Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann Übung zur Analysis 1 Blatt 7 Abgabe bis Do, 04.12., 12 Uhr Zusatzaufgabe 5. Gegeben sind die Funktionen f : R → R und g : (0, ∞) → R, ( ( 1, x ∈ Q, 1/q, x = p/q für teilerfremde p, q ∈ N, f (x) = g(x) = 0, sonst, 0, sonst. An welchen Stellen sind diese Funktionen jeweils stetig beziehungsweise unstetig? Begründen Sie Ihre Antwort. Lösung: f ist überall unstetig: Sei x ∈ R. Dann existiert einer Folge rationaler Zahlen (xn )n mit limn xn = x (z.B. Dezimalzahlentwicklung verwenden). Falls√x 6∈ Q folgt lim f (xn ) = 1 6= 0 = f (x). Falls x ∈ Q, dann konvergiert yn := xn + 2/n auch gegen x und jedes yn ist irrational, also lim f (yn ) = 0 6= 1 = f (x). In beiden Fällen folgt, dass f an x nicht stetig ist. g ist an allen irrationalen Stellen stetig und an allen rationalen unstetig: Für rationale x findet man wie oben eine Folge irrationaler yn mit limn yn = x, und dann ist limn g(yn ) = 0 6= f (x), also g an x unstetig. Für irrationales x und gegebenes > 0 findet man q mit 1/q < . Die Menge M := {p/q 0 : p = 1, . . . , q 0 − 1, 1 ≤ q 0 ≤ q} ist dann endlich und x 6= M , also ist δ := min{|x − y| : y ∈ M }/2 > 0 und für alle y ∈ (0, 1) mit |x − y| < δ folgt y 6∈ M und somit f (y) < 1/q < . Somit ist g stetig bei x. 1