Vorkurs Mathematik Intensiv Komplexe Zahlen – Zusatzblatt

Prof. Dr. J. Dorfmeister
und Tutoren
TU München
WS 06/07
Vorkurs Mathematik Intensiv
Komplexe Zahlen – Zusatzblatt – Musterlösungen
1. Berechen Sie für z1 = 4 + 3i: Re(z), Im(z), |z|, z, z1 , z 2 und
Lösung:
z1 = 4 + 3i
Re(z1 ) = 4
Im(z1 )√= 3
√
|z1 | = 16 + 9 = 25 = 5
z1 = 4 − 3i
z1
z1
1
4−3i
4
3
z1 = z1 z1 = |z1 |2 = 25 = 25 − 25 i
2
z1 = 16 + 24i − 9 = 7 + 24i
(4+3i)2
z1
4+3i
= 7+24i
z1 = 4−3i =
25
25
z
z
.
2. Sei z1 = 7 + 3i und z2 = 4 + 12i. Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 sowie
Lösung:
z1 + z2 = 11 + 15i
z1 − z2 = 3 − 9i
z1
z1 z2
28−84i+12i−36i2
9
= 64−72i
= 25 − 20
i
z2 = |z2 |2 =
16+144
160
z1
z2 .
3. Geben Sie folgende Terme in der Form a + ib an.
(a) (2 + i)2
(b)
(c)
8i−1
i
(8+2i)+(1−i)
(2+i)2
Lösung:
(a) (2 + i)2 = 4 + 4i + i2 = 3 + 4i = 3 − 4i
(b)
(c)
2
8i−1
= 8 + ii = 8 + i
i
(8+2i)+(1−i)
9+i
= 3+4i
= (9+i)(3−4i)
(2+i)2
25
=
27−36i+3i+4
25
=
31−33i
25
4. Skizzieren Sie die Punktmengen
(a) |z + i| ≤ 3
(b) Re(z − i) = z
Lösung:
(a) |z + i| ≤ 3 ⇔ |a + i(b + 1)| ≤ 3 ⇔ a2 + b2 + 2b ≤ 8
Das ist ein Kreis mit dem Zentrum (0, −i) und Radius r = 3
(b) Re(z − i) = z ⇔ Re(a − ib − i) = a + ib ⇔ a = a + ib ⇔ b = 0
Das sind alle Reellen Zahlen.
5. Für welche reellen Zahlen a,b gilt 2a + 3bi − a(1 + i) + 5b + 3 − i = 0?
Lösung:
(a + 5b) + i(−a + 3b) = −3 + i
⇔ a = − 47 ; b = − 14
6. Schreiben Sie die folgenden Polynome als Produkte von „linearen Polynomen“, d.h. Ausdrücken der
Form z − zj .
(a) z 4 − 1
(b) z 2 − 3 − 4i
(c) z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 (Hinweis: z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 =
1
z 8 −1
z−1 )
Lösung:
(a) z 4 − 1 = (z + 1) · (z − 1) · (z 2 + 1) = (z + 1) · (z − 1) · (z + i) · (z − i)
(b) z 2 − 3 − 4i = z 2 − (4 − 4i − 1) = z 2 − (2 − i)2 = (z − 2 + i) · (z + 2 − i)
(c) z 7 + z 6 + z 5 + z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = (z + 1) · (z 6 + z 4 + z 2 + 1) = (z + 1) · (z + i) · (z − i) ·
(z + √12 (1 + i)) · (z − √12 (1 + i)) · (z + √12 (1 − i)) · (z − √12 (1 − i))
7. Berechnen Sie komplexe Zahlen, die folgende Gleichung erfüllen:
(a) w2 − w + 1 = 0
(b) w2 + iw + 2 = 0
(c) w3 − w2 − iw + i = 0
Lösung:
(a) w1,2 =
1
2
±
q
(b) w1,2 = − 2i ±
1
4
−1=
√
1± 3i
2
q
− 14 − 2 =
−i±3i
2
(c) w1 = 1 ⇒ (w3 − w2 − iw + i) : (w − 1) = w2 − i ⇒ w2,3 = ± √12 (1 + i)
8. Zeigen Sie für z = x + iy 6= 0:
z −1 =
z̄
2
|z|
=
x
y
−i 2
x2 + y 2
x + y2
Lösung:
2
z |z|z̄ 2 = |z|
. Es folgt die Behauptung.
|z|2
2