R, f(x)

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Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 1
Blatt 7
Abgabe bis Do, 04.12., 12 Uhr
Zusatzaufgabe 5. Gegeben sind die Funktionen f : R → R und g : (0, ∞) → R,
(
(
1, x ∈ Q,
1/q, x = p/q für teilerfremde p, q ∈ N,
f (x) =
g(x) =
0, sonst,
0,
sonst.
An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig?
Begründen Sie Ihre Antwort.
Lösung:
f ist überall unstetig:
Sei x ∈ R. Dann existiert einer Folge rationaler Zahlen (xn )n mit limn xn = x
(z.B. Dezimalzahlentwicklung verwenden).
Falls√x 6∈ Q folgt lim f (xn ) = 1 6= 0 = f (x). Falls x ∈ Q, dann konvergiert yn :=
xn + 2/n auch gegen x und jedes yn ist irrational, also lim f (yn ) = 0 6= 1 = f (x).
In beiden Fällen folgt, dass f an x nicht stetig ist.
g ist an allen irrationalen Stellen stetig und an allen rationalen unstetig:
Für rationale x findet man wie oben eine Folge irrationaler yn mit limn yn = x,
und dann ist limn g(yn ) = 0 6= f (x), also g an x unstetig.
Für irrationales x und gegebenes > 0 findet man q mit 1/q < . Die Menge
M := {p/q 0 : p = 1, . . . , q 0 − 1, 1 ≤ q 0 ≤ q}
ist dann endlich und x 6= M , also ist δ := min{|x − y| : y ∈ M }/2 > 0 und für
alle y ∈ (0, 1) mit |x − y| < δ folgt y 6∈ M und somit f (y) < 1/q < . Somit ist g
stetig bei x.
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