Analysis 1 (WS 2015/16) — Blatt 6

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dr. Marco Falconi
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Übung: 26./27. Nov. 2015
Analysis 1 (WS 2015/16) — Blatt 6
Nous sommes Paris.
Aufgaben zur schriftlichen Abgabe in der Übung am 26./27. Nov. 2015:
6.1. (a) Sei
an :=
(−1)n + cos2 (n)
√
n
für alle n ∈ N.
Zeigen Sie, dass an → 0 für n → ∞. Finden Sie außerdem N1 , N2 ∈ N so, dass
(i) |an | < 0,1 für alle n ≥ N1 ;
(ii) |an | < 0,001 für alle n ≥ N2 .
Hinweis: | cos(x)| ≤ 1 für alle x ∈ R.
(b) Beweisen Sie für alle z, w ∈ C und n ∈ N die Formel
z n − wn = (z − w)
n−1
X
z ` wn−`−1 .
`=0
n
X
1
6.2. Sei sn =
und sei e = lim sn die Euler’sche Zahl.
n→∞
k!
k=0
(a) Zeigen Sie, dass |e − sn | = limm→∞ |sm − sn | und
|e − sn | ≤
1
n
für alle n ≥ 1.
(b) Zeigen Sie, dass
1
1
1
≤
− 2
2
k!
(k − 1)
k
für alle k ≥ 4.
(c) Folgern Sie aus (b):
|e − sn | ≤
1
n2
für alle n ≥ 4.
Votieraufgaben:
6.3. Untersuchen Sie nachstehende Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenwert.
n
√
n n
i
(d)
a
=
3 + 4n + 5n ;
n
(a) zn =
;
2
n
(e) bn = √
;
n2 + n
(b) wn = cos(n) + i sin(n);
√
n
2n
(f ) cn = √
√ .
(c) xn =
;
n+1− n
n!
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Dr. James Kennedy, Dr. Marco Falconi
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Übung: 26./27. Nov. 2015
6.4. Sei c > 1 eine feste reelle Zahl. Die Folge (an )n∈N sei rekursiv definiert durch
a1 := 1,
an+1 =
√
can
für n ≥ 1.
(a) Zeigen Sie, dass nur die Zahlen c und 0 als Grenzwert der Folge (an )n∈N in Frage kommen.
Hinweis: Nehmen Sie an, dass limn→∞ an existiert und verwenden Sie Aufg. 5.1.
(b) Zeigen Sie, dass an ≤ c für alle n ∈ N und untersuchen Sie die Folge (an )n∈N auf Monotonie.
(c) Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (an )n∈N und bestimmen Sie limn→∞ an .
6.5. In dieser Aufgabe betrachten wir die Rekursionsgleichung
xn+1 = xn + xn−1 .
(1)
(a) Finden Sie alle λ ∈ R, für welche xn = λn die Gleichung (1) erfüllt.
(b) Bestimmen Sie Zahlen λ+ , λ− , a, b ∈ R, sodass
xn := a(λ+ )n + b(λ− )n
die Gleichung (1) zusammen mit den Anfangsbedingungen x0 = 1, x1 = 1 erfüllt.
√
1
=
(1
+
5) gilt.
(c) Zeigen Sie, dass für die Folge (xn )n∈N aus (b) limn→∞ xxn+1
2
n
√
6.6. Seien x0 = 1, x1 = 1, xn+1 = xn + xn−1 die Fibonacci-Zahlen und sei q = 21 (1 + 5) ∈ R
das Verhältnis des goldenen Schnittes, d.h. 0 < q = 1 + 1q . Zeigen Sie ohne Verwendung von
Aufg. 6.5, dass
xn+1
1 1
für alle n ≥ 1.
xn − q = xn q n+1
Inbesondere gilt limn→∞ xxn+1
= q.
n
xn+1
Hinweis: Für qn+1 := xn gilt qn+1 = 1 +
q = 1 + 1q .
1
qn .
Vergleichen Sie diese Rekursionsbeziehung mit
Zusatzaufgaben:
6.7. Melden Sie sich bis zum 10.12.2015 zur Prüfung an! (Nach dem 10.12.2015 ist keine Anmeldung mehr möglich, man kann aber bis 7 Tage vor der Prüfung ohne Angabe eines Grundes
zurücktreten.) Informationen finden Sie auch unter
http://www.uni-stuttgart.de/pruefungsamt/studinfos.html