A Analysis I - TU Darmstadt/Mathematik

A
Analysis I
Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. Linus Kramer
Mapundi Banda
Dr. Harald Biller
18./19. November 2003
für Inf, WInf
WS 2003/2004
4. Übungsblatt
Gruppenübungen
G10 Die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N seien durch an =
ben.
n
n+1
und bn = (−1)n n gege-
(a) Tragen Sie die ersten zehn Folgenglieder jeweils auf einem Zahlenstrahl auf.
Zeichnen Sie in je ein Koordinatensystem die Mengen {(n, an )| n ≤ 10} und
{(n, bn )| n ≤ 10} ein.
(b) Sind die Folgen (an )n∈N und (bn )n∈N beschränkt?
(c) Zeigen Sie, dass die Folge (an )n∈N gegen ein Zahl a ∈ R konvergiert. Raten Sie
2
und für beliebiges ε > 0 je ein n0 ∈ N
dazu a, und geben Sie für ε = 52 , ε = 1000
so an, daß für jedes n ≥ n0 die Ungleichung |a − an | < ε gilt. Veranschaulichen
Sie sich die Konvergenz der Folge (an )n∈N in ihren Zeichnungen.
G11 Konvergenz von Folgen.
(a) Bestimmen Sie, wenn möglich, die Grenzwerte folgender Folgen:
n 1
3
2+
,
(i) (an )n∈N+ mit an := −
2
n
3
3
2n + 3n
,
(ii) (bn )n∈N+ mit bn :=
2n + n3
n
X
(iii) (cn )n∈N mit cn :=
q k mit q ∈ R und |q| < 1 ,
k=0
n
X
(iv) (dn )n∈N+ mit dn :=
k=1
k
.
n2
(b) Sei an eine Folge mit limn→∞ an = a. Zeigen Sie: auch |an | konvergiert, und es
gilt limn→∞ |an | = |a|.
G12 Konvergente und divergente Folgen:
Eine Folge reeller Zahlen heißt divergent, wenn sie gegen keine reelle Zahl konvergiert.
Wahr oder falsch?
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
Jede konvergente Folge ist beschränkt.
Jede beschränkte Folge ist konvergent.
Es gibt Folgen, die gleichzeitig divergieren und konvergieren.
Jede divergente Folge ist unbeschränkt.
Jede nach oben beschränkte Folge hat ein größtes Folgenglied.
Jede konvergente Folge hat ein größtes Folgenglied.
Sind (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen, so ist auch (an · bn )n∈N eine
konvergente Folge.
(h) Sind (an )n∈N und (bn )n∈N konvergente Folgen mit bn 6= 0 für alle n ∈ N, so ist
auch ( abnn )n∈N eine konvergente Folge.
Hausübungen
n
H10 Für a, b ∈ R und n ∈ N gilt die binomische Formel: (a + b) =
n X
n
k=0
k
an−k bk .
Beweisen Sie die folgenden Eigenschaften der Binomial-Koeffizienten:
n X
n
(a)
= 2n ;
k
k=0
n X
n
(b)
(−1)k = 0 für n ≥ 1;
k
k=0
n
n
n
n
(c)
+2
+3
+ ··· + n
= n2n−1 .
1
2
3
n
(Hinweis: Stellen Sie die Binomial-Koeffizienten mit Fakultäten dar).
1
1
1
+
+ ··· +
).
n→∞ 1 · 2
2·3
n · (n + 1)
1
1
1
Hinweis:
= −
.
k(k + 1)
k k+1
(b) Arithmetische Folgen.
Eine Folge (an )n∈N heißt arithmetische Folge, wenn es eine Zahl d mit an =
an−1 + d für alle n ≥ 2 gibt.
Zeigen Sie: Eine Folge ist genau dann eine arithmetische Folge, wenn jedes Glied
das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder ist, d.h. wenn gilt
H11 (a) Berechnen Sie lim (
an =
1
(an−1 + an+1 )
2
für alle n ≥ 2 .
H12 (a) Beispiele konvergenter oder divergenter Folgen.
Eine Folge (an )n∈N reeller Zahlen heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw.
−∞), wenn es zu jedem K ∈ R ein N ∈ N gibt, so daß an > K (bzw. an < K)
für alle n ≥ N . Man schreibt limn→∞ an = ∞ (bzw. limn→∞ an = −∞). Geben
Sie Beispiele reeller Zahlenfolgen (an )n∈N und (bn )n∈N an mit limn→∞ an = ∞
und limn→∞ bn = 0, so daß die folgenden Fälle eintreten:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
limn→∞ an bn = ∞ ,
limn→∞ an bn = −∞ ,
limn→∞ an bn = c, wobei c eine beliebige vorgegebene reelle Zahl ist,
(an bn )n∈N beschränkt, jedoch nicht konvergent.
(b) Sei (an )n∈N eine Folge
mit an 6= 0 für alle n ∈ N. Mit einem q, 0 < q < 1, und
an+1 ≤ q für alle n ≥ N . Beweisen Sie limn→∞ an = 0.
einem N ∈ N gelte an