Kurvendiskussion: Polynom n

Kurvendiskussion: Untersuchungen ganzrationaler Funktionen n-ten Grades
0. Schritt: Ableitungen ( bis f ’’(x) ; f’’’(x) erst bei Bedarf )
1. Schritt: Symmetrieeigenschaften
2. Schritt: Y-Achsenabschnitt
3. Schritt: Nullstellen
4. Schritt: lokale Extrema
5. Schritt: Wendepunkte
6. Schritt: Verhalten im Unendlichen
7. Schritt: Skizze nach den bisherigen Ergebnissen
Aufgabe: Gegeben ist die folgende Funktion: f(x)= 0,5 x³ - 3,5 x + 3. Führe ein
vollständige Kurvendiskussion durch.
0: f(x) = 0,5 x³ - 3,5 x + 3
f’(x) = 1,5 x² - 3,5
f’’(x) = 3 x
1: Es liegt keine Symmetrie bzgl. des Ursprungs vor, ebenso ist der Graph auch
nicht y-Achsensymmetrisch, da der Funktionsterm weder nur gerade, noch
ausschließlich ungerade Potenzen hat.
oder:
Y-Achsensymmetrie liegt vor, wenn für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich
gilt: f(x) = f(-x) für alle xD.
f(-x) = 0,5 (-x)³ - 3,5 (-x) + 3  f(-x) = - 0,5 x³ + 3,5 x + 3 ,
also ist f(x)  f(-x).
Es liegt eine Punktsymmetrie bzgl. des Ursprungs vor, wenn gilt:
f(x) = -f(-x) für alle xD.
-f(-x) = -(- 0,5 x³ - 3,5 x + 3)  f(-x) = 0,5 x³ + 3,5 x - 3 ,
also ist f(x)  -f(-x). Es liegt auch keine Punktsymmetrie bzgl. (0/0) vor.
2: Der y-Achsenabschnitt ist 3, da für x = 0 folgt: f(0) = 3.
3: Für die Nullstellen muss gelten: f(x) = 0.
Da es sich um eine Potenzfunktion dritten Grades handelt, raten wir die erste
Nullstelle: f(1) = 0. Man führt deshalb eine Polynomdivision durch.
( Hinweis: Vorher könnte man den Funktionsterm noch vereinfachen.
0,5 x³ - 3,5 x + 3 = 0 | * 2
 x³ - 7 x + 6 = 0 )
Polynomdivision:
( 0,5 x³ - 3,5 x + 3 ) : (x – 1) = 0,5 x² + 0,5 x - 3
- ( 0,5 x³ - 0,5 x² )
0,5 x² - 3,5 x
-( 0,5 x² - 0,5 x)
-3 x + 3
- (- 3 x + 3)
0
Die anderen möglichen Nullstellen können mit der p-q-Formel ermittelt werden.
0,5 x² + 0,5 x – 3 = 0 | * 2  x² + 1 x - 6 = 0
2
1
1
1 24
1
25
 1
    ( 6)  x 1,2   
 x 1,2   

2
2
4 4
2
4
2
1 5
x 1,2   
 x1 = - 3 oder x2 = 2 .
2 2
Somit erhält man für f(x) = 0,5 x³ - 3,5 x + 3 bzw. f(x) = 0,5 (x-2)(x-1)(x+3) die
Nullstellen x1 = -3 ; x2 = 1 und x3 = 2 .
x 1,2  
4: Lokale Extrema
4.1 Die notwendige Bedingung für lokale Extrema lautet: f’(x) = 0 !!!
Mit f’(x) = 1,5 x² - 3,5 erhält man 1,5 x² - 3,5 = 0 | / 1,5
 x²- 7/3 = 0
7
7
 x² = 7/3  x 1 
oder x 2  
3
3
4.2 Die hinreichende Bedingung lautet: f’(x) = 0 und f’’(x)  0
 7
  3 7  0 . Somit liegt ein Tiefpunkt an der Stelle xE = 7 vor.
4.2.1 f 

3
3
 3
Das Minimum berechnet man mit f(
7
) = - 0.564. Der Tiefpunkt liegt somit bei
3
TP(1,23 / -056 ).

7 
7
7
 3
 0 . Somit liegt ein Tiefpunkt an der Stelle xE = 4.2.2 f  
vor.

3
3
3

Das Maximum berechnet man mit f(-
7
) = 6,564. Der Hochpunkt liegt somit bei
3
HP(-1,23 / 6,56 ).
6: Verhalten im Unendlichen: Da die höchste Potenz für sehr große x-Werte den
größten Einfluss auf die Funktionswerte haben,
gilt
lim f ( x )   bzw. lim f ( x )   .
x  
x 
7: Skizze
Bemerkung: Die Betrachtungen zu möglichen Wendepunkten, Untersuchungen des
Definitions- und Wertebereichs sowie asymptotisches Verhalten fehlen noch.