Universität des Saarlandes Name, Vorname:

e
Universität des Saarlandes
FR 6.1, Mathematik
Prof. Dr. Ernst-Ulrich Gekeler
Dr. Johannes Lengler
Klausur zur Analysis I, Sommersemester 2010
Aufgabe 1: Multiple Choice — Blatt 1
Name, Vorname:
Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen im Allgemeinen richtig (R) oder falsch (F)
sind. (D.h. sie müssen entscheiden, ob die Aussagen in jedem Fall richtig sind).
Dieses Blatt wird um 10:15 Uhr eingesammelt!
1. Mengen und Abbildungen
Es seien X, Y Mengen, Z eine echte Teilmenge von X, f : X → Y eine
Abbildung. Für y ∈ Y sei wie üblich f −1 (y) := {x ∈ X|f (x) = y}.
Es gibt keine surjektive Abbildung von Z nach X.
Ist f injektiv, so ist jedes f −1 (y) endlich.
Ist f surjektiv, so ist jedes f −1 (y) nichtleer.
Jede beschränkte Teilmenge von Q besitzt in Q ein Supremum.
2. komplexe Zahlen
Sei z 6= 0 eine komplexe Zahl.
z=
|z|
.
z
Es gibt genau zwei w ∈ C mit w2 = z.
3. Folgen
Sei (an )n∈N eine Folge reeller Zahlen.
(an ) ist genau dann konvergent, wenn gilt:
∀ > 0 ∃N > 0 ∀m, n ≥ N : |am − an | < (2 + 1).
Ist f : R → R stetig und (an )n∈N divergent, so ist auch (f (an ))n∈N
divergent.
P
n
Ist 0 < an < n12 für alle n ∈ N, so konvergiert die Reihe ∞
n=1 (−1) an .
Es gelte: ∃N > 0 ∀m, n ≥ N : n > m ⇒ an ≥ am . Dann existiert ein
eigentlicher oder uneigentlicher Grenzwert lim an ∈ R ∪ {∞}.
n→∞
4. metrische Räume
Es seien (X, d) und (Y, d0 ) metrische Räume, A ⊂ X eine Teilmenge und
f : X → Y eine stetige Abbildung.
Ist A nicht abgeschlossen, so ist X \ A abgeschlossen.
Ist A kompakt, so ist f (A) kompakt.
Ist (xn )n∈N eine Folge in X, so gilt:
(f (xn ))n∈N konvergiert ⇐⇒ ∀ > 0 ∃N ∈ N ∀m, n ≥ N : d(xm , xn ) < .
Ist (Xn )n≥1 eine FolgeTvon kompakten Teilmengen von Rn mit nichtleerem
Durchschnitt, so ist
Xn kompakt.
n≥1
Es gibt ein n ∈ N und eine unendliche kompakte Teilmenge X von Rn ,
die aus lauter isolierten Punkten besteht.
Nun sei f : (0, 1) → (0, 1) eine Abbildung mit der Eigenschaft:
∀x, y ∈ (0, 1) : |f (x) − f (y)| < |x − y|.
f ist stetig.
f besitzt einen Fixpunkt.
5. Stetigkeit
Sei D ⊆ R nichtleer und f : D → R eine Funktion.
Ist f stetig auf D = [0, ∞) und gleichmäßig stetig auf [1, ∞), so ist f auf
D gleichmäßig stetig.
Ist f auf D = [0, 1) stetig und existiert lim f (x), so ist f auf D gleichmäßig
x→1−
stetig.
Ist f auf D = [0, 1] stetig, so gilt:
∀ > 0 ∃δ > 0 ∀x, y ∈ D : |x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < .
Nimmt f auf D = [0, 1] ein Maximum M , ein Minimum m und alle Werte
zwischen m und M an, so ist f stetig.
Eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0 konvergiert gleichmäßig
auf (−R, R) gegen ihre Grenzfunktion.
P 3/2 n
Die Potenzreihe
n x hat einen Konvergenzradius R < 1.
n≥0
Die komplexe Potenzreihe
P
n≥1
(πi)n
n!
konvergiert gegen −2.
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Dr. Johannes Lengler
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Klausur zur Analysis I, Sommersemester 2010
Aufgabe 1: Multiple Choice — Blatt 2
Name, Vorname:
Geben Sie an, ob die folgenden Aussagen im Allgemeinen richtig (R) oder
falsch (F) sind. (D.h. sie müssen entscheiden, ob die Aussagen in jedem Fall
richtig sind).
Dieses Blatt wird um 10:15 Uhr eingesammelt!
6. spezielle Funktionen
Es seien v und w die komplexen Zahlen v = 2eπi/5 , w = −1 + i, und es sei
z ∈ C beliebig.
v 5 = 32.
w12 = −64.
eiz = cos(z) + i sin(z).
sin(z) =
eiz −e−iz
.
2
7. Differential- und Integralrechnung
Sei D ⊆ R nichtleer und offen, und seien f und g Funktionen von D nach R.
Ist f in a ∈ D diffbar, und ist g nicht in a diffbar, so ist auch f + g in a
nicht diffbar.
Ist f diffbar mit f 0 (x) > 0 für alle x ∈ D, so ist f monoton steigend.
Sind f, g diffbar, so ist (sofern definiert) auch g ◦ f diffbar mit Ableitung
f 0 (x)g 0 (f (x)) an x ∈ D.
Sei nun I = (a, b) ein offenes Intervall und f : I → R eine Funktion.
Ist f diffbar und nimmt es an x0 ∈ I ein Minimum an, so ist f 0 (x0 ) = 0.
Ist f diffbar, und gibt es genau ein x0 ∈ I mit f 0 (x0 ) = 0, so besitzt f in
x0 ein globales Minimum oder Maximum.
Ist f stetig, so besitzt es eine Stammfunktion F , die stetig diffbar ist.
8. Anwendungen der Differential- und Integralrechnung
sin2 (x)
= 1.
x→0 x2 (x − 1)
lim
x
= 0.
x→∞ (log x)2
lim
f : R → R sei unendlich oft diffbar und an = f (n) (0) für n ∈ N0 . Ist
R > 0 der Konvergenzradius, so gilt für alle x ∈ (−R, R):
X an
f (x) =
xn .
n!
n≥0
Für alle x ∈ [ 21 , 32 ] gilt: | log(x) + 1 − x| ≤ 12 .
Ist (fn )n∈N eine Folge Riemann-integrierbarer Funktionen auf [a, b] mit
Grenzfunktion f (x) = lim fn (x), so ist auch f Riemann-integrierbar mit
n→∞
b
Z
Z
f (x)dx =
a
Z
0
b
fn (x)dx.
a
b
xe−x
2 /2
dx = 1 − e−b
2 /2
.
e
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Aufgabe 2-6
Aufgabe 2: (10 Punkte)
π
| k ∈ N ∪ {0} ist kompakt.
Zeigen Sie: Die Menge sin 6k
freiwillige Zusatzaufgabe: (2 Bonuspunkte)
Formulieren und beweisen Sie eine möglichst weitgehende Verallgemeinerung der
obigen Aussage.
Aufgabe 3: (3+5+2=10 Punkte)
Gegeben sei die Potenzreihe
∞
X
(k + 2)(k + 1)xk
k=0
(a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius R.
(b) Beschreiben Sie die dadurch definierte Funktion f : (−R, R) → R durch eine
geschlossene Formel.
(c) Finden Sie den Wert von f an den Stellen x1 = 12 und x2 = − 21 .
Hinweis: Betrachten Sie Stammfunktionen von f .
Aufgabe 4: (10 Punkte)
Beweisen Sie: Ist f : I → R eine (n + 1)-mal stetig differenzierbare Funktion (n ≥ 1
ungerade), x0 ein Punkt des offenen Intervalls I und
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n) (x0 ) = 0,
so hat f in x0 ein lokales Minimum.
f (n+1) (x0 ) > 0,
Aufgabe 5: (2+4+4=10 Punkte)
Es sei f : R → R die Funktion f (x) = sinh(x)
(a) Berechnen Sie die Taylor-Polynome Tn = Tn,0,f der Ordnung n ≤ 12 von f um
x0 = 0.
(b) Geben Sie ein möglichst kleines n an, für das gilt: Bei Ersetzen von f (x) durch
Tn (x) ergibt sich für alle x ∈ [−1, 1] ein Fehler Rn (x) vom Absolutbetrag
≤ 10−6 .
(c) Berechnen Sie Näherungswerte für sinh 21 und sinh 13 mit Fehler vom Absolutbetrag ≤ 10−5 .
(Sie dürfen die Ergebnisse als rationale Brüche ab mit a, b ∈ Z darstellen.)
Aufgabe 6: (10 Punkte)
Sei t < 0 und sei ft : R → R; x 7→ tx2 +1−t. Betrachten Sie die Fläche, die oberhalb
der x-Achse und unterhalb des Funktionsgraphen liegt. Für welche(s) t < 0 wird
diese Fläche minimal?
Viel Erfolg!