Mathematik für Informatiker 1 - ¨Ubungsblatt 6

Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2015/16
27. November 2015
- Mathematik für Informatiker 1 Übungsblatt 6
Hinweis: Die aktive Teilnahme an/in den Übungen ist Zulassungskriterium zur Klausur.
Das reine Abgeben der Lösungen zählt nicht als aktive Teilnahme!
Aufgabe 1 (4 Punkte).
Wir betrachten die reellen Folgen (fn ) und (Fn ), die wie folgt rekursiv definiert sind:
1. f0 =
3
2
√
2. fn+1 =
3
p
√
1. F0 = 3 3
2. Fn+1 =
fn Fn+1
2fn Fn
fn +Fn
Die Folgen (Fn ) und (fn ) beschreiben die Flächeninhalte eines dem Einheitskreis einbeschriebenen bzw. umbeschriebenen regelmäßigen 3 · 2n -Ecks. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(a) Für alle n ∈ N gilt: 0 < fn < Fn
(b) Die Folge (fn ) ist streng monoton steigend, die Folge (Fn ) ist streng monoton fallend.
(c) Die Folge δn := Fn − fn ist eine Nullfolge.
(d) Folgern Sie aus (a) - (c), dass (Fn ) und (fn ) den gleichen Grenzwert haben.
Hinweis: Für die Aussage (c) könnte die folgende Ungleichung helfen, die, sofern Sie sie benutzen, noch bewiesen
werden müsste:
2xy
x+y
≤
∀x, y ∈ R>0
x+y
2
Aufgabe 2 (4 Punkte).
In der Vorlesung wurden die Grenzwertsätze für konvergente Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N bewiesen. In dieser Aufgabe
geht es darum die Grenzwertsätze für konvergente und bestimmt divergente Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N zu beweisen.
Eine Folge (an )n∈N heißt bestimmt divergent gegen ∞ (bzw. −∞), wenn ∀K ∈ R∃n0 ∈ N∀n ≥ n0 : an > K (bzw.
an < K). Im Folgenden sei a ∈ R \ {0}. Wenn (an )n∈N eine Folge in R ist mit an ≥ 0 ∀n ∈ N und limn→∞ an = 0,
so schreiben wir limn→∞ an =: 0+ , was bedeutet, dass sich (an ) der 0 durch den positiven Bereich R≥0 annähert.
0− wird analog definiert. Wir verwenden desweiteren folgende Konventionen/Rechenregeln:
1. a + ∞ := ∞ und a − ∞ := −∞,
2. a · ∞ := ∞, a · −∞ := −∞,
a
0+
:= ∞,
3. a · ∞ := −∞, a · −∞ := ∞,
a
0+
:= −∞,
4.
a
∞
:= 0 und
5.
∞
0+
:= ∞,
∞
0−
a
−∞
a
0−
:= −∞, falls a > 0,
a
0−
:= ∞, falls a < 0,
:= 0,
:= −∞,
−∞
0+
:= −∞ und
−∞
0−
:= ∞.
Zeigen Sie für reelle Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N die folgenden Behauptungen:
(a) Wenn limn→∞ an = a > 0 and limn→∞ bn = 0+ mit bn > 0, dann gilt: limn→∞
(b) Wenn limn→∞ an = a und limn→∞ bn = ∞, dann gilt: limn→∞
an
bn
=
an
bn
=
a
0+ .
a
∞.
(c) Fertigen Sie eine Liste an, die alle weiteren Fälle (zusätzlich zu (a) und (b)) beinhaltet. Sie brauchen die
Aussagen nicht zu beweisen.
Abgabe: Abgabe in 2er-Gruppen, bis Freitag, den 4. Dezember 2015, 10:00 Uhr in die Briefkästen im Erdgeschoss
vom Hörsaal-Gebäude E2 5.
Universität des Saarlandes
Hannah Markwig
Christian Jürgens
Wintersemester 2015/16
27. November 2015
- Mathematik für Informatiker 1 Übungsblatt 6
Aufgabe 3 (6 Punkte).
Seien w, z ∈ C, α ∈ R und (an )n∈N eine Folge komplexer Zahlen.
(a) Sei z = 2 + 3i, w = −π − i. Berechnen Sie Re(z), Im(z), z −1 und |z · w|.
(b) Seien sowohl w ∈ C als auch α ∈ R fest gewählt. Bestimmen Sie die Teilmengen der komplexen Zahlen C, die
durch folgende (Un-)Gleichungen (in der Variablen z) beschrieben werden:
(b.1) Re(w̄z) + α = 0
(b.2) |z|2 + 2Re(w̄z) + α ≤ 0
(c) Beweisen Sie: limn→∞ an = a
⇐⇒
limn→∞ Re(an ) = Re(a) und limn→∞ Im(an ) = Im(a)
Aufgabe 4 (2 Punkte).
Sei b ≥ 2 eine natürliche Zahl. Ein b-adischer Bruch∗ ist eine Reihe der Form
±
∞
X
ak b−k
(1)
k=−n
mit n ≥ 0 und ak ∈ Zb = Z/bZ. Stellen Sie sich eine Reihe zunächst als Summe mit unendlich vielen Summanden
vor. Der Begriff Reihe wird demnächst in der Vorlesung exakt definiert. Man bezeichnet b als Basis des b-adischen
Bruchs. Wir können (1) auch mit der Menge der Koeffizienten identifizieren:
(±a−n a−n+1 . . . a−1 a0 .a1 a2 . . .)b
(2)
wobei hier der Punkt (“.”) die Grenze zwischen Koeffizienten von Termen mit positiven und negativen Potenzen von
b markiert und b die Basis ist. Falls ∃n0 : ak = 0 ∀k ≥ n0 , so lassen wir diese einfach weg und erhalten eine
endliche b-adische Darstellung. Beispiele für b-adische Zahlensysteme sind die Dezimalzahlen (zur Basis b = 10) und
Binärzahlen (zur Basis b = 2).
Aufgabe: Berechnen Sie die Darstellung von x = (3255.)7 zur Basis 3.
Zur Information: allgemeiner gilt sogar der folgende
Satz 5. Jeder b-adische Bruch stellt eine Cauchyfolge dar und konvergiert somit gegen eine reelle Zahl. Umgekehrt
lässt sich jede reelle Zahl als b-adischer Bruch darstellen, wobei diese Darstellung nicht notwendigerweise eindeutig ist.
Interessant ist beispielsweise, dass reelle Zahlen (z.B. π) beliebig genau durch rationale Zahlen approximiert werden
können, denn wenn man den b-adischen Bruch ab einem n0 ∈ N abschneidet, d.h. die folgenden an mit n ≥ n0
vernachlässigt/vergisst, so erhält man eine rationale Zahl.
∗ Forster,
Otto, Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen, 5.
Vieweg+Teuber, Wiesbaden 1999.
Auflage, Grundkurs Mathematik,
Abgabe: Abgabe in 2er-Gruppen, bis Freitag, den 4. Dezember 2015, 10:00 Uhr in die Briefkästen im Erdgeschoss
vom Hörsaal-Gebäude E2 5.