12. Übung zur Analysis I im WS 2013/14 Hausübungen

FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Patrizio Neff
Christian Thiel
14.01.2014
12. Übung zur Analysis I im WS 2013/14
Sei (xn )n∈N eine reelle Zahlenfolge. Wir schreiben limn→∞ xn = ∞, falls es für jedes c ∈ R ein n0 ∈ N gibt mit
xn > c für alle n ≥ n0 . Analog schreiben wir limn→∞ = −∞, wenn für jedes c ∈ R ein n0 ∈ N existiert mit xn < c
für alle n ≥ n0 .
Damit ist es zweckmäßig R (sprich „R quer“) zu definieren als die Menge, die alle reellen Zahlen enthält und zusätzlich
noch die beiden Symbole −∞ und ∞, also R := R ∪ {−∞, ∞}.
Weiterhin sei für eine Funktion D ⊆ R → R der Grenzwert
lim f (x) := b ,
x→a
a, b ∈ R
definiert, falls für alle Folgen (xn )n∈N mit limn→∞ xn = a gilt limn→∞ f (xn ) = b.
Mit Hilfe der Grenzwertdefinition können wir die Stetigkeit von f ausdrücken: Sei a ∈ R. f ist genau dann stetig,
wenn limx→a f (x) = f (a) gilt (d.h. wenn für alle Folgen (xn )n∈N mit xn → a auch limn→∞ f (xn ) = f (limn→∞ xn )
gilt).
Präsenzaufgabe 1:
Sei f eine auf ganz R stetige Funktion mit
lim f (x) = lim f (x) = ∞ .
x→−∞
x→∞
Zeigen Sie: Es existiert eine Stelle a ∈ R mit f (a) = inf x∈R f (x), d.h. die Funktion f nimmt ihr Minimum (an der
Stelle a ∈ R) an.
Hinweis: Betrachten Sie f zunächst auf einem geeigneten kompakten Intervall.
Präsenzaufgabe 2:
Zeigen oder widerlegen Sie: Seien A, B und für n ∈ R An beliebige kompakte Teilmengen von R.
\
[
i) A ∪ B ist kompakt.
ii)
An ist kompakt.
iii)
An ist kompakt.
n∈N
n∈N
Präsenzaufgabe 3:
a) Zeigen Sie mit Hilfe der sowohl mit der ε-δ-Definition, als auch mit der Definition der Folgenstetigkeit, dass
die durch f (x) = x3 auf ganz R definierte Funktion stetig ist.
b) Beweisen oder widerlegen Sie: Jede Funktion f : Z → R ist stetig.
Präsenzaufgabe 4:
Beweisen Sie, dass es eine reelle Zahl x gibt, welche die folgende Gleichung erfüllt:
x5 +
4
= 0.
1 + |x| + x2
Hausübungen
Aufgabe 1: (2+2+2 Punkte)
Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x0 , in denen die Funktion f stetig ist.
a) f (x) = [x] ,
b) f (x) = [x] · (1 − x) ,
c) f (x) = x · (x − [x]) .
Aufgabe 2: (3+3 Punkte)
Der Graph der Funktion f : R → R mit f (x) = x für x ∈ Q und f (x) = 0 für x ∈ R \ Q ist sicherlich nicht mit einem
Stift zu zeichnen ohne abzusetzen, ja sogar überhaupt nicht zu zeichnen. Heißt dies, dass f für alle x ∈ R unstetig
ist? Falls nein, bestimmen sie alle Stellen, in denen f stetig ist.
Wir wollen nun diese Fragestellungen auf zwei Arten beanworten und dabei den Nachweis von Stetigkeit/Unstetigkeit
per Folgenstetigkeit und per ε-δ-Kriterium vergleichen:
1
a) Zunächst widmen wir uns der klassischen ε-δ-Definition: Anschaulich gesprochen bedeutet sie:
Eine Funktion f : D ⊆ R → R ist an der Stelle x0 ∈ D genau dann stetig, wenn – egal wie klein „winzig“
sein soll – eine hinreichend kleine Änderung des Arguments, d.h. für x mit |x − x0 | klein genug, eine winzige
Änderung des Funktionswertes bewirkt, also |f (x) − f (x0 )| dann winzig ist.
D.h. für jedes beliebige ε > 0 existiert eine kleine Umgebung von x0 , gegeben durch ein δ > 0, sodass für alle
x ∈ D mit |x − x0 | < δ auch |f (x) − f (x0 )| < ε gilt.
(Hier machen Sie sich bewusst, dass |x − x0 | < δ nichts anderes bedeutet als x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).)
Untersuchen Sie nun f für ein irrationales x0 , also x0 ∈ R \ Q: Geben Sie sich ein beliebiges ε > 0 vor und
finden Sie ein δ > 0 derart, dass alle rationalen und alle irrationalen (Fallunterscheidung!) x mit |x − x0 | < δ
dann |f (x) − f (x0 )| < ε erfüllen oder zeigen Sie, dass es kein solches δ > 0 geben kann.
Analog führen Sie den Nachweis für rationale x.
Hinweis: Auch im letzten Schritt werden Sie wahrscheinlich eine weitere Falluntescheidung benötigen. Machen
Sie sich gegebenenfalls eine „Skizze“ des Graphen.
b) Eine Funktion f : D ⊆ R → R ist an der Stelle x0 ∈ D genau dann stetig, wenn gilt: Immer dann, wenn sich
eine Folge in D der Stelle x0 annähert, nähert sich auch die Folge des zugehörigen Punktes auf dem Graphen
von f . Verdeutlichen Sie sich dies in einer Zeichnung.
Sei nun x0 ∈ R. Betrachten Sie nun eine rationale Folge (an ) und eine irrationale Folge mit limn→∞ an =
limn→∞ bn = x0 . Warum muss es beide Folgen geben? Bestimmen Sie nun f (an ) und f (bn ) für n ∈ N. Für
welche x0 können Sie so die Unstetigkeit von f nachweisen? Für die Übrigen – reichen diese zwei Folgen für den
Nachweis der Stetigkeit? Falls nein, wie können Sie die bisherigen Ergebnisse dennoch nutzen, um Stetigkeit
nachzuweisen?
Aufgabe 3: (6 Punkte)
Sei h : R → R stetig und sei h(x0 ) > 0. Zeigen Sie: Es gibt eine Zahl δ > 0, sodass h(x) > 0 für alle x ∈ (x0 −δ, x0 +δ)
gilt.
Aufgabe 4: (6 Punkte)
Sei f : D ⊆ R → R mit D nichtleer, kompakt eine stetige Funktion. Beweisen Sie: Das Infimum einer Menge von
Nullstellen von f ist selbst wieder Nullstelle von f .
Aufgabe 5: (3+3 Punkte)
Seien (pn ), (qn ) Folgen mit pn ∈ Z, qn ∈ N und limn→∞
pn
qn
=a∈R\Q
a) Zeigen Sie: ( q1n ) ist eine Nullfolge.
Hinweis: Betrachten Sei eine beliebige Teilfolge (qnk ) von (qn ) und nehmen Sie ihre Beschränktheit an. Nun
überlegen Sie, wie viele unterschiedliche Folgenglieder pqkk sich in einer festen Umgebung von a befinden können
und leiten daraus einen Widerspruch her.
b) Stellen Sie eine Abbildung f : R → R auf, die a) ausnutzend, per Folgenstetigkeit die Stetigkeit in den irrationalen Zahlen gewährleistet, aber in allen rationalen Zahlen unstetig ist. Hierzu geben Sie jeweils für die . . .
geeignete Ausdrücke an:


 . . . für x ∈ Q \ {0}
f (x) = . . . für x ∈ R \ Q


1
für x = 0
Abgabe: Bis Mittwoch, 22.01.2014, 18 Uhr, im Übungskasten im Foyer des WSC. Bitte benutzen Sie
für alle Hausaufgaben ausschließlich weißes Blankopapier, einseitig beschriftet in blau oder schwarz,
durchgehend nummeriert und links oben getackert. Bitte verwenden Sie keine Hefter, Ordner oder
Klarsichthüllen. Achten Sie auf Ihre Handschrift und Leserlichkeit. Für viele von Ihnen könnte es
sinnvoll sein mit Füller zu schreiben. Pro Hausübung gibt es 3 Zusatzpunkte für Ordnung, Handschrift
und Leserlichkeit.
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