1)]  0 ; x1  0 ;
 (c  1)  0 ;
 c  1 ; x 2  c  (c  1)
c
c
c
>0 > 0
Da die rechte Seite der (rein – quadratischen) Gleichung immer > 0
 es gibt 2 Lösungen für alle c  R
x2 / 3   c  (c  1)
1.2
3x 2
3x 2
c  (c  1)


f c ( x) 
 (c  1) ; f c ( x)  0 
 (c  1); 3x 2  c  (c  1) ; x1 / 2  
c
c
3
1.3
c  (c  1)
c  (c  1)
 4 ; c  (c  1)  12 ; c2 + c – 12 = 0; MNF: c1 = 3; (c2 = – 4)
 2;
3
3
3.
Verschiebung in y – Richtung:
(für dieses Arbeitsblatt eingefügt, also BISHER noch keine Schulaufgabe oder Prüfung)
1.1 H ( - 3 I 4); T ( 3 I 0 ); W ( 0 I 2 )
1.2 c = 2  T auf x – Achse:
x1/2 = 3 doppelte Nullstelle, x3 = – 6 einfach
6
y
5
4
>2
3
analog: c = – 2: H auf x – Achse :
x1/2 = – 3 doppelte Nullstelle, x3 = 6 einfach
2
2
1
x
-9
– 2 < c < 2 : x – Achse zwischen H und T:
drei einfache Nullstellen
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
-1
4
5
6
-2<c<2
-2
-2
-3
c > 2: T über x – Achse; c < – 2 : H unter x – Achse:
Nur eine einfache Nullstelle
-4
< -2
-5
-6
-7
-8
4.
-9
Mal Min – mal Max – mal Terrassenpunkt

2.2 c  0 : 
2.3 f c| (x) =  14 3 x 2  cx 
 =0
 x1/2= 0
und
x3 =
c
2

f c| (x) = 0
 14 3 x 2  cx = 0; x3x  c  = 0
c > 0:
c
2
x1 = 0 doppelte Nullstelle, der Graph Gfc berührt an dieser
Stelle die x-Achse
x2 = 2c einfache Nullstelle, der Graph Gfc schneidet an dieser
Stelle die x-Achse
x1 = 0 dreifache Nullstelle, der Graph Gfc hat im
Koordinatenursprung einen Terrassenpunkt.
c=0 :


 14 x 3  2c x 2 = 0 ; x 2 x 
2.1 fc(x) = 0 ;

x
x <0
0
f c| (x)
Graph
<0
fällt
0
x
x < 3c
<0
fällt
c
3
x1 = 0

3x = c
0<x< 3c
>0
steigt
c
3
0
c > 3c
<0
fällt
x2 =
c
3
y
x
y
c < 0:
f c| (x)
Graph
c=0
0
c
3
<x<0
>0
steigt
0
c>0
0
<0
fällt
x
y
Graph fällt in R
2.4 f c|| (x) =  14 6 x  c  ; f c|| (x) = 0 ;  14 6 x  c  = 0
c


6x – c = 0
xw = 6c ; xw = 2
=2 
6
x
c = 12
5
„Wandernde Nullstelle“
5.
1.1
1
16  (4  a)  4  4a  ; ga(4) =  1 16  16  4a  4a ;ga(4) = 0
2
2
1
1
g a (a)   a 2  (4  a)  a  4a ; g a (a)   a 2  4a  a 2  4a ; ga(a) = 0.
2
2
p(4) = 4 – 4 = 0; ga(4) = 




 Behauptung.
1.2.1
fa(x) = 0  p(x) = 0  ga(x) = 0
1 2
1

x  x  0 : x x  1  0 : x1 = 0; x2 = 4 ; somit gilt
4
4

für a  { 0; 4 }: x1 = 0, x2 = a – beide einfach; x3/4 = 4 doppelt (z.B. roter Graph in 1.3)
Für a = 0: x1/2 = 0 doppelt und x3/4 = 4 doppelt.
Für a = 4: x1 = 0 einfach und x2/3/4 = 4 dreifach.
Geometrische Bedeutung: Einfache Nullstellen: x – Achse wird schräg geschnitten
Doppelte Nullstellen: x – Achse wird berührt, also: Extrema
Dreifache Nullstelle: x – Achse wird mit waagrechter Tangente geschnitten, also:
Terrassenpunkt
1.2.2
1

x  1 ; p (4)  1  g a (4)  1
2
1
1
1


g a ( x)   2 x  (4  a ); g a (4)   8  (4  a ) ;  8  (4  a )  1 ;
2
2
2
p( x) 
8–4–a=2a=2
Ein Bild sagt mehr als Worte
p: schwarz ; g2: blau; f2: rot
(zu 1.2.1)
3 y
1.3
NICHT verlangt!!!
y
4
2
3
1
2
x
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
a=4
1
6
x
-1 -9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-5
-6
-4
-5
-6
-7
-7
-8
-8
-9
-9
-10
-11
-10
-11
a=0
5
6