¨Ubung zur Analysis 1 Blatt 4 Aufgabe 1. Sei a ∈ R positiv und √ n

Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
Übung zur Analysis 1
Blatt 4
Abgabe bis Do, 13.11., 12 Uhr
Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der Übung
Aufgaben 2-4 zur selbständigen Bearbeitung
Aufgabe 1. Sei a ∈ R positiv und
q
√
√
√
√
an := n + a − n,
bn := n + n − n,
cn :=
p
√
n + n/a − n
für alle n ∈ N. Zeigen Sie:
1
lim cn = ∞.
lim bn = ,
n→∞
n→∞
n→∞
2
√
√
(Hinweis: Erweitere jeweils mit x + y für geeignete x und y.)
lim an = 0,
Aufgabe 2. Seien (an )n , (bn )n , (cn )n Folgen reeller Zahlen.
(a) Sei limn→∞ an = 0 und |bn | ≤ C für ein C ≥ 0 und alle n ∈ N. Zeigen Sie,
dass dann limn→∞ an bn = 0.
(b) Zeigen Sie: limn→∞ an = 0 genau dann, wenn limn→∞ |an | = 0.
(c) Sei limn→∞ an = limn→∞ cn und an ≤ bn ≤ cn für alle n ∈ N. Zeigen
Sie, dass dann limn→∞ bn = limn→∞ an . (Diese Aussage nennt man das
Sandwich-Lemma).
Aufgabe 3. Es sei (an )n eine Folge reeller Zahlen und a ∈ R. Es sei (n )n eine
Nullfolge mit n > 0. Ferner sei (cn )n eine Folge, welche bestimmt gegen +∞
divergiert. Man nehme an: für jedes k ∈ N existiere ein m ∈ N so dass für alle
n ∈ N mit n ≥ cm gilt: |a − an | ≤ k . Zeigen Sie, dass an gegen a konvergiert.
Aufgabe 4.
(a) Sei K ein Körper. Zeigen Sie, dass dann
k
k
x − y = (x − y)
k−1
X
xl y k−1−l
für alle x, y ∈ K, k ∈ N.
l=0
(b) Sei (xn )n eine konvergente Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit Grenzwert
y. Zeigen Sie, dass dann ein n0 ∈ N existiert mit
k−1
X
xln y k−1−l ≥ k
l=0
y k−1
2
für alle n ≥ n0 und alle k ∈ N.
(c) Sei (an )n eine konvergente Folge nichtnegativer reeller Zahlen mit Grenzw√
√
ert a. Zeigen Sie, dass dann für jedes k ∈ N die Folge ( k an )n gegen k a
konvergiert.
(Hinweis: unterscheiden Sie die Fälle a = 0 und a > 0. Im ersten Fall
argumentiert man direkt; im zweiten Fall benutze man (a) und (b).)
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Prof. Dr. J. Ebert
PD Dr. T. Timmermann
√
(a) Sei a ∈ R positiv. Zeigen Sie: limn→∞ n a = 1.
√
(b) Zeigen Sie: limn→∞ n n = 1.
√
(Hinweise: für beide Aussagen ist die Umformung x = (1 + ( n x − 1))n hilfreich.
Für (a) nehme man zunächst a ≥ 1 an und benutze die Bernoulli-Ungleichung.
Der Fall a < 1 folgt hieraus. Für (b): binomischer Lehrsatz.)
Zusatzaufgabe 5.
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