Übungsblatt zu den mathematischen Grundlagen

Universität Zürich
P. Robmann
Pädagogische Hochschule Zürich
P. Weymuth
Selbstlernteil Mathematische Grundlagen der Physik
Serie 2/HS 2009 Vektorrechnung, Differential- und Integralrechnung 8.11.2009
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A) Vektorrechnung
Aufgabe 1
Gegeben sind:
"1 % " a1 %
r $ ' $ '
f : x = $ 0' + s$ b1 '
$ ' $ '
# 0& # 0 &
und
" 0% " a 2 %
r $ ' $ '
g : x = $1 ' + t$ b 2 '
$ ' $ '
# 0& # c 2 &
Welche Bedingung muss gelten, damit f und g senkrecht aufeinander stehen?
Aufgabe 2
! Wir betrachten ein Parallelogramm ABCD, das in der Ebene E: 9x-2y+6z-13=0
liegt. Bestimmen Sie die Koordinaten von C. Es sind die Koordinaten von
A()1/1/1), B(1/4/z) und C(x/4/-4)
Aufgabe 3
Berechnen Sie die Koordinaten eines Punktes S der Geraden g so, dass der Winkel
(PSQ) 900 beträgt. Es sind P(10/9/12), Q(-6/-7/-16) und
" 0 % "1 %
r $ ' $ '
g : x = $ 5 ' + t$1 '
$ ' $ '
#18& #(1&
B) Differentialrechnung
!
Aufgabe 4
Berechnen Sie die erste und die zweite Ableitung der folgenden drei Funktionen:
a ) f ( x) = ln x b) f ( x) = sin x " cos x c) f ( x) = x 2 " e ! x
Aufgabe 5
Bestimmen Sie Nullstellen, Extrema und Wendepunkte und skizzieren Sie den
Graphen der Funktion:
f ( x) = x 3 ! 3x ! 2
Aufgabe 6
Bestimmen Sie die Parabel 3. Ordnung, die in den Punkten (0/0) und (1/1) ihre
Extrema besitzt.
Aufgabe 7
Bestimme die restlichen Nullstellen der folgenden Funktion, wenn eine gegeben ist:
f ( x) = x 3 ! 5 x 2 + 8 x ! 4 mit x1 = 1
Aufgabe 8
Aus einem kreisförmigen Karton (Radius 15 cm) ist das Netz der quadratischen
Pyramide mit maximalem Volumen auszuschneiden.
a) Berechne die Grundkante dieser Pyramide.
b) Wie viele Prozent der Kreisfläche sind Abfall?
Aufgabe 9
Bestimme a und b der Funktion f(x) so, dass f(x) in P(3/10) die Steigung 3.5 hat;
f ( x) = ax + x + b
C) Integralrechnung
Aufgabe 10
Integrieren Sie die folgenden drei Funktionen:
a) " cos(x) ! sin( x)dx
b) ! x 2 x dx
c)
" (x
!3
! x 3 )dx
Aufgabe 11
Das von der Kurve y=x(x3-1)3 und der x-Achse begrenzte Flächenstück rotiert um die
x-Achse. Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers.
Aufgabe 12
Suchen Sie mittels Integration die Lösung der folgenden Differentialgleichung:
y !! = A
A ist eine Konstante
Zudem ist y !(0) = v0 und y (0) = y 0
Die gelösten Aufgaben dieser Serie können bis am 10. Januar 2010 zur Korrektur
eingereicht werden (elektronisch an [email protected] oder per Post: PHZH,
P. Weymuth, Zeltweg 21, 8090 Zürich). Am 17. Januar 2010 werden die korrigierten
Arbeiten zurückgegeben und die Musterlösungen ins Netz gestellt:
www.physik.unizh.ch .
Die nächste Prüfung findet statt am Freitag, 12.03.2010, 1700-1800 Uhr am Zeltweg
(Hörsaal wird rechtzeitig bekannt gegeben).
Die nächste Übungsserie kann ab dem 15. Mai 2010 elektronisch abgerufen werden.
Die gelösten Aufgaben dieser Serie können bis am 26. Juni 2010 zur Korrektur
eingereicht werden. Am 10. Juli 2010 werden die korrigierten Arbeiten
zurückgegeben und die Musterlösungen ins Netz gestellt.