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Kurvendiskussion
Die Kurvendiskussion beschreibt ein Verfahren um aus einer analytisch gegebenen Funktion
auf einfachem Weg (also unter Umgehung einer Wertetabelle) den zugehörigen Graphen
skizzieren zu können. Zu diesem Zweck wird die Lage bestimmter markanter Punkte der
Funktion ermittelt. Anschließend werden diese Punkte jeweils mit seinem „Nachbarn“
verbunden.
Folgende markante Punkte müssen rechnerisch ermittelt werden:
1.
2.
3.
4.
Schnittpunkte mit der x-Achse
Schnittpunkt mit der y-Achse
Extrempunkte
Wendepunkte
Um darüber hinaus gehend genauere Aussagen über den Verlauf des Graphen machen zu
können, werden zusätzlich folgende Berechnungen durchgeführt:
1.
2.
3.
4.
5.
Definitionsbereich
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
Symmetrieeigenschaften
Wertebereich
Graph der Funktion
Zweckmäßigerweise sollte die Kurvendiskussion nach folgendem Muster erfolgen:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Definitionsbereich
Wertebereich
Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
Symmetrieeigenschaften
Schnittpunkt mit der y-Achse
Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen)
Extrempunkte
Wendepunkte
Graph der Funktion
Zu 1. Definitionsbereich
Bei den hier behandelten Polynomen (= ganzrationale Funktion) ist der Definitionsbereich
immer R, also
D=R
(Anmerkung: Das R bedarf eines Doppelstrichs, den WORD nicht darstellen kann)
Hinweis:
Mit dem Begriff „Definitionsbereich“ sind alle diejenigen Werte (=Zahlen) gemeint, die man
für x einsetzen darf, ohne dass etwas „mathematisch Verbotenes“ geschieht.
Beispiele für „mathematisch Verbotenes“ sind das Teilen durch 0 oder negative Radikanten
bei Wurzelausdrücken.
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Zu 2. Wertebereich
Bei den hier behandelten Polynomen (= ganzrationale Funktion) ist der Wertebereich immer
R, also
W=R
(Anmerkung: Das R bedarf eines Doppelstrichs, den WORD nicht darstellen kann)
Hinweis:
Mit dem Begriff „Wertebereich“ sind alle diejenigen Werte (=Zahlen) gemeint, die sich für y
ergeben, ohne dass etwas „mathematisch Verbotenes“ geschieht.
Beispiele für „mathematisch Verbotenes“ sind die Werte ∞ / -∞ oder negative
Funktionswerte bei Wurzelausdrücken.
Zu 3. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
Die Ränder des Definitionsbereiches sind +∞ („plus unendlich“) bzw. -∞ („minus
unendlich“).
Um zu ermitteln welchen Funktionswert die Funktion an den Rändern annimmt, wird nur der
Term mit dem höchsten bei x vorkommemden Exponenten betrachtet.
Zu unterscheiden sind dabei 4 Fälle:
a) Funktion mit positivem Koeffizienten (= Faktor) und geradem Exponenten
Beispiel: f ( x)  3x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0
Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem
höchsten Exponent, hier also 3x 4
Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> 3* ∞4 -> +∞
Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> 3* (-∞)4 -> +∞
b) Funktion mit negativem Koeffizienten (= Faktor) und geradem Exponenten
Beispiel: f ( x)  3x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0
Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem
höchsten Exponent, hier also  3x 4
Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> -3* ∞4 -> -∞
Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> -3* (-∞)4 -> -∞
c) Funktion mit positivem Koeffizienten (= Faktor) und ungeradem Exponenten
Beispiel: f ( x)  3 x 3  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0
Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem
höchsten Exponent, hier also 3x 3
Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> 3* ∞3 -> ∞
Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> 3* (-∞)3 -> -∞
d) Funktion mit negativem Koeffizienten (= Faktor) und ungeradem Exponenten
Beispiel: f ( x)  3x 3  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0
Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem
höchsten Exponent, hier also  3x 3
Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> -3* ∞3 -> -∞
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Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> -3* (-∞)3 -> +∞
Zu 4 Symmetrieeigenschaften
Die Symmetrieeigenschaft einer Funktion beschreibt ihre „Spiegelgleichheit“ an einer oder an
beiden Achsen.
Dabei wird zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterschieden:
Achsensymmetrie
f ( x)  f ( x)
Dieser Fall liegt ausschließlich dann vor, wenn ALLE Exponenten in der Funktion gerade
sind.
Punktsymmetrie
f ( x)   f ( x)
Dieser Fall liegt ausschließlich dann vor, wenn ALLE Exponenten in der Funktion ungerade
sind.
Keine Symmetrie liegt dann vor, wenn die Funktion gerade und ungerade Exponenten enthält.
Zu 5. Schnittpunkt mit der y-Achse
Wenn die y-Achse geschnitten wird ist der zugehörige x-Wert immer gleich 0. Also muss zur
Berechnung des y-Achsenschnittpunktes jedes x in der Funktion gleich 0 gesetzt werden. Der
„übrig bleibende Rest“ ist dann der Schnittpunkte mit der y-Achse.
Zu berechnen also: f(0)
Zu 6. Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen)
Wenn die x-Achse geschnitten wird ist der zugehörige y-Wert immer gleich 0. Also muss zur
Berechnung der x-Achsenschnittpunkte f(x) gleich 0 gesetzt werden.
Zu berechnen also: f(x) = 0
Zu 7. Extrempunkte
Extrempunkte sind diejenigen Stellen des Graphen (also auch der Funktion), die am höchsten
oder am niedrigsten sind. Dabei können allerdings auch mehrere Punkte am höchsten, bzw.
am niedrigsten sein, man spricht dann von lokalen Extrema.
Bei allen gilt, dass die Steigung an den Hoch- bzw. Tiefpunkten gleich 0 ist. Also muss zur
Berechnung der Extrema die erste Ableitung f (x) gleich 0 gesetzt werden.
Zu berechnen also: I) f ( x)  0 (Notwendige Bedingung)
Das Ergebnis von I) sind xe-Werte, bei denen ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Um beurteilen zu können, ob es nun ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, muss darüber hinaus die
zweite Ableitung berechnet werden.
Zu berechnen also: I) f ( x)  0 (Hinreichende Bedingung)
Für einen Hochpunkt gilt dann: II) f ( xe )  0
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Für einen Tiefpunkt gilt dann: II) f ( xe )  0
Bis hierher wurden nur x-Werte berechnet. Um Aussagen über die Punkte zu machen, an
denen Extrema vorliegen, müssen abschließend noch die den xe-Werten zugehörigen y-Werte
berechnet werden, indem die xe-Werte in die „Originalfunktion“ f(x) eingesetzt werden.
Zu berechnen also: f ( xe )
Die Extrema sind dann: H p oder T p ( xe | f ( xe )
Zu 8. Wendepunkte
Wendepunkte sind diejenigen Stellen, bei denen der Graph bzw. die Funktion die größte
Steigung besitzt. Links und rechts von diesen Punkten ist die Steigung kleiner. Somit sind
Wendepunkte in der ersten Ableitung also „die Größten“ oder „die Kleinsten“, also Extrema.
In der zweiten Ableitung sind diese Extrema dann wieder Nullstellen.
Zu berechnen also:
I) f ( xw )  0
(Notwendige Bedingung)
II) f ( x w )  0 (Hinreichende Bedingung)
Hinweis: Der genaue Funktionswert für f ( x w ) ist nicht von Bedeutung, es geht nur darum,
NICHT Null zu sein.
Bis hierher wurden nur x-Werte berechnet. Um Aussagen über die Punkte zu machen, an
denen Wendepunkte vorliegen, müssen abschließend noch die den xw-Werten zugehörigen yWerte berechnet werden, indem die xw-Werte in die „Originalfunktion“ f(x) eingesetzt
werden.
Zu berechnen also: f ( x w )
Die Wendepunkte sind dann: W p ( xw | f ( xw )
Zu 9. Graph der Funktion
Hier werden nur noch die unter 1. Bis 8. Berechneten Punkte (also (x|y)-Pärchen) in ein
geeignetes Koordinatensystem eingetragen und anschließend von links nach rechts
miteinander verbunden.
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Beispielaufgabe zur Kurvendiskussion
Aufgabe 1)
f ( x) 
Quelle: http://www.mathematik-wissen.de/eine_komplette_kurvendiskussion.htm
1 3 1 2 8
26
x  x  x
9
3
3
9
Definitionsbereich
D=R
Wertebereich
W=R
Verhalten an den Rändern der Funktion
Für x -> +∞ gilt: f(x) -> f ( x) 
1 3
  -> +∞
9
Für x -> -∞ gilt: f(x) -> f (x) 
1
1
 () 3     3  
9
9
Symmetrieeigenschaften
Die Funktion beinhaltet gerade und ungerade Exponenten => keine Symmetrie
Berechnung Nullstellen:
f (x )  0
1 3 1 2 8
26
x  x  x
0
9
3
3
9
Wegen x3 wird eine Nullstelle geraten und dann per Polynomdivision die Funktion in zwei
Faktoren zerlegt.
Geratene Nullstelle bei x = 1
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=>
=>
x 1  0
x= 1
v
1 2 2
26
x  x
0
9
9
9
v
Da später die Funktion gezeichnet werden soll, rechnen wir die Werte mit dem
Taschenrechner aus und erhalten zu der Nullstelle bei x = 1 noch die Nullstellen bei x = 6,196
und bei x = – 4,196.
Ns1:(1|0)
Ns2:(6,196|0)
Ns3:(-4,196|0)
Berechnung Schnittstelle mit der y-Achse:
Zuerst überprüfen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, die befindet sich bei x = 0. Deshalb
setzen wir in die Funktion x = 0 ein und erhalten den entsprechenden Wert.
f ( 0) 
1 3 1 2 8
26 26
0  0  0

9
3
3
9
9
Schnittpunkt mit y-Achse: (0|
26
)
9
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Berechnung Extrempunkte:
Überprüfung der Extremstellen auf Existenz und Hoch- bzw. Tiefpunkt:
f '' ( x) 
2
2
x
3
3
f ' ' (2) 
f ' ' (4) 
2
2
6
(2)      2  0
3
3
3
2
2 6
(4)    2  0
3
3 3
  2 ist der x  Wert des Maximums
 4 ist der x  Wert des Minimum
Bei x = -2 und x = 4 befinden sich die Extrema. Wir setzen diese x-Werte in die
Originalfunktion ein, um die zugehörigen y-Werte zu bekommen:
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Hochpunkt H(– 2|6) und Tiefpunkt T(4|– 6).
Berechnung Wendepunkt:
Erste Ableitung:
Zweite Ableitung:
Zweite Ableitung gleich Null setzen:
Überprüfung auf echten Wendepunkt mit der dritten Ableitung:
f ''' ( x ) 
2
0
3
Bei x = 1 befindet sich die Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in die Originalfunktion ein,
um den y-Wert zu bekommen:
Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0).
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Funktionsgraph zeichnen
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Übungsaufgaben
Berechne
1. Definitionsbereich
2. Wertebereich
3. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches
4. Symmetrieeigenschaften
5. Schnittpunkt mit der y-Achse
6. Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen)
7. Extrempunkte
8. Wendepunkte
9. Graph der Funktion
f ( x)  x 3  3x 2
1
b) f ( x )  x 4  2 x 2
4
1
c) f ( x )   x 3  2 x
6
a)
d)
f ( x)  8x 3  2 x 2
e)
f ( x )  3x 4  8 x 3  6 x 2
f)
f ( x)  x 3  3x 2
g)
f ( x )  3x 4  8 x 3  6 x 2
h)
f ( x)  x 4  x 2
1
f ( x )  x 3  3x 2  5 x
2
i)
f ( x)  x 4  5x 2  4
1
k) f ( x )  x 4  2 x 2  2
4
j)
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