Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. Michael Hinze
Dr. Hanna Peywand Kiani
WiSe 2015/16
Analysis I
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 6
Aufgabe 1) Bitte lösen Sie die angegebenen Aufgaben, kreuzen Sie bei mehreren Auswahlmöglichkeiten die richtige(n) Zeile(n) an, und tragen Sie gegebenenfalls in den angekreuzten Zeilen Ihre Antworten in die dafür vorgegebenen Kästchen ein.
a) Welche der folgenden Aussagen über reellwertige stetige Funktionen auf R sind wahr?
Die Komposition stetiger Funktionen ist stetig.
Jede stetige Funktion f : [a, b] → R besitzt mindestens eine Nullstelle.
Jede stetige Funktion f : [a, b] → R hat ein Minimum.
Jede stetige Funktion ist differenzierbar.
Jede differenzierbare Funktion ist stetig.
b) Es sei M := x ∈ R : ∃n ∈ N mit x = 1 + n3 .
Dann ist inf M = min M
Dann ist sup M = max M
=
=
min M existiert nicht und es ist inf M
max M existiert nicht und es ist sup M
Weder sup M noch inf M existieren.
=
=
Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/2016, Blatt 6
2
Aufgabe 2: (6+4 Punkte)
a) Begründen Sie , warum jede
(i) stetige gerade Funktion f : R → R mit
lim f (x) = 2,
x→∞
f (−2) = −2,
f (1) = 1
mindestens vier Nullstellen hat, und
(ii) jede stetige ungerade Funktion f : R → R mit
lim f (x) = 2,
f (−2) = 2,
f (1) = 1
x→∞
mindestens fünf Nullstellen hat.
b) Gegeben sei die Funktion f : R → R,
f (x) = x2 + ex + cos(x) − 3 .
(i) Zeigen Sie, dass f im Intervall I := [0, 2] mindestens eine Nullstelle hat.
(ii) Berechnen Sie mit Hilfe des Intervallhalbierungsverfahrens und eines (Taschen-)
Rechners eine Näherung x̂ für eine Nullstelle x0 aus I , für die |x̂ − x0 | ≤ 0.01
gilt.
Aufgabe 3:
a) Gegeben sei die Funktion f : R → R ,
(
ex
x≤0
f (x) :=
3
2
3x + 2x + ax + b x > 0 .
Dabei seien a und b reelle Parameter.
(i) Für welche Zahlen a, b ∈ R ist f auf ganz R stetig?
(ii) Für welche Zahlen a, b ∈ R ist f auf ganz R stetig differenzierbar?
b) Gegeben sei die Funktion f : [0, 2] → R mit
(
(ω − 1)x2 + (2 − ω)x x ∈ [0, 1]
f (x) :=
A sin(ωx)
x ∈ (1, 2]
wobei A ∈ R und ω ∈ [0, 2] gelte. Bestimmen Sie die Konstanten A und ω so, dass
f im Intervall (0,2) stetig differenzierbar ist.
Analysis I, M. Hinze/P. Kiani, WiSe 2015/2016, Blatt 6
Aufgabe 4:
Berechnen Sie für die folgenden Funktionen jeweils die erste Ableitung.
f1 : R → R
f1 (x) = cos2 (x) − sin2 (x),
f2 : R → R
f2 (x) = 2 cos(x) sin(x),
f3 : R \ {1} → R
f4 : R → R
f5 : R+ → R
Abgabetermine: 11.01 - 15.01.2016
2
, n ∈ N beliebig aber fest,
(1 − x)n
xn
f4 (x) = x , n ∈ N beliebig aber fest,
e
√
f5 (x) = x x.
f3 (x) =
3