Analysis I* ¨Ubungsblatt 8

Humboldt-Universität zu Berlin
Institut für Mathematik
Prof. A. Mielke, Dr. A. Fauck, A. Stephan
S. Hensel, M. Radons, C. Sirotenko
Analysis I*
WiSe 2016/17
Übungsblatt 8
Schriftliche Abgabe: Dienstag 3. Januar 2016
Aufgabe 8.1 (3+3 Punkte)
a) Seien Kn nichtleere kompakte Mengen in R, so dass Kn+1 ⊂ Kn für alle n ∈ N gilt.
∞
T
Zeigen Sie, dass der Durchschnitt
Kn nicht leer ist.
n=1
def
b) Sei (xn )n∈N eine
Folge in R. Zeigen Sie, dass die Menge B = {xn | n ∈ N} ∪
HW (xn )n∈N in R abgeschlossen ist. Gilt B = cl {xn | n ∈ N} ?
Aufgabe 8.2 (1+2+2 Punkte)
Ziel dieser Aufgabe ist es, eine äquivalente Variante der Vollständigkeit von R zu formulieren. In der Vorlesung wurde die Vollständigkeit von R zunächst über das Supremumsaxiom
definiert, d.h. R ist vollständig, wenn jede nach oben beschränkte Teilmenge von R ein Supremum besitzt. Danach wurde RVV als metrische Vervollständigung von (Q, d|·| ) erklärt.
a) Zeigen Sie, dass RVV das Archimedische Axiom erfüllt.
b) Eine Folge (In )n∈N von offenen Intervallen In = ]an , bn [ ⊂ R heißt Intervallschachtelung, wenn In+1 ⊂ In für n ∈ N gilt und |bn − an | → 0. Wir sagen, R erfüllt das
Intervallschachtelungsprinzip, wenn es zu jeder Intervallschachtelun (In )n∈N genau
ein x∗ ∈ R existiert, dass in allen In , n ∈ N enthalten ist. Zeigen Sie, dass RVV das
Intervallschachtelungsprinzip.
c) Beweisen Sie, dass das Intervallschachtelungsprinzip mit dem Archimedischen Axiom
äquivalent ist zum Supremumsaxiom.
Aufgabe 8.3 (2+2+2 Punkte)
Für eine Menge X bezeichnen wir den Raum aller Metriken mit M(X). Wir nennen zwei
Metriken d1 , d2 ∈ M(X) äquivalent, falls zwei Konstanten m, M > 0 existieren, sodass
gilt
∀x, y ∈ X : m d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ M d1 (x, y).
Seien d1 , d2 ∈ M(X) zwei äquivalente Metriken. Beweisen Sie:
a) Eine Folge (xn )n∈N ⊂ X ist konvergent gegen x∗ ∈ X bezüglich d1 genau dann, wenn
die konvergent gegen x∗ bezüglich d2 ist.
b) A ⊂ X ist offen in (X, d1 ) genau dann, wenn sie offen in (X, d2 ) ist.
c) Für A ⊂ X beliebig stimmen Å, Ā, ∂A bezüglich d1 bzw. d2 überein.
Aufgabe 8.4 (4+3 Punkte)
a) Gegeben sei eine Menge M ⊂ R und stetige Funktionen f : M → R und g : M → R.
Zeigen Sie, dass f + g : M → R und f · g : M → R stetig sind.
R → R
PN
b) Folgern Sie aus a), dass alle Polynome P :
k (mit αk ∈ R für
x 7→
k=0 αk x
alle 1 ≤ k ≤ N ) stetig sind.
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Übungsblatt 8
Die folgenden Aufgaben sind freiwillig und richten sich vor allem an diejenige Studenten,
die zur Zeit die erforderlichen 50% der Punkte zur Prüfungszulassung noch nicht erreicht
haben.
Aufgabe Z.1 (2+2+4 Punkte)
In Aufgabe 5.2 wurde gezeigt, dass die Folge (1 + n1 )n n∈N konvergiert. Der Grenzwert
heißt Eulersche Zahl und wird e (nicht e) bezeichnet. Zeigen Sie:
n+3 n
a) Zeigen Sie limn→∞ ( n+2
) =e
b) Zeigen Sie limn→∞ (1 − n1 )n = 1e .
c) Sei (qn )n∈N ein Folge positiver rationaler Zahlen, die gegen +∞ strebt. Zeigen Sie
limn→∞ (1 + q1n )qn = e.
Aufgabe Z.2 (4+3+3 Punkte)
Sei (an )n∈N ein Folge positiver reeller Zahlen mit limn→∞ an+1
an = x.
√
Zeigen Sie limn→∞ n an = x.
p
n
, yn = n1 n (n + 1)(n + 2) · · · (n + n).
Bestimmen Sie den Grenzwert der Folgen xn = √
n
n!
Aufgabe Z.3 (3+3 Punkte)
T
In der Vorlesung wurde die Cantor-Menge C ⊂ [0, 1] als C = ∞
k=1 Ck definiert. Die
Mengen Ck entstehen durch das sukzessives Entfernen von Intervallen. Es wurde gezeigt,
dass die Menge C abgeschlossen ist und dass C kein Intervall positiver Länge enthält.
(a) Berechnen Sie die gesamte Länge der Cantor-Menge, indem Sie berechnen wie viel in
jedem Schritt vom Intervall [0, 1] (mit Länge 1) entfernt wird.
(b) Ferner nennen wir einen Punkt p Häufungspunkt einer Menge M ⊂ R, wenn in jeder
Kugel um p mindestens ein Punkt von M liegt, der von p verschieden ist. Beweisen Sie,
dass C gleich der Menge aller Häufungspunkte von C ist.
Die folgenden Aufgaben werden in den Übungen besprochen.
Aufgabe Geben Sie ein Beispiel dafür, dass die Vereinigung unendlich vieler abgeschlossener Mengen im Allgemeinen nicht wieder abgeschlossen ist.
Aufgabe Zu einer Menge X bezeichnen wir den Raum aller Metriken mit M(X) (siehe
Aufgabe 8.3).
Beweisen Sie, dass Metrikäquivalenz eine Äquivalenzrelation auf M(X) definiert.
Beweisen Sie, dass die Summen-Metrik, die Euklidische-Metrik und die Maximums-Metrik
aus M(Rn ) äquivalent sind.
Aufgabe
a) Sei f : R → R stetig in x0 und f (x0 ) 6= 0. Beweisen Sie, dass
1
f
stetig in x0 ist.
b) Sei f : M → N ⊂ R und g : N → R stetig. Dann ist auch die Komposition
g ◦ f : M → R stetig.
(
0, x 6= Q
c) In welchen Punkten ist f :]0, ∞[→ R, f (x) = 1
stetig?
p
q , x = q ∈ Q gekürzt
Das Team der Analysis I∗ wünscht Ihnen
Frohe Weihnachten und einen Guten Rutsch ins Neue Jahr!
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