“Dynamische Systeme und Operatoralgebren” ¨Ubungsblatt 5

Dr. T. Timmermann
[email protected]
“Dynamische Systeme und Operatoralgebren”
Übungsblatt 5
Besprechung am 17.11.2010
Aufgabe 1. Welche der folgenden dynamischen Systeme sind schwach mischend?
(a) Irrationale Rotationen des Kreises (Beispiel 2.5);
(b) Die Abbildung T : [0, 1) → [0, 1), x 7→ mx mod 1, von Blatt 3, Aufgabe 1;
(c) Die Abbildung T : Rn /Zn → Rn /Zn , x 7→ AT x, wobei A ∈ GLn (Z), von
Blatt 4, Aufgabe 4.
(Hinweis: Verwende Satz 2.23.)
Aufgabe 2. Seien (X, µ), (Y, ν) Wahrscheinlichkeitsräume, T : X → X und
S : Y → Y maßerhaltend sowie (X, µ, T ) und (Y, ν, S) schwach mischend.
(a) Zeige: Sind A1 , B1 ⊆ X, A2 , B2 ⊆ Y messbar und A = A1 ×A2 , B = B1 ×B2 ,
so gilt
n−1
1X
|(µ ⊗ ν)((T × S)−k (A) ∩ B) − (µ ⊗ ν)(A)(µ ⊗ ν)(B)| = 0.
lim
n n
k=0
(b) Zeige: (X × Y, µ ⊗ ν, T × S) ist schwach mischend. (Hinweis: Verwende, dass
jede messbare Teilmenge von X × Y durch disjunkte Vereinigungen solcher
Produkt-Mengen im Maß approximiert werden kann.)
(c) Gilt analog: (X, µ, T ), (Y, ν, S) mischend ⇒ (X × Y, µ ⊗ ν, T × S) mischend?
Aufgabe 3. Sei (X, µ) ein Wahrscheinlichkeitsraum, T : X → X maßerhaltend
und (X × X, µ ⊗ µ, T × T ) ergodisch. Zeige:
P
n→∞
−k
(A) ∩ B) −−−→ µ(A)µ(B) für alle messbaren A, B ⊆ X.
(a) n1 n−1
k=0 µ(T
P
n→∞
−k
(b) n1 n−1
(A) ∩ B)2 −−−→ µ(A)2 µ(B)2 für alle messbaren A, B ⊆ X.
k=0 µ(T
P
n→∞
−k
(c) n1 n−1
(A) ∩ B) − µ(A)µ(B))2 −−−→ 0 für alle messbaren A, B ⊆ X.
k=0 (µ(T
(d) (X, µ, T ) ist schwach mischend.
Verwende dazu ohne Beweis die Äquivalenz folgender Aussagen für beschränkte Folgen reeller Zahlen (αn )n :
P
i) limn n1 n−1
k=0 αk = 0;
P
n−1
ii) limn n1 k=0 αk2 = 0;
iii) Es gibt J ⊆ N mit limn n1 |J ∩ {0, . . . , n − 1}| = 0 und limn∈N\J |αn | = 0.
1