Blatt 2 Fallstudien der mathematischen Modellbildung [MA2902]

TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2012/2013
Prof. Dr. Silke Rolles
Dipl.-Math. Christian Döbler
Blatt 2
Fallstudien der mathematischen Modellbildung
[MA2902]
Ausgabe: 22. Oktober 2012
Die Aufgaben werden in den Übungen in der Woche vom 22. bis zum 26.10.2012
besprochen.
Aufgabe 1.
(a) Die Positionen der Äpfel, die an einem bestimmten Tag von einem Apfelbaum
auf die Wiese fallen, seien modelliert durch einen Poisson-Prozess auf der zweidimensionalen Kreisscheibe S := B3 (0) = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 ≤ 9}, versehen mit der zugehörigen Borelschen σ-Algebra S. Die Intensität des Prozesses
werde gegeben durch die Funktion % : S → [0, ∞) mit %(x, y) := 9 − x2 − y 2 .
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass an diesem Tag insgesamt 5 Äpfel
auf die Wiese fallen, so dass genau 3 in der Kreisscheibe B1 (0) und genau einer
auf der Seite rechts von dem Baum, der im Nullpunkt stehe, landen.
(b) Sei Π ein Poisson-Prozess auf dem messbaren Raum (S, S) mit Intensitätsmaß µ. Seien A, B, C beliebige Mengen aus S. Betrachten Sie die 8 nicht
notwendig nichtleeren, paarweise disjunkten Mengen M1 := A ∩ B ∩ C, M2 :=
A ∩ B ∩ C c , M3 := A ∩ B c ∩ C, . . . , M8 := Ac ∩ B c ∩ C c . Zeigen Sie, dass
es eine 3 × 8-Matrix M , die nur Einsen und Nullen enthält, gibt, so dass
die gemeinsame
N8 Verteilung von N (A), N (B) und N (C) das Bildmaß des Produktmaßes
j=1 P oisson(µ(Mj )) unter der von der Matrix M induzierten
linearen Abbildung ϕM : R8 → R3 ist. Insbesondere ist also die gemeinsame
Verteilung von N (A), N (B) und N (C) durch die gemeinsame Verteilung von
N (M1 ), . . . , N (M8 ) festgelegt.
(c) Es sei Π ein homogener Poisson-Prozess auf (Rd , B(Rd )) mit Intensität % > 0.
Weiter sei ϕ : Rd → Rd eine Bewegung, d.h. es gibt eine orthogonale d × dMatrix U und einen Vektor b ∈ Rd , so dass ϕ(x) = U x + b ist. Zeigen Sie, dass
die Verteilung von Π bewegungsinvariant ist, d.h. für beliebige A, B, C ∈ S
haben (N (A), N (B), N (C)) und (N (ϕ(A)), N (ϕ(B)), N (ϕ(C))) dieselbe Verteilung.
1
Bemerkung/Hinweis: Analoge Aussagen lassen sich auch im Falle endlich vieler
Mengen A1 , . . . , An zeigen. Für (c) verwende man die Aussage von (b) sowie die
Bewegungsinvarianz des d-dimensionalen Lebesguemaßes.
Aufgabe 2. Sei n ≥ 1 eine natürliche Zahl. Bei einer Versicherungsgesellschaft
gehen Schadensmeldungen nur zu Zeitpunkten aus der diskreten Zeitmenge
(n)
Zn := { nk : k ∈ N} ein. Die Schadensfälle lassen sich durch eine Folge (Xk )k∈N
unabhängiger, Bernoulli(pn )-verteilter Zufallsvariablen modellieren, wobei
(n)
Xk = 1 bedeute, dass zum Zeitpunkt k/n ein Schaden gemeldet wird. Wir nehmen an, dass die pn ∈ (0, 1) die Bedingung limn→∞ npn = λ ∈ (0, ∞) erfüllen. Für
(n)
Intervalle I = (a, b] ⊆ (0, ∞) endlicher Länge bezeichne NI die Anzahl der ge(n)
(n)
meldeten Schäden im Zeitintervall I und weiter schreiben wir kurz Nt für N(0,t] .
Weiter definieren wir für k ∈ N den Zeitpunkt der k-ten Schadensmeldung durch
(n)
(n)
Tk := inf{t ∈ (0, ∞) : Nt ≥ k}. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
(n)
(a) Für ein Intervall I = (a, b] ⊆ (0, ∞) hat NI
Binomial(bnbc − bnac), pn )-Verteilung.
eine
(b) Für paarweise disjunkte Intervalle I1 , . . . , Ir sind die Zufallsvariablen
(n)
(n)
NI1 , . . . , NIr unabhängig.
(c) Für k ∈ N0 und ein Intervall I = (a, b] ⊆ (0, ∞) gilt
(n)
limn→∞ P (NI = k) = P oisson(λ(b − a))({k}).
(n)
(d) Für jedes t ≥ 0 gilt limn→∞ P (Tk ≤ t) = P (T ≤ t), wobei T eine
Gamma(k, λ)-verteilte Zufallsvariable mit Dichte
λk
tk−1 1(0,∞) (t) ist.
fT (t) = e−λt (k−1)!
Hinweis/Bemerkung: Für (a),(b) und (c) überlege man sich eine geeignete Dar(n)
(n)
stellung der Zufallsvariablen NI durch die Xk . Für Teil (d) sind evtl. die Äqui(n)
(n)
valenz Tk ≤ t ⇔ Nt ≥ k und Teil (c) nützlich. Diese Aufgabe liefert eine
weitere Motivation für die geforderten Eigenschaften eines Poisson-Prozesses im
eindimensionalen Fall.
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