Analysis 1

06.11.2014
Prof. Dr. Tobias Lamm
Dr. Simon Blatt
Analysis 1
3. Übungsblatt
Aufgabe 1
(K, 4 Punkte)
Finden Sie je ein Beispiel für relle Folgen (an )n∈N , (bn )n∈N mit limn→∞ an = 0 und
limn→∞ bn = +∞ mit der Eigenschaft
1. limn→∞ an bn = 0;
2. limn→∞ an bn = +∞
3. limn→∞ an bn = x für x ∈ R gegeben
4. die Folge (an bn )n∈N besitzt keinen Grenzwert.
Aufgabe 2
Untersuchen Sie die folgenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. ihren Grenzwert.
√
√
1. an = n + q − n für eine reelle Zahl q > 0;
√
2. bn = n an + bn + cn mit reellen Zahlen a ≥ b ≥ c ≥ 0;
√
3. cn = n n.
Hinweis zu 3: Zeigen Sie zuerst, dass für alle n ∈ N und x ≥ 0 gilt
( )
n 2
n
(1 + x) ≥
x .
2
und wählen Sie dann x ≥ 0 geschickt.
Aufgabe 3
(K, 4 Punkte)
Sei (an )n∈N eine Folge positiver reeller Zahlen, d.h. an > 0. Weiter gelte limn→∞
a ≥ 0. Zeigen Sie nun
√
1. limn→∞ n an = a.
√
n
2. Folgern Sie nun aus 1., dass limn→∞ n nn! = e.
an+1
an
=
Aufgabe 4
Zeigen Sie durch eine geometrische Überlegung, dass in einem regelmäßigen Fünfeck mit
Seitenlänge S und Länge der Diagonalen D gilt
D
S
=
.
S
D−S
Der Quotient
ist.
D
S
= σ wird als Goldener Schnitt bezeichnet. Beweisen Sie, dass σ irrational
1
Aufgabe 5
(K, 4 Punkte)
Die Folge des Kettenbruches
1
1+
1
1+
1+
ist rekursiv definiert durch
bn+1 = 1 +
1
1 + ···
1
mit b1 = 1,
bn
die Folge der Fibonacci Zahlen durch
fn+1 = fn + fn−1 mit f2 = 1, f1 = 1.
Zeigen Sie, dass mit σ = 1 +
1. limn→∞ bn = σ;
fn
2. limn→∞ fn+1
= σ1 .
√
3. limn→∞ n fn = σ.
1
σ
aus Aufgabe 4 gilt
Hinweis zu 1: Beweisen Sie |bn − σ| ≤
1
σn
für alle n ∈ N.
Abgabe: Donnerstag, 13.11.2014, 11:30 Uhr.
Übungsblatt
Die K-Aufgaben können zur Korrektur abgegeben werden. Werfen Sie bitte Ihre bearbeiteten Aufgaben in die Abgabekästen im 3. Stock des Allianzgebäudes (vom Fahrstuhl
geradeaus auf der linken Seite, neben Raum 3A-03).
Die Rückgabe der korrigierten Übungsblätter sowie die Bereitstellung von Lösungsvorschlägen erfolgt in den Tutorien. Zusätzlich werden Lösungsvorschläge für die jeweiligen
Übungsblätter auf
http://www.math.kit.edu/iana1/lehre/ana12014w/
zum Download bereitgestellt. Die Rückgabe der korrigierten Übungsblätter sowie die Bereitstellung von Lösungsvorschlägen erfolgt in den Tutorien. Zusätzlich werden Lösungsvorschläge für die jeweiligen Übungsblätter auf der oben genannten Website zum Download
bereitgestellt.
Übungsschein
Jede K-Aufgabe wird mit etwa 4 Punkten bewertet. Einen Übungsschein erhält, wer
• auf den ersten 7 Übungsblättern mindestens 50% der möglichen Punkte erzielt und
• auf den zweiten 7 Übungsblättern mindestens 50% der möglichen Punkte erzielt.
Der Übungsschein wird in der Regel nicht benotet. Damit der Übungsschein korrekt verbucht werden kann, müssen Sie sich im Laufe des Semesters im QISPOS für den Schein
anmelden (unabhängig von der Anmeldung zum Tutorium).
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