Inhaltsverzeichnis
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Inhaltsverzeichnis Vorwort 1 1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 Grundlagen Aussagen Mengen Abbildungen und Verknüpfungen Die reellen Zahlen und Teilmengen Rechnen mit reellen Zahlen Aufgaben zu Kapitel 1 3 3 9 13 15 17 26 2 2.1 2.2 2.3 Funktionen einer Variablen Grundbegriffe und Eigenschaften Folgen und Grenzwerte Elementare Funktionen 2.3.1 Potenz- und Wurzelfunktionen 2.3.2 Polynomfunktionen 2.3.3 Gebrochen rationale Funktionen 2.3.4 Die e-Funktion 2.3.5 Die natürliche Logarithmusfunktion 2.3.6 Exponentialfunktion zur Basis a 2.3.7 Logarithmusfuktion zur Basis a 2.3.8 Trigonometrische Funktionen 2.3.9 Arkusfunktionen 2.3.10 Hyperbelfunktionen 2.3.11 Areafunktionen Stetigkeit Aufgaben zu Kapitel 2 27 27 37 43 43 45 49 53 59 61 63 66 75 76 79 80 84 2.4 2.5 3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 Differenzialrechnung Ableitung und Differenzierbarkeit Ableitungsregeln Berechnung von Grenzwerten Monotonie, lokale Extrema und Krümmung Spezielle Anwendungen 3.5.1 Bestimmung von Extrema 3.5.2 Numerische Lösung von Gleichungen 3.5.3 Interpolation mit kubischen Splinefunktionen 3.5.4 Elastizität und Fehlerfortpflanzung Aufgaben zu Kapitel 3 87 87 95 100 103 110 110 112 116 119 123 4 Integralrechnung 127 http://d-nb.info/1067433031 vi 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Inhaltsverzeichnis Das bestimmte Integral Stammfunktionen und unbestimmtes Integral Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Eigenschaften des Integrals Integrationsmethoden 4.5.1 Logarithmische Integration 4.5.2 Partielle Integration 4.5.3 Integration durch Substitution 4.5.4 Integration durch Partialbruchzerlegung Uneigentliche Integrale Numerische Integration Anwendungsbeispiele Aufgaben zu Kapitel 4 127 133 135 138 140 140 141 141 146 147 152 153 163 5.6 Vektorrechnung Vektoren und Vektorraum Skalarprodukt, Betrag und Winkel Das Vektorprodukt und Mehrfachprodukte • Lineare Unabhängigkeit und Basis eines Vektorraums Anwendung in der Geometrie 5.5.1 Punkte im Raum 5.5.2 Geraden im Raum 5.5.3 Ebenen im Raum 5.5.4 Abstände 5.5.5 Winkel .Aufgaben zu Kapitel 5 167 167 176 182 191 195 195 195 196 196 200 202 6 ß.l 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 Matrizen, Determinanten und lineare Gleichungssysteme Matrizen Determinanten Lineare Gleichungssysteme Inversion von Matrizen Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Aufgaben zu Kapitel 6 205 206 218 226 245 249 253 7 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 Reihenentwicklung von Funktionen Unendliche Reihen Potenzreihen Taylorreihen Fourierreihen Aufgaben zu Kapitel 7 257 257 267 269 280 288 8 Komplexe Zahlen 291 4.6 4.7 4.8 4.9 5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Inhaltsverzeichnis vii 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 Einführung. Grundbegriffe und Rechenoperationen Exponentialform komplexer Zahlen Lösung algebraischer Gleichungen Komplexe Funktionen einer reellen Variablen Anwendung in der Elektrotechnik Aufgaben zu Kapitel 8 291 297 303 305 309 317 9 9.1 9.4 Koordinatensysteme und Kurven Der zweidimensionale Raum IR2 9.1.1 Kartesische Koordinaten 9.1.2 Polarkoordinaten 9.1.3 Koordinaten- und geometrische Transformationen Der dreidimensionale Raum R3 9.2.1 Kartesische Koordinaten 9.2.2 Zylinderkoordinaten 9.2.3 Sphärische Polarkoordinaten 9.2.4 Geometrische und Koordinatentransformationen Kurven •. 9.3.1 Tangenten-und Normalenvektoren 9.3.2 Bogenlänge 9.3.3 Krümmung Aufgaben zu Kapitel 9 319 319 319 320 321 324 324 325 325 326 330 334 337 339 343 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 Funktionen mehrerer Variablen Einführung und Grundbegriffe Partielle Ableitung Differenzierbarkeit, Folgerungen und Näherungen Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema unter Nebenbedingungen Aufgaben zu Kapitel 10 345 345 348 352 363 375 382 11 11.1 11.3 11.4 Bereichs- und Kurvenintegrale Bereichsintegrale im 1R2 11.1.1 Integration in kartesischen Koordinaten 11.1.2 Integration in Polarkoordinaten Bereichsintegrale im IR.3 11.2.1 Integration in kartesischen Koordinaten 11.2.2 Integration in Zylinderkoordinaten 11.2.3 Integration in sphärischen Polarkoordinaten Kurvenintegrale Aufgaben zu Kapitel 11 387 387 390 394 399 402 404 406 408 415 12 Gewöhnliche Differenzialgleichungen 419 9.2 9.3 11.2 viii Inhaltsverzeichnis 12.1 12.2 Einführung Differenzialgleichungen 1. Ordnung 12.2.1 Separable Differenzialgleichungen 12.2.2 Lineare Differenzialgleichungen 12.3 Lineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung 12.3.1 Homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ... 12.3.2 Inhomogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .. 12.4 Lineare Differenzialgleichungen n-ter Ordnung 12.4.1 Homogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten ... 12.4.2 Inhomogene Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .. 12.5 Systeme linearer Differenzialgleichungen 12.5.1 Homogene Systeme 12.5.2 Inhomogene Systeme 12.6 Aufgaben zu Kapitel 12 419 422 423 427 434 435 442 448 448 450 453 456 470 473 13 13.1 Integraltransformationen Fouriertransformation 13.1.1 Einführung 13.1.2 Eigenschaften der Fouriertransformation 13.1.3 Die Deltafunktion S ( t ) 13.1.4 Anwendungen 13.2 Laplacetransformation 13.2.1 Einführung 13.2.2-Eigenschaften 13.2.3 Anwendungen : 13.3 Aufgaben zu Kapitel 13 477 477 477 483 488 492 498 498 500 504 508 14 14.1 14.2 14.3 511 511 516 526 526 528 529 531 532 533 536 538 542 548 548 Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsexperimente, Ereignisse und Wahrscheinlichkeit Eigenschaften und elementare Rechenregeln Hilfsmittel aus der Kombinatorik 14.3.1 Permutationen 14.3.2 Variationen 14.3.3 Kombinationen 14.3.4 Zusammenfassung 14.4 Zufalls variablen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen 14.4.1 Diskrete Zufallsvariablen 14.4.2 Stetige Zufallsvariablen 14.4.3 Parameter einer Wahrscheinlichkeitsverteilung 14.4.4 Mehrere Zufallsvariablen 14.5 Spezielle diskrete Verteilungen 14.5.1 Die Binomialverteilung Inhaltsverzeichnis ix 14.5.2 Die hypergeometrische Verteilung 14.5.3 Die Poisson-Verteilung 14.6 Spezielle stetige Verteilungen 14.6.1 Die Normalverteilung 14.6.2 Die Exponentialverteilung 14.6.3 Die t-Verteilung und die Chi-Quadrat-Verteilung 14.7 Grenzwertsätze 14.8 Aufgaben zu Kapitel 14 550 553 554 554 561 563 565 573 15 15.1 15.2 Beschreibende Statistik Einführung und Grundbegriffe Univariate beschreibende Statistik 15.2.1 Häufigkeiten und grafische Darstellungen 15.2.2 Maßzahlen 15.3 Bivariate beschreibende Statistik 15.3.1 Häufigkeiten und grafische Darstellungen 15.3.2 Maßzahlen 15.4 Aufgaben zu Kapitel 15 581 581 584 584 594 605 605 609 624 16 16.1 16.2 Schließende Statistik Einführung und Grundbegriffe Parameterschätzungen 16.2.1 Punktschätzungen 16.2.2 Intervallschätzungen 16.3 Hypothesentests 16.3.1 Parametertests 16.3.2 Nichtparametrische Tests 16.4 Aufgaben zu Kapitel 16 629 629 632 632 638 647 649 667 675 A A.l A.2 A.3 A.4 A.5 A.6 A.7 A.8 A.9 A.10 A.ll A.12 A.13 687 688 688 689 690 691 692 693 694 694 695 697 697 698 Lösung der Aufgaben Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 1 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 2 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 3 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 4 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 5 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 6 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 7 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 8 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 9 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 11 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 12 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 13 x Inhaltsverzeichnis A.14 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 14 A.15 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 15 A.16 Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 16 699 700 702 B B.l 705 705 705 706 707 708 B.2 B.3 Statistik-Tabellen Standardnormalverteilung B.l.l Quantile der Standardnormalverteilung B.1.2 Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung t-Verteilung Chi-Quadrat-Verteilung Index 711
