HAVF-Liste (Häufig auftretende und vermeidbare Fehler) - FOAM-List

Fachhochschule Münster
Fachbereich Maschinenbau
Prof. Dr. L. Göllmann
H ÄUFIG AUFTRETENDE UND VERMEIDBARE F EHLER
F REQUENTLY O CCURRING AND AVOIDABLE M ISTAKES
In diesem Dokument werden einige, insbesondere in Klausuren häufig auftretende Fehler
beschrieben.
1. komplexe Zahlen
FALSCH ist beispielsweise
p
√
|4 + 3i | = 16 + 9i2 = 16−9.
Bei der Betragsberechnung einer komplexen Zahl hat das i nichts in der Wurzel zu
suchen. Es gilt für a, b ∈ R
p
| a + bi | = a2 + b2
RICHTIG ist also:
√
|4 + 3i | = 16+9 = 5.
2. FALSCH ist, dass jede komplexe Zahl einen 4-er Zyklus beim Potenzieren besitzt! Eine komplexe Zahl muss nicht einmal zyklisch sein. Notwendig für zyklische Zahlen ist, dass sie auf dem Einheitskreis liegen. Hierbei sind neben dem 4-er Zyklus
bei i oder −i auch weitere, sogar beliebige Zyklen möglich. Die n-te Einheitswurzel
ξ n = exp(2πi/n) hat einen n-fachen Zyklus. So besitzt beispielsweise die komplexe
Zahl
√
1
3
z= +
i = exp(πi/3) = exp(2πi/6) = ξ 6
2
2
einen 6-er Zyklus.
3. Partielle Integration
FALSCH ist beispielsweise:
Z 1
0
x
xe dx =
=
[ xe x ]10
−
Z t
e x dx
0
x 1
[ xe ]0 − [e x ]10
1
0
= 1 · e − 0 · e − e1 − e0
Hier wurde nicht beachtet, dass die durch das zweite Integral gegebene Differenz als
Ganzes vom ersten Term subtrahiert werden muss. Es fehlen also die Klammern um
die Differenz e1 − e0 . Wenn sie nicht notiert werden, dann muss ein Zeichenwechsel
erfolgen.
1
RICHTIG IST:
Z 1
0
x
xe dx =
[ xe x ]10
−
Z t
0
e x dx
= [ xe x ]10 − [e x ]10
= 1 · e1 − 0 · e0 − e1 + e0
4. Nullstellenberechnung bei Polynomen
UNGÜNSTIG ist es im folgenden Beispiel
( x − 1)( x3 + 3x2 + 3x + 1) = 0 ⇐⇒ x4 + 3x3 + 3x2 + x − x3 − 3x2 − 3x − 1 = 0
⇐⇒ x4 + 2x3 − 2x − 1 = 0,
das Polynom auszumultiplizieren. Was beim Differenzieren und Integrieren die Arbeit
erleichtert, ist für die Nullstellensuche in der Regel schlecht. Hier sind faktorisierte
Formen der bessere Weg:
( x − 1)( x3 + 3x2 + 3x + 1) = 0 ⇐⇒ ( x − 1)( x + 1)3 = 0 ⇐⇒ x ∈ {1, −1}
Um zu nachvollziehen zu können, warum x3 + 3x2 + 3x + 1 = ( x + 1)3 ist, werfe
man einen Blick auf das PASCALsche Dreieck! Es gibt also zwei Nullstellen: x = 1 mit
algebraischer Vielfachheit 1 (also einfach) und x = −1 mit algebraischer Vielfachheit 3
(also dreifach).
5. Berechnung von Eigenräumen
Ein FEHLER liegt vor, wenn innerhalb der Berechung eines Eigenraums eine reguläre
Matrix im Tableau auftaucht. Beispielsweise ist λ = 3 kein Eigenwert der Matrix
¶
µ
1 0
A=
0 2
Wenn nun (beispielsweise durch einen vorausgegangenen Rechenfehler bedingt) versucht wird, den Eigenraum zum (falschen) Eigenwert λ = 3 zu berechnen, so muss es
zu einem Widerspruch kommen:
µ
¶
−2 0
VA,λ = Kern( A − λE2 ) = Kern( A − 3E2 ) = Kern
.
0 1
Die Matrix
µ
¶
−2 0
0 1
ist aber regulär, der Kern besteht nur aus dem Nullvektor. Eigenräume sind aber mindestens eindimensional, sie enthalten nicht-triviale Vektoren als Eigenvektoren. Eigenvektoren sind stets nicht-trivial!
Es kann auch passieren, dass zwar der Eigenwert stimmt, während der elementaren
Umformungen jedoch ein Rechenfehler auftritt, der die sonst singuläre Matrix regulär
macht. Sollte also im Verlauf der Eigenraum-Berechnung eine reguläre Matrix auftreten, so liegt STETS ein Fehler vor!
2
6. Sprachliche Ungenauigkeit
Reelle Zahlen sind auch komplexe Zahlen (R ⊂ C). Um auszudrücken, dass eine Zahl
z nicht reell ist, sollte nicht die Sprechweise verwendet werden z ist komplex“, son”
dern einfach nur z ist nicht reell“. Wenn also eine Aufgabe gestellt wird der Art:
”
Berechnen Sie alle komplexen Nullstellen von
( x2 − 1)( x2 + 1) = 0,
so sind alle Nullstellen x ∈ C gemeint, also neben den nicht reellen Nullstellen −i und
i auch die beiden reellen Nullstellen −1 und 1.
... to be continued ...
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