Lévy-Prozesse Wintersemester 2016/17

Lévy-Prozesse
Wintersemester 2016/17
Mathias Trabs∗
Universität Hamburg
1. März 2017
Inhaltsverzeichnis
1 Definition und Beispiele
2
2 Charakterisierungen
2.1 Poisson-Zufallsmaße . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Lévy-Itô-Zerlegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Lévy-Khinchine-Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
10
16
3 Eigenschaften
3.1 Pfadeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Verteilungseigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Selbstähnlichkeit und stabile Verteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
18
21
25
A Appendix: Resultate aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
27
Literaturemfehlung
• Applebaum, D. (2009). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press,
Cambridge.
• Cont, R. und Tankov, P (2004). Financial Modelling With Jump Processes. Chapman&
Hall/CRC, London.
• Sato, K.-I. (1999). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. de Gruyter.
• Kallenberg, O. (2001). Foundations of Modern Probability. Springer, Berlin/ Heidelberg.
∗ Email:
[email protected]
1
1
Definition und Beispiele
Definition 1.1. Ein stochastischer Prozess X = (Xt , t > 0) mit Werten in Rd auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) heißt Lévy-Prozess, falls
(i) X0 = 0;
(ii) X unabhängige Zuwächse hat, d.h. für 0 = t0 < t1 < · · · < tn sind (Xti − Xti−1 )i=1,...,n
unabhängig;
d
(iii) X stationäre Zuwächse hat, d.h. für 0 < s < t gilt Bt − Bs = Bt−s ;
(iv) X stochastisch stetig ist, d.h. für alle ε > 0 und s > 0 gilt
lim P |Xt − Xs | > ε = 0;
t→s
(v) die Pfade t 7→ Xt (ω) für alle ω ∈ Ω rechtsstetig sind mit linken Grenzwerten (càdlàg).
Auf die Eigenschaft (v) kann auch verzichtet werden. Man kann zeigen, dass für jeden Prozess,
der (i)-(iv) erfüllt, eine càdlàg-Modifikation existiert [Sato, Theorem 11.5]. Zwei wichtige Beispiele
von Lévy-Prozessen sind bereits aus der Vorlesung “stochastische Prozesse” gut bekannt:
Beispiel 1.2. Folgende Prozesse sind Lévy-Prozesse (Definition/ stochastische Prozesse/ Übung
2
):
(i) Die standard Brownsche Bewegung B = (Bt , t > 0) (in R) ist definiert als stochastischer
Prozess mit den Eigenschaften
(a) B0 = 0;
(b) B hat unabhängig und stationäre Zuwächse;
(c) Bt ∼ N (0, t) für alle t > 0;
(d) B hat f.s. stetige Pfade.
Sind (Bk )k=1,...,d unabhängige standard Brownsche Bewegungen, so ist der Rd -wertige Prozess B := (B1 , . . . , Bd )> eine d-dimensionale standard Brownsche Bewegung und es gilt
Bt ∼ N (0, tEd ) für die Einheitsmatrix Ed ∈ Rd .
(ii) Für λ > 0 seien (Sk )k>1 unabhängig
PnExp(λ)-verteilte Zufallsvariablen. Dann heißt N =
(Nt , t > 0) mit Nt = max{n ∈ N : k=1 Sk 6 t} Poisson-Prozess mit Intensität λ. Insbesondere besitzt N unabhängige und stationäre Zuwächse und Nt ∼ P oiss(λt), d.h.
P(Nt = k) =
(λt)k −λt
e ,
k!
k ∈ N0 .
Der Prozess
e = (N
et , t > 0) mit N
et := Nt − λt
N
heißt kompensierter Poisson-Prozess und ist ein Martingal bzgl. der natürlichen Filtration
(Ft )t>0 mit Ft = σ(Ns , s 6 t) von N :
et − N
es |Fs ] = E[Nt − Ns |Ns ] − λ(t − s) = E[Nt − Ns ] − λ(t − s) = 0.
E[N
(iii) Für einen Poisson-Prozess N = (Nt , t > 0) und eine Folge von unabhängigen und identisch
verteilten (u.i.v.) Zufallsvariablen (Zk )k>1 in Rd , die unabhängig von N sind, heißt
Yt :=
Nt
X
k=1
zusammengesetzter Poisson-Prozess.
2
Zk ,
t>0
(iv) Setzen wir die beiden Prozesse aus (i) und (iii) zusammen und addieren noch einen linearen
Drift erhalten wir sogenannte Sprungdiffusionsprozesse:
Xt = γt + Σ1/2 Bt + Yt ,
t > 0,
mit einem Driftparameter γ ∈ Rd , einer symmetrischen, positiv-semidefiniten Matrix Σ ∈
Rd×d und einem zusammengesetzen Poisson-Prozess Y in Rd .
Ist X ein Lévy-Prozess, so können wir ihn für jedes n ∈ N in
(n)
Xt = Y1
+ · · · + Yn(n)
zerlegen mit den u.i.v. Zufallsvariablen
(n)
Yk
:= Xtk/n − Xt(k−1)/n .
Die Randverteilungen eines Lévy-Prozesses erfüllen also folgende Eigenschaft:
Definition 1.3. Ein Wahrscheinlichkeitsmaß µ heißt unendlich teilbar, falls für jedes n ∈ N ein
Wahrscheinlichkeitsmaß ν (n) existiert, sodass
µ = |ν ∗ ·{z
· · ∗ ν} =: ν ∗n
n-mal
gilt. Eine Zufallsvariable X ∈ Rd heißt unendlich teilbar, falls ihre Verteilung µX unendlich teilbar
ist.
Wie wir bereits verwendet haben, ist eine Zufallsvariable X genau dann unendlich teilbar, wenn
d
(n)
(n)
(n)
(n)
für jedes n ∈ N u.i.v. Zufallsvariablen Y1 , . . . , Yn existieren, sodass X = Y1 + · · · + Yn . Man
kann umgekehrt zeigen, dass für jede unendlich teilbare Verteilung µ ein Lévy-Prozess X existiert
mit X1 ∼ µ. Wir haben also eine Bijektion zwischen der Menge der Lévy-Prozesse und der Menge
der unendlich teilbaren Verteilungen [Sato, Korollar 11.6].
Lemma 1.4. Sei µ ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit charakteristischer Funktion ϕ. Folgende Bedingungen sind äquivalent:
(i) µ ist unendlich teilbar.
(ii) Für jedes n ∈ N besitzt ϕ eine n-te Wurzel ϕ1/n , die selbst wieder eine charakteristische
Funktion ist.
Beweis. Folgt
direkt aus der Definition sowie F[ν ∗n ] = (Fν)n für die Fouriertransformation
R
ihu,xi
Fν(u) := Rd e
ν(dx) eines endlichen Maßes ν auf (Rd , BRd ).
Übung 1.5. Beweisen Sie: Die Summe zweier unabhängiger unendlich teilbarer Zufallsvariablen
ist wieder unendlich teilbar. Der schwache Grenzwert einer Folge unendlich teilbarer Verteilungen
ist ebenfalls unendlich teilbar.
Das vorherige Lemma weist bereits darauf hin, dass die charakteristische Funktion ein hilfreiches Werkzeug für das Studium von unendlich teilbaren Verteilungen und damit auch von LévyProzessen ist. Die charakteristische Funktionen der Randverteilungen von Lévy-Prozessen haben
eine sehr einfache Struktur.
Bemerkung 1.6. Wir wiederholen aus der komplexen Analysis, dass für jede stetige Funktion
ϕ : Rd → C mit ϕ(0) = 1 und ϕ(u) 6= 0 für alle u ∈ Rd eine stetige Funktion f : Rd → C mit
f (0) = 0 existiert, sodass ϕ(u) = ef (u) , u ∈ Rd (Stichwort distinguished logarthim, vgl. [Sato,
Lemma 7.6]).
3
Satz 1.7. Sei X = (Xt , t > 0) ein Lévy-Prozess in Rd . Dann existiert eine stetige Funktion
ψ : Rd → C, sodass
ϕXt (u) := E[eihu,Xt i ] = etψ(u) ,
für alle u ∈ Rd und alle t > 0 gilt. ψ heißt charakteristischer Exponent.
1/n
Beweis. Wie im obigen Lemma gilt für alle n ∈ N ϕX1 = ϕnX1/n also ϕX1/n = ϕX1 . Daher
m/n
ϕXm/n = ϕX1
für alle m, n ∈ N mit n 6= 0.
Die stochastische Stetigkeit von t 7→ Xt impliziert die Konvergenz Xs → Xt in Verteilung für
s → t und diese wiederum die punktweise Konvergenz ϕXs (u) → ϕXt (u) für alle u ∈ Rd und
s → t. Folglich ist die Abbildung t 7→ ϕXt (u) stetig.
Sei nun u ∈ Rd beliebig. Da ϕX0 (u) = 1 muss es aufgrund der Stetigkeit von t 7→ ϕXt (u)
ein kleines t0 ∈ Q+ geben mit 0 6= ϕXt0 (u) = ϕX1 (u)t0 . Folglich ist ϕX1 (u) 6= 0 für alle u ∈
Rd . Da charakteristische Funktionen immer stetig sind (dominierte Konvergenz), existiert nach
Bemerkung 1.6 eine stetige Funktion ψ : Rd → C mit ϕX1 (u) = eψ(u) . Dann gilt ϕXt (u) = ϕX1 (u)t
für t ∈ Q+ . Da Q in R dicht liegt, folgt aus der Stetigkeit in t die Behauptung für alle t > 0.
Beispiel 1.8.
(i) Betrachten wir den Diffusionsprozess X = (Xt , t > 0) mit Xt = γt + Σ1/2 Bt für eine ddimensionale Brownsche Bewegung B = (Bt , t > 0), einen linearen Drift γ ∈ Rd und eine
positiv-semidefinite, symmetrische (Kovarianz-)Matrix Σ ∈ Rd×d . Dann ist Xt ∼ N (t·γ, t·A)
ein d-dimensionaler Gaußscher Zufallsvektor mit der charakteristischen Funktion
1
ϕXt (u) := E[eihu,Xt i ] = exp − hu, tAui + ihtγ, ui
2
1
= exp t − hu, Aui + ihγ, ui , u ∈ Rd .
2
(ii) Die charakteristische Funktion von Nt ∼ P oiss(tλ) ist gegeben durch
ϕN (u) = exp tλ(eiu − 1) , u ∈ R.
PNt
(iii) Sei Xt := k=1
Zk , t > 0, ein zusammengesetzter Poisson-Prozess, wobei (Zk )k>1 u.i.v. Zufallsvariablen in Rd mit Verteilung ρ und N ein unabhängiger Poisson-Prozess mit Intensität
λ > 0 ist. Es gilt
Z
ϕXt (u) = exp t
(eihu,yi − 1)λρ(dy) ,
u ∈ Rd .
(1)
Rd
Beweis. Wir schreiben die charakteristische Funktion von Zi ∼ ρ als ϕZ . Durch Bedingen
auf Nt erhalten wir
Nt
hY
i
ϕXt (u) = E eihXt ,ui = E
E eihu,Zk i Nt
k=1
= E[ϕZ (u)Nt ] = e−λt
X (tλ)k
k!
k>0
= eλt(ϕZ (u)−1) = exp λt
Z
ϕZ (u)k
(eihu,yi − 1)ρ(dy) .
Rd
Das endliche Maß ν = λρ beschreibt die Sprungverteilung und -häufigkeit und wird Lévy-Maß
genannt. Gleichung (1) ist ein Spezialfall der Lévy-Khintchine-Formel (siehe Kapitel 2.3).
4
Übung 1.9. Folgern Sie aus Satz 1.7, dass für jede unendlich teilbare Verteilung µ ein stod
chastischer Prozess X = (Xt , t > 0) mit X1 = µ existiert, der die Eigenschaften (i)-(iv) eines
Lévy-Prozesses erfüllt.
Unter allen Lévy-Prozessen ist die Brownsche Bewegung mit Drift (und einer beliebige Kovarianzmatrix) der einzige stetige Prozess.
Satz 1.10. Ist X = (Xt , t > 0) ein stetiger Lévy-Prozess in Rd , dann existiert ein eindeutiger
Vektor γ ∈ Rd und eine eindeutige symmetrische, positiv-semidefinite Matrix Σ ∈ Rd×d , sodass
für eine standard Brownsche Bewegung B = (Bt , t > 0) gilt:
Xt = γt + Σ1/2 Bt
für alle t > 0.
Beweis. Wir fixieren 0 6 s < t und y ∈ Rd . Für jedes n ∈ N definieren wir tn,k := s + nk (t − s), k =
0, . . . , n, und zerlegen
hy, Xt − Xs i =
n
X
ξn,k
mit u.i.v. ξn,k := hy, Xtn,k − Xtn,k−1 i.
k=1
Wir wollen ein zentrales Grenzwertargument verwenden, um zu zeigen, dass hy, Xt − Xs i normal
verteilt ist. Allerdings wissen wir a priori nicht, dass ξn,k überhaupt endliche Momente besitzt.
Schritt 1: Da t 7→ Xt stetig ist, konvergiert maxk=1,...,n |ξn,k | → 0 f.s. für n → ∞. Für
ξ n,k = ξn,k 1{|ξn,k |61} gilt dann die Äquivalenz
n
X
d
ξn,k −→ ξ
⇐⇒
k=1
n
X
d
ξ n,k −→ ξ
k=1
für eine grenzverteilte Zufallsvariable ξ = hy, Xt − Xs i. Außerdem folgt aus der fast sicheren
P
Konvergenz auch maxk=1,...,n |ξn,k | → 0 und damit für jedes ε > 0:
P
n
Y
max |ξn,k | > ε = 1 −
1 − P(|ξn,k | > ε)
k=1,...,n
k=1
n
= 1 − 1 − P(|ξn,1 | > ε)
= 1 − exp n log(1 − P(|ξn,1 | > ε))
> 1 − exp(−nP(|ξn,1 | > ε)).
Pn
Da die linke Seite gegen 0 konvergiert, muss auch nP(|ξn,1
P| n> ε) = k=1 P(|ξn,k | > ε) → 0 gelten.
Schritt 2: Wir folgern als nächstes, dass cn := Var( k=1 ξ n,k ) beschränkt ist. Gäbe es eine
0
Teilfolge (cnm ) mit cnm → ∞ für m → ∞, dann würde mit unabhängigen Kopien ξ n,k von ξ n,k
c−1/2
nm
nm
X
0
d
(ξ nm ,k − ξ nm ,k ) −→ N (0, 2)
(2)
k=1
nach dem zentralen Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller gelten, da die Lindeberg-Bedingung erfüllt
ist (verwende Schritt 1):
∀ε > 0 :
lim c−1
nm
m→∞
nm
X
0
E (ξ nm ,k − ξ nm ,k )2 1{|ξ
k=1
6 lim 4c−1
nm
m→∞
nm
X
0
1/2
nm ,k −ξ nm ,k |>εcnm }
0
P(|ξ nm ,k − ξ nm ,k | > εc1/2
nm ) = 0.
k=1
Pnm
0
d
0
Da aber
für eine unabhängige Kopie ξ 0 von ξ, muss
k=1 (ξ nm ,k − ξ nm ,k ) → ξ + ξ
P
−1/2 Pnm
cnm
k=1 (ξ nm ,k − ξ nm ,k ) → 0 gelten, was (2) widerspricht.
5
Schritt 3: Da (cn ) beschränkt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge (cnm )m mit Grenzwert
c > 0. Für diese Teilfolge gilt durch erneutes Anwenden des zentralen Grenzwertsatzes unter der
Lindeberg-Bedingung, dass
nm
X
d
ξ nm ,k − E[ξ nm ,k ] −→ N (0, c).
k=1
Pnm
d
In Kombination mit
k=1 ξ nm ,k → ξ ergibt sich aus dieser schwachen Konvergenz, dass auch
Pnm
k=1 E[ξ nm ,k ] gegen ein b ∈ R konvergiert, woraus schließlich
d
hy, Xt − Xs i = ξ = N (b, c)
folgt. Da y ∈ Rd beliebig war, impliziert der Cramér-Wold device, dass Xt − Xs normalverteilt ist.
Aus Satz 1.7 folgt, dass Drift und Kovarianz linear in t sind. Da X ein Lévy-Prozess mit stetigen
Pfaden ist, muss also X eine Brownsche Bewegung mit Drift sein.
Bemerkung 1.11. Auch die Klasse der zusammengesetzten Poisson-Prozesse hat ein Alleinstellungsmerkmal unter der Gesamtheit der Lévy-Prozesse. X ist nämlich genau dann ein zusammengesetzter Poisson-Prozess, wenn X ein Lévy-Prozess mit stückweise stetigen Pfaden ist. Wir
werden dies später aus der Lévy-Itô-Zerlegung folgern.
2
Charakterisierungen
Das Hauptziel dieses Kapitels werden zwei Charakterisierungen von Lévy-Prozessen sein. Einerseits
liefert die Lévy-Itô-Zerlegung eine Darstellung jedes Lévy-Prozesses als Brownsche Bewegung plus
Drift und Sprunganteil und andererseits gibt die Lévy-Khinchine-Darstellung eine explizite Formel
für die charakteristische Funktion der Randverteilungen an. Bevor wir aber soweit kommen, müssen
wir einen Rahmen entwickeln, der uns eine genauer Analyse des Sprungverhaltens von LévyProzessen erlaubt.
2.1
Poisson-Zufallsmaße
Definition 2.1. Ein Zufallsmaß auf einem messbaren Raum (S, S) ist eine Abbildung M : Ω×S →
R+ , sodass
(i) für jedes A ∈ S die Abbildung M (A) : ω 7→ M (ω, A) messbar ist und
(ii) für jedes ω ∈ Ω die Abbildung A 7→ M (ω, A) ein (signiertes) Maß ist.
Wir werden nun Zufallsmaße nutzen um die Sprünge eines Poisson-Prozesses Nt zu beschreiben.
Sei also
n
X
Nt = max{n ∈ N :
Sk 6 t}
k=1
für unabhängige Exp(λ)-verteilte Zufallsvariablen (Sk )k>1 , wobei
Pλn > 0 die Intensität das PoissonProzesses ist. Die Sprungzeiten/-stellen von N sind also Tn := k=1 Sk und wir können Nt auch
via
Nt = #{n > 1 : Tn ∈ [0, t]}
beschreiben. Nt zählt also die Sprünge im Intervall [0, t]. Dieses Zählverfahren liefert uns ein
Zufallsmaß auf (R, BR ):
Definition 2.2. Ist N ein Poisson-Prozess mit Sprungzeiten (Tn )n>1 , so heißt
M (ω, A) := #{n > 1 : Tn (ω) ∈ A},
das zu N assoziierte Sprungzufallsmaß.
6
für alle ω ∈ Ω, A ∈ BR ,
Lemma 2.3. Ist N ein Poisson-Prozess mit Intensität λ > 0, so ist das zu N assoziierte Sprungzufallsmaß M tatsächlich ein Zufallsmaß auf (R+ , BR+ )und es gilt E[M (A)] = λ|A|, wobei |A| das
Lebesgue-Maß von A bezeichnet.
P
Beweis. Aus der Darstellung M (ω, A) = n>1 δTn (ω) (A) folgt, dass M (ω, ·) für jedes ω ∈ Ω ein
Maß ist. Anderseits ist für jedes
Pfeste A ∈ BR+ die Verknüfung 1A ◦ Tn messbar, da Tn messbar
ist, und somit auch M (·, A) = n>1 1A ◦ Tn . Damit ist M als Zufallsmaß erkannt.
Es bleibt die Gleichheit E[M (A)] = λ|A| zu zeigen, wobei
X
X
E[M (A)] =
P(Tn ∈ A) =
PTn (A)
n>1
n>1
ebenfalls ein Maß ist. Für alle Intervalle (s, t] mit 0 6 s < t gilt aufgrund der Eigenschaften des
Poisson-Prozesses N
E M ((s, t]) = E Nt − Ns = E[Nt−s ] = λ(t − s) = λ|(s, t]|.
Somit gilt E[M (A)] = λ|A| auf einem ∩-stabilen Erzeuger von BR+ . Da die Folge ((0, n])n>1
zusammen mit {0} eine Ausschöpfung von R+ ist mit |(0, n]| = n < ∞ für alle n ∈ N, folgt die
Gleichheit auf ganz R+ .
Übung 2.4. Zeigen Sie, dass sich folgende Eigenschaften des Poisson-Prozesses auf M übertragen:
(i) Für jedes beschränkte A ∈ BR+ ist M (A) eine P oiss(λ|A|)-verteilte Zufallsvariable.
(ii) Für paarweise disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ BR+ sind M (A1 ), . . . , M (An ) unabhängig.
Der Poisson-Prozess kann wiederum über sein assoziertes Sprungzufallsmaß beschrieben werden:
Z
Nt (ω) = M (ω, [0, t]) =
M (ω, ds).
[0,t]
Das Zufallsmaß M (ω, dt) kann also als Ableitung von t 7→ Nt (ω) verstanden werden. Da N eine
wachsende Treppenfunktion ist, ist seine Ableitung (im schwachen Sinn) die Summe der DiracMaße in den Sprungstellen:
X
M=
δTn .
n>1
et = Nt − λt, t > 0 assoziierte
Analog führen noch das zum kompensierten Poisson-Prozess N
Zufallsmaß
f(ω, A) := M (ω, A) − λ|A|
M
f gilt E[M
f(A)] = 0 und Var(M
f(A)) = λ|A|. Man beachte, dass M
f auch negative Werte
ein. Für M
f ist ein kompensiertes Zufallsmaß,
annehmen kann, es sich also um ein signiertes Maß handelt. M
die zur Zentrierung nötige Funktion A 7→ λ|A| heißt Kompensator.
Bisher haben wir uns ein Zufallszählmaß auf R+ angesehen. Diese Konstruktion kann auf
allgemeinere Räume erweitert werden:
Definition 2.5. Es seien (Ω, F, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, E ⊆ Rd und µ ein Radon-Maß
auf (E, BE ) (d.h. µ(A) < ∞ für alle beschränkten A ∈ BE ). Ein N0 -wertiges Zufallsmaß auf E
M : Ω × BE → N0 ,
(ω, A) 7→ M (ω, A)
heißt Poisson-Zufallsmaß mit Intensität µ, falls gilt:
(i) Für P-f.a. ω ∈ Ω ist M (ω, ·) ein N0 -wertiges Radon-Maß.
(ii) Für alle beschränkten A ∈ BE ist M (·, A) = M (A) eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit
Parameter µ(A).
7
(iii) Für paarweise disjunkte Mengen A1 , . . . , An ∈ BE sind M (A1 ), . . . , M (An ) unabhängig.
Bemerkung 2.6. Poisson-Zufallsmaße M : Ω → ME können als Zufallsvariablen auf dem Raum
ME der Radon-Maße auf E ⊆ Rd verstanden werden, welchen wir mir der σ-Algebra σ(πA :
A ∈ BE beschränkt) versehen, wobei πA : ME → R+ , µ 7→ µ(A). Entsprechend garantiert (i),
dass M in den richtigen Raum abbildet und (ii), dass M messbar ist. Die Verteilung von M wird
damit durch die endlichdimensionalen Verteilungen (M (A1 ), . . . , M (An )), n ∈ N, A1 , . . . , An ∈
BE , eindeutig beschrieben (Kolmogorovs Erweiterungssatz). Aufgrund der Additivität von Maßen,
genügt es dabei paarweise disjunkte (Ai )i=1,...,n , n ∈ N, zu betrachten. Eigenschaften (ii) und (iii)
legen somit die Verteilung der Zufallsvariable M : Ω → ME eindeutig fest.
Lemma 2.7. Für
auf E ⊆ Rd mit IntensiP n > 1 seien Mn unabhängige Poisson-Zufallsmaße
P
tät µn . Ist µ =
n>1 µn ein Radon-Maß, dann ist M :=
n Mn ein Poisson-Zufallsmaß mit
Intensität µ.
Beweis. Wir weisen die Eigenschaften nach: P
(ii) Sei A ∈ BE beschränkt, dann ist M (A) =P n Mn (A) die Summe unabhängiger P oiss(µn (A))verteilter Zufallsvariablen und damit P oiss( n µn (A)) verteilt.
(iii) Für P
paarweise disjunkte A1 , . . . , An ∈ BE sind (Mn (Ai ))n,i unabhängig und damit auch
M (Ai ) = n Mn (Ai ), i > 1.
P
(i) Für jedes ω ∈ Ω ist M (ω, ·) := n Mn (ω, ·) ein Maß und wegen (ii) gilt für jedes beschränkte
A ∈ BE , dass M (·, A) ∼ P oiss(µ(A)) also ist M (·, A) f.s. endlich. Hieraus folgt bereits, dass
M (ω, ·) für f.a. ω ein Radon-Maß ist (Übung 2
).
Satz 2.8. Für jedes Radon-Maß µ auf einem messbaren Raum (E, BE ) mit E ⊆ Rd existiert ein
Poisson-Zufallsmaß mit Intensität µ.
Beweis. Wir beginnen mit dem Fall µ(E) < ∞ und konstruieren M explizit: Seien (Xn )n>1 u.i.v.
µ(A)
Zufallsvariablen mit P(Xi ∈ A) = µ(E)
. Für eine P oiss(µ(E))-verteilte Zufallsvariable M (E), die
unabhängig von (Xn )n>1 ist, definieren wir
M (E)
M (A) =
X
M (E)
1A (Xn ) =
n=1
X
δXn (A) für alle A ∈ BE .
n=1
Man prüft nun leicht nach, dass M ein Poisson-Zufallsmaß
S mit Intensität µ ist.
Im Fall µ(E) = ∞ existiert eine Ausschöpfung E = i>1 Ei mit paarweise disjunkten (Ei )i>1
und µ(Ei ) < ∞ (da µ ein Radon-Maß ist). Dann können wir unabhängige (Mi )i>1 konstruieren,
sodassPfür jedes Mi ein Poisson-Zufallsmaß mit Intensität µ(·P
∩ Ei ) ist. Nach Lemma 2.7 ist
∞
M = i=1 Mi ein Poisson-Zufallsmaß auf E mit Intensität µ = n µ(· ∩ Ei ).
Wie wir aus diesem konstruktiven Beweis sehen, kann jedes Poisson-Zufallsmaß als Zählmaß
für eine Folge von Punkten dargestellt werden: Es existieren Zufallsvariablen (Xn )n>1 und ein
unabhängiges M (E) ∼ P oiss(µ(E)), sodass
M (E)
M (A) =
X
M (E)
1A (Xn ) =
n=1
X
δXn (A).
n=1
Aus diesem Grund heißen Poisson-Zufallsmaße auch Poisson-Punktprozesse (wobei das Wort “Prozess” dabei etwas irreführend ist, da hier keine Zeitvariable auftaucht). Gilt µ(E) < ∞, dann
µ
können die (Xn )n>1 als unabhängige µ(E)
-verteilte Zufallsvariablen gewählt werden.
Satz 2.9 (Exponentialformel für Poisson-Zufallsmaße). Ist M ein Poisson-Zufallsmaß auf
(E, BE ) mit Intensität
µ und sei A ∈ BE mit µ(A) < ∞, dann gilt für jede messbare FunkR
tion f : A → C mit A |ef (x) |dµ(x) < ∞:
h
Z
i
Z
E exp
f (x)M (dx) = exp
(ef (x) − 1)µ(dx) .
A
A
8
Beweis. Für jedes A ∈ BE ist das Zufallsmaß M |A (definiert durch M |A (B) := M (A ∩ B) für alle
B ∈ BE ) wieder ein Poisson-Zufallsmaß mit Intensität µ|A . Wir
R können also o.B.d.A. annehmen,
dass A = E und µ(E) < ∞. Sei f zunächst reell, sodass exp A f (x)M (dx) eine nichtnegative
P
Zufallsvariable ist und obiger Erwartungswert wohldefiniert. Mit der Darstellung M = n>1 δXn
µ
für unabhängige µ(E)
-verteilte Zufallsvariablen gilt dann
(E)
(E)
h
Z
i
h
MX
i
h MY
i
E exp
f (x)M (dx) = E exp
f (Xn ) = E
E ef (Xn ) |M (E)
E
n=1
n=1
h M (E) i
= E E ef (X1 )
X µ(E)k Z
µ(dx) k
−µ(E)
ef (x)
=e
k!
µ(E)
E
k>0
Z
= exp
ef (x) − 1 µ(dx) .
E
R
Da für C-wertige f | exp
mit der selben Rechnung.
R
f (x)M (dx) | = exp E Re f (x)M (dx) gilt, folgt die Behauptung
E
Übung 2.10. Sei M ein Poisson-Zufallsmaß auf (E, BE ) mit endlichem Intensitätsmaß µ. Folgern
Sie aus Satz 2.9, dass für jedes f ∈ L1 (µ) ∩ L2 (µ) gilt:
Z
i Z
Z
hZ
f dM =
f 2 dµ.
f dM =
f dµ und Var
E
E
E
E
E
Definition 2.11. Für jedes Poisson-Zufallsmaß M mit Intensität µ auf (E, BE ) mit E ⊆ Rd ist
f definiert via
das kompensierte Poisson-Zufallsmaß M
f(ω, A) = M (ω, A) − µ(A) für alle A ∈ BE , ω ∈ Ω.
M
Aus der Definition folgt direkt, dass für disjunkte, beschränkte Menge A1 , . . . , An ∈ BE die
f(A1 ), . . . , M
f(An ) unabhängig sind und
Zufallsvariablen M
f(Ai )] = 0,
E[M
f(Ai )) = µ(Ai )
Var(M
gilt.
Wir werden nun aus einem Poisson-Zufallsmaß M auf E = [0, T ] × Rd \ {0} mit Intensität µ
einen Sprungprozess konstruieren. Wie wir gesehen haben ist M ein Zählprozess mit
X
M=
δ(Tn ,Yn )
n>1
für Zufallsvariablen (Tn , Yn )n>1 . Intuitiv beschreibt (Tn , Yn ) einen Sprung der Höhe (oder allgemeiner eine Beobachtung) Yn zur Zeit Tn . Da wir die erste Koordinate als Zeit interpretieren
wollen, versehen wir (Ω, F, P) mit einer Filtration (Ft )t>0 .
Definition
2.12. Ein Poisson-Zufallsmaß M auf E = [0, T ] × Rd \ {0} mit der Darstellung M =
P
n>1 δ(Tn ,Yn ) auf einem filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, (Ft )t>0 , P) heißt adaptiert, falls
(i) (Tn )n>1 Stoppzeiten bzgl. (Ft )t>0 sind, d.h. {Tn 6 t} ∈ Ft für alle t ∈ [0, T ] und n > 1,
(ii) Yn ist FTn -messbar.
Für jedes ω ∈ Ω ist M (ω, ·) ein Maß auf E, sodass wir pfadweise (ω-weise) für jede Funktion
f ∈ L1 (µ) ein Integral konstruieren können.
9
Lemma 2.13. Sei M ein Poisson-Zufallsmaß auf E = [0, T ] × Rd \ {0} mit Intensität µ. Dann
ist für jedes f ∈ L1 (E, BE , µ)
Z
Z
M (f ) : Ω → R, ω 7→
f dM (ω, ·)
[0,T ]
Rd \{0}
eine wohldefinierte Zufallsvariable mit
Z
Z
E[M (f )] =
f dµ.
[0,T ]
Rd \{0}
Beweis. Maßtheoretische Induktion.
Für f ∈ L1 (µ) erhalten wir nun einen Prozess durch Integration bis zum Zeitpunkt t:
Xt : = M (f 1[0,t]×Rd \{0} )
Z tZ
f dM =
=
0
Rd \{0}
X
f (Tn , Yn ).
n>1:Tn 6t
Dieser Prozess X = (Xt , t > 0) ist adaptiert (Übung 2
) und aus der letzten Darstellung sehen
wir, dass X ein stückweise konstanter Sprungprozess ist. Wir können analog für das kompensierte
Poisson-Zufallsmaß vorgehen. Der resultierende Prozess heißt kompensiertes Integral und ist ein
Martingal:
Satz 2.14. Es sei M ein adaptiertes Poisson-Zufallsmaß auf E = [0, T ]×Rd \{0} mit Intensität µ
f = M − µ das zugehörige kompensierte Poisson-Maß. Dann ist für jedes f ∈ L1 (E, BE , µ)
und M
der Prozess Y = (Yt , t > 0) mit
Z tZ
Z tZ
Z tZ
f=
Yt :=
f dM
f dM −
f dµ, t > 0,
0
Rd \{0}
0
Rd \{0}
0
Rd \{0}
ein Martingal.
Übung 2.15. Beweisen Sie Satz 2.14.
2.2
Lévy-Itô-Zerlegung
Ist X = (Xt , t > 0) ein (Ft )t>0 -adaptierter càdlàg-Prozess mit Werten in Rd , dann ist für jedes
t > 0 der Grenzwert Xt− = limh↓0 Xt−h wohldefiniert. X hat eine Unstetigkeit bei t, falls
∆Xt := Xt − Xt− 6= 0.
Man beachte, dass X höchstens abzählbar viele Sprünge besitzt, d.h. {t > 0, ∆Xt 6= 0} ist abzählbar.
Übung 2.16. Ist f : [0, T ] → Rd eine càdlàg-Funktion, dann besitzt sie höchstens abzählbar viele
Sprünge. Für jedes ε > 0 besitzt f nur endlich viele Sprünge (mit Betrag) größer als ε.
Wir bezeichnen die geordneten Elemente der Menge {t > 0, ∆Xt 6= 0} mit (Tn )n>1 , also genau
die Sprungzeiten von X. Insbesondere sind Tn Stoppzeiten bzgl. (Ft )t>0 . Die “Sprunghöhen” sind
dann durch Yn := XTn − XTn − ∈ Rd \ {0} gegeben und FTn -messbar. Die Folge (Tn , Yn )n>1
beschreibt also die Sprünge von X vollständig.
Definition 2.17. Ist X = (Xt , t > 0) ein càdlàg-Prozess mit Werten in Rd , Unstetigkeitsstellen
(Tn )n>1 und Yn := XTn − XTn − ∈ Rd \ {0}, n > 1. Dann heißt das Zufallsmaß JX auf [0, ∞) × Rd
mit
X
JX (ω, A) =
δ(Tn (ω),Yn (ω) (A)
n>1
= # (t, ∆Xt (ω)) ∈ A ,
ω ∈ Ω, A ∈ B[0,∞)×Rd ,
das Sprungmaß von X. Ist X adaptiert bzgl. der Filtration (Ft )t>0 , dann ist auch JX adaptiert.
10
Für jedes t > 0 und A ∈ BRd gibt also JX ([0, t] × A) intuitiv die Anzahl der Sprünge von X
zwischen 0 und t, deren Amplitude in A liegt, an.
Satz 2.18. Ist X = (Xt , t > 0) ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit Intensität λ > 0 und
Sprungverteilung ρ, so ist das Sprungmaß JX von X ein Poisson-Zufallsmaß auf [0, ∞) × Rd mit
Intensitätsmaß µ(dt × dx) = dtν(dx) für das (Lévy-)Maß ν = λρ.
PNt
Beweis. X besitzt die Darstellung Xt =
n=1 Yn für einen Poisson-Prozess N mit Intensität
u.i.v.
λ und davon unabhängigen Zufallsvariablen (Yn )n>1 ∼ ρ. Wir weisen die Eigenschaften eines
Poisson-Zufallsmaßes nach:
(i) Nach Definition ist JX (ω, ·) ein N0 -wertiges Maß. Ist A ∈ B[0,∞)×Rd eine beschränkte
Menge, dann gibt es ein T > 0, sodass A ⊆ [0, T ] × Rd . Da NT (ω) < ∞, Xt (ω) also nur endlich
oft in [0, T ] springt, ist JX (ω, A) < ∞ und JX (ω, ·) ein Radon-Maß.
(ii) Wir weisen nun JX (A) ∼ P oiss(µ(A)) für A ∈ B[0,∞)×Rd nach. Hierfür genügt es A =
(s, t] × B mit 0 6 s < t und B ∈ BRd zu betrachten (vgl. Übung 2.4). Dann gilt
Nt
X
JX ((s, t] × B) =
1B (Yn ).
n=Ns +1
Nun gilt
1A (Yn ) u.i.v.
∼ Bernoulli(ρ(A)) und damit für u ∈ R
E eiuJX ((s,t]×B) = E E eiuJX ((s,t]×B) N
= E (eiu ρ(A) + 1 − ρ(A))Nt −Ns
= E ((eiu − 1)ρ(A) + 1)Nt−s = exp λ(t − s)(eiu − 1)ρ(A) .
Folglich ist JX ((s, t] × B) P oiss(λ(t − s)ρ(A)) verteilt.
(iii) Es bleibt die Unabhängigkeit für disjunkte Mengen zu zeigen. Wir betrachten wieder
Rechteckmengen Ak := Ik × Bk mit Ik = (sk , tk ], 0 6 sk < tk , und Bk ∈ BRd für k = 1, . . . , n ∈ N.
Für k 6= l sind Ak und Al sind genau dann disjunkt, wenn Ik und Il oder Bk und Bl disjunkt sind.
Durch eventuelle weitere Zerlegung können wir annehmen, dass je zwei Zeitintervalle Ik und Il für
k 6= l entweder gleich oder disjunkt sind. Sind sie disjunkt folgt die Unabhängigkeit sofort aus der
Unabhängigkeit der Inkremente von X. Damit bleibt die Unabhängigkeit von JX ((s, t] × Bk ), k =
1, . . . , n, für paarweise disjunkte (Bk )k=1,...,n und 0 6 s < t zu zeigen.
Wir betrachten wieder die charakteristische Funktion des Vektors (JX ((s, t] × Bk ))k=1,...,n . Für
u ∈ Rn gilt
u, JX ((s, t] × Bk ) k=1,...,n =
Nt
X
ξl
mit ξl =
l=Ns +1
n
X
uk 1Bk (Yl ).
k=1
Die Zufallsvariablen ξl sind u.i.v. und nehmen den Wert P
uk mit Wahrscheinlichkeit ρ(Bk ) an,
n
k = 1, . . . , n, sowie den Wert 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 − k=1 ρ(Bk ). Daraus folgt
n
h
Nt −Ns i
X
E exp i u, (JX ((s, t] × Bk ))k=1,...,n
=E 1+
ρ(Bk )(eiuk − 1)
k=1
= exp λ(t − s)
n
X
ρ(Bk )(eiuk − 1)
k=1
n
Y
=
E eiuk JX ((s,t]×Bk ) ,
k=1
womit die Unabhängigkeit gezeigt ist.
11
Übung 2.19. Zeigen Sie, dass für jedes endliche Lévy-Maß ν auf (Rd , BRd ) ein zusammengesetzter
Poisson-Prozess existiert. Verwenden Sie die Konstruktion
Z
Xt :=
xJX (ds, dx)
[0,t]×Rd
mit Poisson-Zufallsmaß JX auf [0, ∞) × Rd mit Intensitätsmaß µ(dt × dx) = dtν(dx). Wenden Sie
Satz 2.9 an.
Das Lévy-Maß ν kennen wir bereits von zusammengesetzten Poisson-Prozessen (Beispiel 1.8(iii)) und ist gegeben durch die Sprungverteilung gewichtet mit der Sprungintensität.
Satz 2.18 erlaubt eine andere und allgemeinere Interpretation von ν als die erwartete Anzahl der
Sprünge in einer Zeiteinheit. Diese Interpretation überträgt sich direkt auf alle Lévy-Prozesse.
Definition 2.20. Ist X = (Xt , t > 0) ein Rd -wertiger Lévy-Prozess, dann heißt das Maß ν auf
(Rd , BRd ) gegeben durch ν({0}) = 0 und
ν(A) = E[JX ([0, 1] × A)]
= E # t ∈ [0, 1] : ∆Xt (ω) 6= 0, ∆Xt ∈ A ,
A ∈ BRd ,
Lévy-Maß von X.
Bemerkung 2.21. Ist ν das Lévy-Maß eines Lévy-Prozesses X, so ist ν(A) endlich für jede kompakte
Menge A mit 0 ∈
/ A. Würde das nicht gelten, gäbe es auf [0, T ] für ein gewisses ε > 0 eine unendliche
Anzahl von Sprüngen größer als ε, was der càdlàg-Eigenschaft widerspricht. ν ist also tatsächlich
ein Radon-Maß auf Rd \{0}, aber nicht notwendig endlich, da es in 0 eine Singularität haben kann:
X kann unendlich viele kleine Sprünge auf [0, T ] haben. In diesem Fall sprechen wir von einem
Lévy-Prozess mit unendlicher Sprungintensität.
Mit Satz 2.18 finden wir für einen zusammengesetzten Poisson-Prozess X 0 = (Xt0 , t > 0) die
Darstellung
Z tZ
X
Xt0 =
∆Xs0 =
x JX (ds, dx), t > 0,
0
s∈[0,t]
Rd
(beachte, dass ∆Xs0 = 0 bis auf endlich viele s, so dass obige Summe wohldefiniert ist). Ist
(γt + Σ1/2 Wt )t>0 eine Brownsche Bewegung mit (deterministischem) Drift und unabhängig von
X 0 , so definiert Xt = Xt0 + γt + Σ1/2 Wt wieder einen Lévy-Prozess, der Form
Z
1/2
Xt = Σ Wt + γt +
x JX (ds, dx), t > 0.
[0,t]×Rd
Wir haben damit bereits einen Spezialfall der Lévy-Itô-Darstellung für Sprungdiffusionen gefunden. Wir werden nun die Frage beantworten, ob wir für jeden Lévy-Prozess X eine solche
P Darstellung finden. Hat X unendliche Sprungintensität, so wird die Summe über die Sprünge s∈[0,t] ∆Xs0
eine unendliche Reihe. Deren Konvergenz impliziert eine Bedingung an das Lévy-Maß.
Satz 2.22 (Lévy-Itô-Zerlegung). Es sei X = (Xt , t > 0) ein Lévy-Prozess im Rd und ν sein
Lévy-Maß. Dann gilt
(i) ν ist ein Radon-Maß auf (Rd , BRd ) und es gilt
Z
(|x|2 ∧ 1)ν(dx) < ∞.
(3)
Rd
(ii) Das Sprungmaß JX von X ist ein Poisson-Zufallsmaß auf [0, ∞) × Rd \ {0} mit Intensität
dtν(dx).
12
(iii) Es existiert ein Vektor γ ∈ Rd und eine positiv-semidefinite Matrix Σ > 0, so dass für eine
standard Brownsche Bewegung B = (Bt , t > 0) folgende Zerlegung gilt
etε ,
Xt = γt + Σ1/2 Bt + Xtl + lim X
ε↓0
Z tZ
xJX (ds, dx),
Xtl =
0
etε =
X
wobei
(4)
|x|>1
Z tZ
Z tZ
x JX (ds, dx) − dsν(dx) .
xJeX (ds, dx) =
0
ε<|x|61
0
ε<|x|61
Die Summanden in (4) sind unabhängig und die Konvergenz im letzter Term ist f.s. und
gleichmäßig in t ∈ [0, T ].
(iv) Das Tripel (Σ, γ, ν) ist eindeutig durch X bestimmt.
Diese eindeutige Beschreibung von Lévy-Prozessen führt auf folgende Definition:
Definition 2.23. Ist X ein Lévy-Prozess mit der Darstellung (4) für eine symmetrische, positivsemidefinite Matrix Σ ∈ Rd×d , einen Vektor γ ∈ Rd und ein Lévy-Maß ν auf Rd , dann heißt
(Σ, γ, ν) charakteristisches Tripel.
Bemerkung 2.24.
(i) Eine äquivalente und häufig verwendete Integrierbarkeitsbedingung an das Lévy-Maß ist
Z
|y|2
ν(dy) < ∞.
2
Rd |y| + 1
(ii) Aus der Lévy-Itô-Zerlegung sehen wir nochmal, dass jeder stetige Lévy-Prozess von der Form
Xtc := γt + Σ1/2 Bt .
(iii) Die beiden hinteren Terme in (4) beschreiben das Sprungverhalten von X. Nur die großen
Sprünge enthaltend, ist X l ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit f.s. endlich vielen
Sprüngen. Die Schwelle |x| > 1 dabei beliebig, da auch
Z tZ
X
ε
x JX (ds, dx) =
Xt =
∆Xs
0
ε<|x|61
s:ε<|∆Xs |61
ein zusammengesetzter Poisson-Prozess ist. Insbesondere die Integrierbarkeitsbedingung (3)
zeigt, dass X unendlich viele kleine Sprünge enthalten kann, sodass wir nicht einfach den
Grenzwert von X ε für ε ↓ 0 betrachten können. Stattdessen betrachten wir die kompensierten
zusammengesetzten Poisson-Prozesse und verwenden ein Martingalargument.
(iv) Die Lévy-Itô-Zerlegung zeigt, dass jeder Lévy-Prozess die Kombination einer Brownschen
Bewegung mit Drift mit einer möglicherweise unendliche Summe von unabhängigen PoissonProzessen (X εn+1 − X εn für eine Folge (εn ) ↓ 0) ist. Dies erlaubt die (beliebig genaue)
Approximation von Lévy-Prozessen durch Sprungdiffusionen.
Bevor wir die Lévy-Itô-Zerlegung beweisen können, benötigen wir noch folgendes Hilfsresultat:
Lemma 2.25. Es sei (X, Y ) = ((Xt , Yt ), t > 0) ein Lévy-Prozess. Wenn Y ein zusammengesetzter
Poisson-Prozess ist und X und Y nie zusammen springen, dann sind X und Y unabhängig.
Beweis. Beachte, dass X und Y ebenfalls Lévy-Prozesse sind. Weiterhin können wir anehmen, dass
Y nur Sprünge beschränkter Größe hat (anderfalls betrachte (X, Y 0 ) mit Y 0 := tan−1 (Y )). Die
Unabhängigkeit von X und Y folgt aus der Unabhängigkeit von (Xt1 , . . . , Xtn ) und (Yt1 , . . . , Ytn )
für eine beliebige Folge von Zeitpunkten 0 6 t1 < · · · < tn . Aufgrund der unabhängigen Inkrement
13
genügt es, die Unabhängigkeit von (Xt − Xs ) und (Yt − Ys ) für Zeitpunkte 0 6 s < t nachzuweisen.
O.B.d.A setzen wir s = 0 und t = 1.
Für fixierte u, v ∈ Rd betrachten wir die Martingale
Mt =
eihu,Xt i
,
E[eihu,Xt i ]
Nt =
eihu,Yt i
.
E[eihu,Yt i ]
Tatsächlich gilt mit dem charakteristischen Exponenten ψ aus Satz 1.7
E[Mt |Fs ] = e−tψ(u) E[eihu,Xt −Xs i+ihu,Xs i |Fs ]
= e−tψ(u) E[eihu,Xt −Xs i ]eihu,Xs i
= e−t E[eihu,Xt−s i ]eihu,Xs i = Ms ,
0 6 s < t,
und analog für Nt . Da Y ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit beschränktem Lévy-Maß ist,
ist die charakteristische Funktion t 7→ E[eihu,Yt i ] aus Beispiel 1.8 bekannt und in t differenzierbar.
Damit ist t 7→ Nt schwach differenzierbar und wir können für alle 0 6 s < t 6 1
Z t
Ns − Nt =
dNr
s
schreiben für ein auf [0, 1] endliches Zufallsmaß dNr . Aufgrund der Martingaleigenschaft erhalten
wir
n
i
hX
(Mk/n − M(k−1)/n )(Nk/n − N(k−1)/n )
E[M1 N1 ] − 1 = E
k=1
1
hZ
=E
i
Mbsn+1c/n − Mbsnc/n dNs .
0
Da |Mt (ω)| 6 |E eihu,Mt i |−1 für alle ω ∈ Ω, t ∈ [0, 1] und weil die charakteristische Funktion von
Mt für festes u und alle t ∈ [0, 1] gleichmäßig nach unten beschränkt ist (Satz 1.7) ist M auf [0, 1]
gleichmäßig beschränkt und dominierte Konvergenz liefert
i
hZ 1
i
hX
i
hZ 1
∆Ms dNs = E
∆Ms ∆Ns = 0.
E
Mbsn+1c/n − Mbsnc/n dNr → E
0
0
s
Damit gilt E[M1 N1 ] = 1 und
E eihu,X1 i+ihv,Y1 i = E[eihu,X1 i ]E[eihv,y1 i ]
für alle u, v ∈ Rd .
Damit können wir nun unser Hauptresultat beweisen.
Beweis von Satz 2.22.
R (i) In Bemerkung 2.21 haben wir bereits gesehen, dass aus der càdlàg-Eigenschaft von X bereits
ν(dx) < ∞ für jedes ε > 0 folgt. Es bleibt
|x|>ε
Z
|x|2 ν(dx) < ∞
|x|61
zu zeigen. Wir zerlegen den Prozess X in den zusammengesetzten Poisson-Prozess
Z tZ
X
Ytε =
∆Xs =
xJX (ds, dx)
0
s:|∆Xs |>ε
14
ε6|x|
(5)
und den Rest Rtε = Xt − Ytε . Dann ist auch (Y ε , Rε ) ein Lévy-Prozess, wobei Y ε das Lévy-Maß
ν|Bεc mit Bεc := {x ∈ Rd : |x| > ε} hat. Nach Lemma 2.25 sind Y ε und Rε unabhängig. Es folgt
ε ε E eihu,Xt i = E eihu,Yt i E eihu,Rt i ,
u ∈ Rd .
Da |E eihu,Xt i | > C für eine Konstante C > 0 und alle u ∈ Rd mit |u| 6 1 nach Satz 1.7, folgt
aus Exponentialformel (Satz 2.9):
Z
ihu,Y ε i t
= exp
(eihu,xi − 1)ν(dx) C6 E e
|x|>ε
Z
= exp Re
(eihu,xi − 1)ν(dx)
|x|>ε
Z
= exp
cos(hu, xi) − 1 ν(dx) .
|x|>ε
Da C unabhängig von ε ist erhalten wir für ε ↓ 0
Z
Z
2
0
hu, xi ν(dx) 6 C
1 − cos(hu, xi) ν(dx) 6 C 0 log C −1 < ∞.
Rd
|x|61
Da u ∈ Rd beliebig war, folgt (5).
(ii) Wir konstruieren das Sprungmaß JX auf [0, ∞) × Rd \ {0}. Für eine Folge (εn )n>1 ↓ 0 mit
ε1 = 1 definieren wir
X
n
JX
(ω, ·) :=
δ{s,∆Xs (ω)} , n > 1,
(6)
s:|∆Xs (ω)|∈(εn+1 ,εn ]
0
JX
(ω, ·)
:=
X
δ{s,∆Xs (ω)} .
s:|∆Xs (ω)|>1
n
Da t 7→ Xt càdlàg ist, ist für jedes n > 0 die Menge {t : |∆Xt | > εn+1 } endlich und JX
ist nach
n
Satz 2.18 ein Poisson-Zufallsmaß mit Intensität dsν (dx), wobei
ν 0 (A) = ν A ∩ {x ∈ Rd : |x| > 1} und ν n (A) = ν(A ∩ {x ∈ Rd : |x| ∈ (εn+1 , εn ]})
P
für n > 1, A ∈ BRd . Nach Konstruktion und σ-Addititivät gilt ν = n>0 ν n . Folglich ist
JX (ω, ·) :=
X
n
JX
(ω, ·) =
X
δ{s,∆Xs }
s
n>0
ein Poisson-Zufallsmaß mit Intensität dsν(dx) nach Lemma 2.7.
e ε . Für eine Folge (εn )n>1 ↓ 0 mit ε1 = 1 definieren
(iii) Wir untersuchen die Konvergenz von X
wir die kompensierten zusammengesetzt Poisson-verteilten Zufallsvariablen
Z
n
etεn+1 − X
etεn =
Zn = X
xJeX
(ds, dx)
[0,t]×Rd \{0}
mit Intensität tν n . Diese sind zentriert und es gilt
Z
X
XZ
Var(Zn ) = t
|x|2 ν(dx) = t
n>1
n>1
|x|∈(εn+1 ,εn ]
|x|2 ν(dx) < ∞
(7)
|x|61
dank (5). Zudem sind (Zn ) unabhängig, da JX |[0,t]×{|x|>ε} für jedes ε > 0 ein Poisson-Zufallsmaß
ist und die Intervalle [εn+1 , εn ) disjunkt sind. Es folgt, dass für jedes t ∈ [0, 1] die Reihe
et0 konvergiert. Da (X
etεN +1 = PN Zn in L2 und f.s. gegen ein X
e εN +1 )N Martingale (bzgl.
X
n=1
15
e 0 ein Martingal
der vervollständigten natürlichen Filtration von X) sind (Satz (2.14)), ist auch X
p
und wir erhalten aus Doobs L -Ungleichung (siehe Satz A.4) für alle t ∈ Q+ :
i
h
εN +1
et
et0 |2 → 0 for N → ∞.
esεN +1 − X
es0 |2 6 4E |X
−X
E
sup |X
s∈[0,t]∩Q
esεN +1 − X
es0 cádlág ist, folgt hieraus die gleichmäßige Konvergenz in t.
Da X
e 0 + X l f.s. die gleichen Sprünge wie X, so
Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz besitzt X
dass
e0 − Xl
X c := X − X
f.s. stetig ist und ein Lévy-Prozess ist. Satz 1.10 zeigt, dass X c eine Brownsche Bewegung mit Drift
e ε + X l für alle ε > 0 und somit auch unabhängig
ist. Nach Lemma 2.25 ist X c unabhängig von X
0
l
e +X .
vom Grenzwert X
(iv) Für jeden Lévy-Prozess ist das Sprungmaß JX durch (6) eindeutig definiert und bestimmt
eindeutig das Lévy-Maß. Die Darstellung des stetigen Anteils ist eindeutig nach Satz 1.10.
2.3
Lévy-Khinchine-Formel
In Satz 1.7 hatten wir bereits gesehen dass die charakteristische Funktion ϕXT eines Lévy-Prozesses
stets von der Form ϕXt (u) = exp(tψ(u)) für den so genannten charakteristischen Exponenten
ψ : Rd → C ist. Aus der Lévy-Itô-Zerlegung folgern wir nun leicht eine konkrete Darstellung von
ψ mit Hilfe des charakteristischen Tripels, die Lévy-Khinchine-Formel. Es handelt sich hierbei
um das zweite zentrale Resultat in der Theorie der Lévy-Prozess. Man kann auch alternativ die
Lévy-Itô-Zerlegung aus der Lévy-Khinchine-Formel folgern.
Satz 2.26 (Lévy-Khinchine-Formel). Ist X ein Lévy-Prozess im Rd mit charakteristischen Tripel
(Σ, γ, ν), dann gilt für alle t > 0 und u ∈ Rd
E eihu,Xt i = exp(tψ(u)) mit
Z
1
ψ(u) = − hu, Σui + ihγ, ui +
eihu,xi − 1 − ihu, xi1{|x|61} ν(dx).
(8)
2
Rd
Andererseits ist jede Abbildung der Form (8) der charakteristische Exponent einer unendlich teilbaren Verteilung.
Beweis. Die Lévy-Itô-Zerlegung impliziert, dass für jedes t die Zufallsvariable
etε
Xtc + Xtl + X
f.s. für ε ↓ 0 gegen Xt konvergiert. Dies impliziert schwache Konvergenz und folglich konvergiert
etε punktweise gegen die charakteristische Funktion
die charakteristische Funktion von Xtc + Xtl + X
etε folgt
von Xt . Aufgrund der Unabhängigkeit Xtc , Xtl und X
t
c
l
eε E eihu,Xt +Xt +Xt i = exp − hu, Σui + ithγ, ui
2
Z
× exp t
eihu,xi − 1 ν(dx)
|x|>1
Z
× exp t
eihu,xi − 1 − ihu, xi ν(dx) .
ε<|x|61
Dieser Ausdruck konvergiert für ε ↓ 0 gegen (8).
Bemerkung 2.27.
16
(i) Die Abschneidefunktion x 7→ 1{|x|61} ist nötig, um die Integrierbarkeit bzgl. des Lévy-Maßes
zu gewährleisten, kann aber verschieden gewählt werden. Für jede Funktion g : Rd → R mit
g(x) = 1 + o(|x|) für x → 0 und g(x) = O(1/|x|) für |x| → ∞, kann man
Z
1
eihu,xi − 1 − ihu, xig(x) ν(dx)
ψ(u) = − hu, Σui + ihγ g , ui +
2
Rd
mit
γ g := γ +
Z
Rd
x(g(x) − 1{|x|61} )ν(dx)
schreiben. Eine solche Funktion g heißt Abschneidefunktion und (γ g , Σ, ν) heißt charakteristisches Tripel bzgl. g. Man beachte, dass nur γ von g abhängt, während Σ und ν davon
unabhängig sind.
R
(ii) Falls das Lévy-Maß die zusätzliche Bedingung |x|>1 |x|ν(dx) < ∞ erfüllt, müssen wir die
großen Sprünge nicht „abschneiden“ und erhalten die einfachere Form
Z
1
ψ(u) = − hu, Σui + ihγc , ui +
eihu,xi − 1 − ihu, xi ν(dx)
2
Rd
R
mit γc := γ + |x|>1 xν(dx). In diesem Fall gilt E[Xt ] = γc t und weshalb γc tatsächlich den
Drift des Prozesses angibt.
(iii) Da jede unendlich teilbare Verteilung die Verteilung zum Zeitpunkt t = 1 eines LévyProzesses ist, kann ihre charakteristische Funktion als eψ(u) mit ψ gegen durch (8) für eine
Kovarianzmatrix
Σ ∈ Rd×d , einen Vektor γ ∈ Rd und ein Radon-Maß ν auf BRd \{0} mit
R
2
(|x|
∧
1)ν(dx)
dargestellt werden.
Rd
Übung 2.28. Zeigen Sie, dass im Fall unendlicher Sprungaktivität ν(Rd ) = ∞ die Menge der
Sprungzeiten abzählbar und dicht in R+ ist. Nehmen Sie vereinfachend an, dass ν absolutstetig
bzgl. des Lebesguemaßes ist. Gehen Sie wie folgt vor:
(i) Betrachten
Sie ein beliebiges Intervall [a, b]R und weisen Sie nach, dass Yn
R
J (ds, dx) mit εn := sup{r : |x|>r ν(dx) > n}, n > 1, u.i.v. sind.
[a,b]×{εn 6|x|6εn−1 } X
:=
(ii) Folgern Sie, dass die Anzahl aller Sprünge in [a, b] f.s. unendlich ist.
Insbesondere haben Sie so gezeigt, dass ein Lévy-Prozess genau dann stückweise stetig ist, wenn
es ein zusammengesetzter Poisson-Prozess ist.
Mithilfe der Lévy-Khinchine-Formel, lässt ich leicht folgern, dass die Lineartransformation eines
Lévy-Prozesses wieder ein Lévy-Prozess ist.
Korollar 2.29. Es sei X = (Xt , t > 0) ein Lévy-Prozess in Rd mit charakteristischem Tripel
(Σ, γ, ν) und A ∈ Rn×d eine Matrix. Dann ist Y = (Yt , t > 0) mit Yt = AXt ein Lévy-Prozess in
Rn mit charakteristischem Tripel (ΣA , γA , νA ), wobei
ΣA = AΣA> ,
νA (B) = ν {x ∈ Rd : Ax ∈ B} ,
∀B ∈ BRn ,
Z
γA = Aγ +
Ax 1{y∈Rn :|y|61} (Ax) − 1{y∈Rd :|y|61} (x) ν(dx).
Rd
>
Beweis. Man wende Satz 2.26 auf E[eihu,Yt i ] = E[eihA u,Xt i ] an und beachte dabei, dass νA das
Bildmaß der Abbildung Rd 3 x 7→ Ax ∈ Rn bzgl. ν ist. Es bleibt nachzuweisen, dass νA tatsächlich
ein Lévy-Maß und γA wohldefiniert ist (Hausaufgabe 2
).
17
Beispiel 2.30. Sind X1 und X2 zwei unabhängige R-wertige Lévy-Prozesse mit charakteristischen
Tripeln (σi , γi , νi ), i = 1, 2, dann folgt direkt aus der Definition, dass Y = (X1 , X2 )> ein LévyProzess in R2 ist. Mit Hilfe der Lévy-Khinchine-Formel rechnen wir leicht nach, dass Y durch das
charakteristische Tripel (Σ, γ, ν) mit
2
σ1 0
γ1
Σ=
,
γ
=
und ν = ν1 ⊗ δ0 + δ0 ⊗ ν2
0 σ22
γ2
beschrieben wird. Die Struktur von ν zeigt, dass die beiden unabhängigen Prozesse X1 und X2
f.s. nie zeitgleich springen (vgl. Lemma 2.25). Aus Korollar 2.29 folgt, dass auch X1 + X2 ein
Lévy-Prozess ist mit charakteristischem Tripel (σ, γ, ν), wobei
σ 2 = σ12 + σ22 ,
γ = γ1 + γ2 ,
ν = ν1 + ν2 .
Letzteres kann man auch einfach direkt über die charakteristische Funktion von (X1 + X2 )t für
t > 0 nachrechnen.
3
Eigenschaften
3.1
Pfadeigenschaften
Mithilfe der Lévy-Itô-Zerlegung können wir nun die Eigenschaften der (typischen) Trajektorien
eines Lévy-Prozesses aus analytischen Eigenschaften seines charakteristischen Tripels herleiten.
Im Folgenden sei X = (Xt , t > 0) stets ein Lévy-Prozess mit charakteristischem Tripel (Σ, γ, ν).
Zunächst erhalten wir leicht ein Kriterium für die Stetigkeit, vgl. Satz 1.10.
Korollar 3.1. Die Trajektorien von X sind genau dann f.s. stetig, wenn ν = 0.
Beweis. RAus Satz 2.22 folgt, dass die erwartete Anzahl von Sprungstellen s ∈ (0, t] mit ∆Xs > ε
durch t |x|>ε ν(dx) gegeben ist. Folglich ist die Anzahl der Sprünge genau dann f.s. 0, wenn
ν = 0.
Wie wir aus der Lévy-Itô-Zerlegung bereits gesehen haben, sind die Pfade eines Lévy-Prozesses
X genau dann stückweise stetig, wenn X ein zusammengesetzter Poisson-Prozess ist. Wir erhalten
damit:
Korollar 3.2. Für einen Lévy-Prozess X sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) Für f.a. ω ∈ Ω ist t 7→ Xt (ω) stückweise konstant.
R
(ii) Es gilt Σ = 0, ν(Rd ) < ∞ und γ = |x|61 xν(dx).
(iii) Der charakteristische Exponent ist von der Form ψ(u) =
∞.
R
Rd
(eihu,xi − 1)ν(dx) mit ν(Rd ) <
Übung 3.3. Beweisen Sie Korollar 3.2.
Als nächstes charakterisieren wir Lévy-Prozesse mit endlicher Variation.
Definition 3.4. Für eine Funktion f : [a, b] → R, −∞ < a < b < ∞, ist die Totalvariationsnorm
definiert als
n
X
T V[a,b] (f ) :=
sup
|f (ti ) − f (ti−1 )|.
a=t0 <t1 <···<tn =b i=1
Obiges Supremum wird also über alle Partitionen des Intervalls [a, b] bestimmt. f ist von endlicher
Variation auf [a, b], falls T V[a,b] (f ) < ∞. Ein Lévy-Prozess ist von endlicher Variation, falls seine
Trajektorien für alle t > 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 von endlicher Variation auf [0, t] sind.
18
Beispiel 3.5.
(i) Jede monotone Funktion f : [a, b] → R ist von endlicher Variation mit T V[a,b] (f ) = |f (b) −
f (a)|. Anderseits kann jede R-wertige Funktion mit endlicher Variation als Differenz zweier
monoton wachsender Funktionen dargestellt werden.
RtR
(ii) Ein zusammengesetzter Poisson-Prozess Xt = 0 Rd xJx (ds, dx), t > 0, mit Sprungmaß JX
ist f.s. von endlicher Variation, da t 7→ Xt auf jedem endlichen Intervall f.s. nur endlich viele
Sprünge besitzt und sonst konstant ist. Insbesondere gilt
Z tZ
X
|x| Jx (dx) =
|∆Xs |.
T V[0,t] (X) =
0
Rd
s∈[0,t]
(iii) Die Trajektorien der Brownschen Bewegung haben mit Wahrscheinlichkeit 0 endliche Variation.
Satz 3.6. Ein Lévy-Prozess X mit charakteristischem Tripel (Σ, γ, ν) ist genau dann von endlicher
Variation, wenn
Z
Σ=0
|x|ν(dx) < ∞.
und
|x|61
Beweis. „⇐“: Wegen Σ = 0 und
R
|x|61
|x|ν(dx) < ∞ erhalten wir die Darstellung
Z tZ
x Jx (ds, dx) + lim Xtε
Xt = bt +
Xtε =
ε↓0
|x|>1
0
mit
Z tZ
xJX (ds, dx)
0
ε<|x|61
(ohne Kompensation für die kleinen Sprünge!) für ein b ∈ Rd . Aus obigem Beispiel folgt, dass die
ersten beiden Term von endlicher Variation sind. Es bleibt also nur limε↓0 X ε zu betrachten. Mit
monotoner Konvergenz und dem Satz von Fubini erhalten wir
Z
i
h
i
h
X
ε
|∆Xs | = t
|x|ν(dx) < ∞.
E lim T V[0,t] (X ) = E lim
ε
ε
0<|x|61
s6t:ε<|∆Xs |61
P
Insbesondere gilt s6t:0<|∆Xs |61 |∆Xs | < ∞ f.s. und wegen dieser absoluten Konvergenz ist auch
P
limε X ε = s6t:0<|∆Xs |61 ∆Xs f.s. endlich. Aus der pfadweisen Abschätzung (tatsächlich gilt hier
Gleichheit)
X
X
T V[0,t]
∆Xs 6
|∆Xs | = lim T V[0,t] (X ε )
s6t:0<|∆Xs |61
ε
s6t:0<|∆Xs |61
folgt, dass auch TRV[0,t] limε X ε f.s. endlich ist.
„⇒“: Es gelte |x|61 |x|ν(dx) = ∞. Aufgrund der Lévy-Itô-Zerlegung gilt
Z
T V[0,t] (X) >
|x|JX (ds, dx) =: Utε .
ε6|x|61
Für den zusammengesetzten Poisson-Prozess gilt nach der Exponentialformel, u > 0,
Z
ε
E e−uUt = exp t
(e−u|x| − 1)ν(dx)
ε<|x|61
Z
Z
|x|ν(dx) .
= exp t
(e−u|x| − 1 + u|x|)ν(dx) −tu
ε<|x|61
ε<|x|61
|
6
R
|x|61
{z
u2 |x|2 ν(dx)<∞
19
}
R
Wegen |x|61 |x|ν(dx) = ∞, konvergiert für alle u, t > 0 und ε ↓ 0 die rechte Seite gegen 0.
Dominierte Konvergenz ergibt
ε
0 = lim E e−uUt = E exp − u lim Utε
∀u > 0
ε
ε
und damit limε Utε = ∞ f.s..
R
Gilt andererseits Σ 6= 0 und |x|61 |x|ν(dx) < ∞, dann folgt aus der Lévy-Itô-Zerlegung, dass
X die Summe einer Brownschen Bewegung und eines Prozesses mit endlicher Variation ist. Folglich
muss X ebenfalls von unendlicher Variation sein.
Beispiel 3.7 (Gamma-Prozess). Ein Lévy-Prozess X mit Xt ∼ Γ(tc, λ),t > 0, heißt GammaProzess mit Parametern c, λ > 0. Die Randverteilung von Xt ist also durch die Wahrscheinlichkeitsdichte bzw. die charakteristische Funktion
λct ct−1 −λx
x
e
1[0,∞) (x), x ∈ R, bzw.
Γ(ct)
Z ∞
ce−λx 1
!
iux
=
exp
t
(e
−
1)
dx ,
ϕt (u) =
(1 − iu/λ)−ct
x
0
pt (x) =
Insbesondere ist E[Xt ] =
tc
λ
und Var(Xt ) =
u ∈ R.
tc
λ2 .
Übung 3.8 (Lévy-Itô-Zerlegung und Lévy-Khinchine-Formel bei endlicher Variation). Ist X =
(Xt , t > 0) ein Lévy-Prozess von endlicher Variation mit charakteristischem Tripel (0, γ, ν), dann
gilt
Z tZ
X
Xt = γ0 t +
xJX (ds, dx) = γ0 t +
∆Xs ,
t > 0,
0
mit γ0 = γ −
R
|x|61
Rd
s∈[0,t]:∆Xs 6=0
xν(dx). Die charakteristische Funktion erfüllt die Darstellung
E eihu,Xt i = exp thγ0 , ui +
Z
(eihu,xi − 1)ν(dx) .
Rd
Als nächstes wollen wir untersuchen, unter welchen Bedingungen ein Lévy-Prozess monoton
wachsende Pfade besitzt.
Definition 3.9. Ein Lévy-Prozess heißt wachsend, falls die Trajektorien von X f.s. nichtfallend
sind, d.h. für alle 0 < s < t gilt Xs 6 Xt f.s. Ein wachsender Lévy-Prozess heißt auch Subordinator.
Satz 3.10. Für einen reellwertigen Lévy-Prozess X sind folgende Bedingungen äquivalent:
(i) Xt > 0 f.s. für ein t > 0.
(ii) Xt > 0 f.s. für alle t > 0.
(iii) X ist wachsend.
(iv) Es gilt Σ = 0, ν((−∞, 0]) = 0,
R∞
0
(x ∧ 1)ν(dx) < ∞ und γ0 = γ −
R
|x|61
xν(dx) > 0.
Beweis. (i)⇒(iii): Für jedes n ∈ N ist Xt die Summe aus n u.i.v. Zufallsvariablen Xtk/n −
Xt(k−1)/n , k = 1, . . . , n. Da Xt > 0 f.s., muss auch Xtk/n − Xt(k−1)/n > 0 f.s. für alle k gelten. Damit erhalten wir für alle p, q ∈ Q mit 0 < p < q, dass Xqt − Xpt > 0 f.s. Da die Pfade
cádlág sind, folgt hieraus (iii).
(iii)⇒(ii)⇒(i): Trivial.
R∞
(iii)⇒(iv) Da X monoton ist, ist es von endlicher Variation. Damit gilt Σ = 0 und −∞ (|x| ∧
1)ν(dx) < ∞. Zudem kann X f.s. keine negativen Sprüngen haben, d.h.
ν((−∞, 0]) = E JX [0, t] × (−∞, 0) = 0.
(9)
20
P
Aus der Darstellung Xt = γ0 t + s∈[0,t]:∆Xs 6=0 ∆Xs folgt, dass auch γ0 > 0 gelten muss.
(iv)⇒(iii): Unter den gegeben Annahmen, ist X von endlicher Variation.
Somit kann jeder Pfad
P
als Summe einer wachsenden linearen Funktion und den Sprüngen s∈[0,t]:∆Xs 6=0 ∆Xs dargestellt
werden. Wegen (9) treten aber negative Sprünge mit Wahrscheinlichkeit 0 auf, sodass X f.s.
nichtfallend ist.
Bemerkung
3.11. Es gibt Lévy-Prozesse ohne Diffusionskompente, negative Sprünge und mit
R1
xν(dx)
=
∞. Satz 3.10 besagt, dass solche Prozesse keine monoton wachsenden Pfade ha0
ben unabhängig vom Driftkoeffizienten. Die Erklärung diese „Phänomens“ ist, dass in diesem Fall
der Prozess nicht mehr die Summe seiner Sprünge ist, sondern diese kompensiert werden müssen.
Dieser Kompensator addiert sich zu einem „unendlich starken“ Drift, der nicht durch ein beliebig
großes γ ausgeglichen werden kann.
Übung 3.12. Sei X ein Subordinator. Dann ist für alle u, t > 0 die Laplacetransformierte von
Xt gegeben durch
Z
−uXt E e
= exp t
(e−ux − 1)ν(dx) − tγ0 u ,
u > 0.
(0,∞)
Beispiel 3.13 (Varianz-Gamma-Prozess). Es seien X = (Xt , t > 0) ein Lévy-Prozess mit charakteristischem Exponenten ψ sowie S = (St , t > 0) ein von X unabhängiger Subordinator mit
Laplacetransformation etl(u) := E[euSt ], u < 0. Dann ist
Y = (Yt , t > 0) mit Yt = XSt , t > 0,
ebenfalls ein Lévy-Prozess mit charakteristischer Funktion
E[eiuYt ] = exp tl ◦ ψ(u) , u ∈ R, t > 0
(Hausaufgabe 2
). Der Prozess S modelliert einen zufälligen Zeitwechsel bzw. eine zufällige Zeitskala. Im Finanzkontext kann diese als „business time“ interpretiert werden und modelliert bspw.
den Informationszufluss oder die Nervosität am Markt.
Betrachten wir nun den Spezialfall Xt = µt + σBt , t > 0, also eine (eindimensionale) Brownsche Bewegung mit Volatilität σ 2 > 0 und Drift µ ∈ R und wählen S als Gamma-Prozess mit
Parametern c, λ > 0. Dann ist l(u) = −c log(1 − u/λ). Für die Normierung E[St ] = t, wählen
wir c = λ = 1/κ für ein κ > 0 welches die Standabweichung von S1 bestimmt. Der resultierende Prozess Y = XS heißt Varianz-Gamma-Prozess und wird durch die drei Parameter (c, λ, κ)
beschrieben. Die charakteristische Funktion dieses reinen Sprungprozesses ist geben durch
E[eiuYt ] = 1 + iuµκ −
σ 2 κ 2 −t/κ
u
,
2
u ∈ R,
und das Lévy-Maß von Y ist gegeben durch
µ
σ2
ν(dx) =
exp 2 x −
µ|x|
σ
p
µ2 + 2σ 2 /κ |x| ,
σ2
x ∈ R.
Insbesondere hat Y unendliche Sprungaktivität, aber Pfade endlicher Variation.
3.2
Verteilungseigenschaften
Wir wissen bereits, dass für jeden Lévy-Prozess X die Verteilung PXt von Xt für jedes t > 0
unendlich teilbar ist und die charakteristische Funktion von Xt durch die Lévy-Khinchine-Formel
gegeben ist. Im Fall von zusammengesetzten Poisson-Prozessen lässt sich PXt explizit über das
Lévy-Maß ausdrücken.
21
Lemma 3.14. Ist X ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit Lévy-Maß ν, dann ist die Randverteilung durch das Faltungsexponential
PXt = e−tν(R
d
)
∞ k
X
t
k=0
k!
ν ∗k ,
t > 0,
gegeben. Dabei ist ν ∗0 := δ0 und für k > 1 bezeichnet ν ∗k die k-fache Faltung von ν mit sich selbst.
d PNt
Yn mit einem Poisson-Prozess
Beweis. Wir setzen λ := ν(Rd ) und ρ = λν . Dann gilt Xt = n=1
u.i.v.
N mit Intensität λ und unabhängigen (Yn )n>1 ∼ ρ. Somit gilt für jedes A ∈ BRd
P(Xt ∈ A) =
n
e−tλ (tλ)n
X X
P
Yk ∈ ANt = n
n!
n>0
k=1
=e−tλ δ0 (A) + e−tλ
X (tλ)n
X tn
ρ∗n (A) = e−tλ
ν ∗n (A).
n!
n!
n>1
n>0
Vorangegangenes Lemma zeigt insbesondere, dass zusammengesetzte Poisson-Prozesse ein
Atom/ eine Punktmasse in 0 haben. Eine Lebesguedichte besitzen die Randverteilungen im Allgemeinen also nicht. Ein hinreichendes Kriterium für die Existenz von Dichten liefert folgender
Satz:
Satz 3.15. Für einen Lévy-Prozess X mit charakteristischem Tripel (Σ, γ, ν) besitzt PXt eine
Lebesguedichte für jedes t > 0, falls eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i) Σ hat vollen Rang oder
(ii) ν besitzt eine Lebesguedichte auf Rd und es gilt ν(Rd ) = ∞.
Beweis. O.B.d.A. sei t = 1. Wir zeigen zunächst, dass die Faltung µ1 ∗ µ2 für zwei Maße µ1 , µ2
absolut stetig ist, falls µ1 oder µ2 absolutstetig bzgl. des Lebesguemaßes ist: Sei also µ1 absolutstetig. Für jedes B ∈ BRd mit |B| = 0 (Lebesguenullmenge), gilt dann auch |{x − y : x ∈ B}| = 0
für jedes y ∈ Rd und somit
Z
µ1 ∗ µ2 (B) =
µ1 (B − y)µ2 (dy) = 0.
Rd
(i) Es gilt PX1 = PY1 ∗ PZ1 für Y1 ∼ N (0, Σ) und eine unendlich teilbare Zufallsvariable Z1 mit
charakteristischem Tripel (0, γ, ν). Da Σ vollen Rang hat, besitzt Y1 eine Lebesguedichte auf Rd
und somit ist auch PX1 absolutstetig.
(ii) Betrachte νn := ν|{|x|>1/n} und cn := νn (Rd ) ↑ ∞. Es sei Y ein zusammengesetzter
Poisson-Prozess mit Lévy-Maß νn . Wir setzen µ = PX1 und µn := PY1 . Dann gilt
µn = e−cn δ0 +
X ν ∗k
n
k>1
k!
,
wobei der zweite Term absolutstetig ist, da mit ν auch νn absolutstetig ist. Es seien µ = µs + µc
und µn = µn,s + µn,c die Lebesguezerlegungen von µ bzw. µn in singulären und absolutstetigen
Teil bzgl. des Lebesguemaßes. Dann gilt
µn,s (Rd ) = e−cn δ0 (Rd ) → 0,
n → ∞.
Da µ = µn ∗ ρ für eine weitere unendlich teilbare Verteilung ρ, folgt
µs (Rd ) = (µn,s + µn,c ) ∗ ρ s (Rd ) 6 µn,s ∗ ρ(Rd ) = µn,s (Rd )
für alle n > 0, sodass µs (Rd ) = 0 folgt.
22
Wir untersuchen jetzt unter welchen Bedingungen die Momente der Randverteilungen eines
Lévy-Prozesses (oder äquivalent einer unendlich teilbaren Verteilung) endlich sind. Wir beginnen
mit einem Spezialfall.
Satz 3.16. Ist der Träger des Lévy-Maßes ν eines Lévy-Prozesses X beschränkt, so besitzt Xt für
jedes t endliche exponentielle Momente: Für alle c > 0 und t > 0 gilt E[ec|Xt | ] < ∞.
Beweis. O.B.d.A. sei t = 1. Wir betrachten zunächst den Fall d = 1. Es existiert ein a > 0, sodass
supp ν ⊆ [−a, a].
Aufgrund des beschränkten Trägers gilt
Z a
1
izX1 2
0
(eizx − 1 − iux)ν(dx) ,
z ∈ R,
ϕ(z) = E e
= exp − σz + iγ z +
2
−a
für geeignete σ > 0, γ 0 ∈ R. Die rechte Seite ist auch für jedes z ∈ C wohldefiniert und endlich.
Diese Funktion bezeichnen wir mit Ψ. Dann ist Ψ eine ganze Funktion (analytisch auf ganz C),
da wir Ableiten und Integrieren vertauschen können. Es gilt insbesondere für jedes n > 0
Z
dn Ψ(0)
= (ix)n PX1 (dx) =: in αn
dz n
R
für endliche αn und die Potenzreihe
∞ n
X
i αn n
z
n!
n=0
Ψ(z) =
besitzt unendlich großen Konvergenzradius. Für
Z
βn :=
|x|n PX1 (dx)
R
gilt β2m = α2m und β2m+1 6 α2m + α2m+2 für jedes m > 0. Damit ergibt sich
E ec|X1 | =
Z
ec|x| PX1 (dx) =
R
∞ n
X
X cn βn
i αn
63
(−ic)n < ∞.
n!
n!
n=0
n>0
Damit ist die Behauptung für R-wertige Lévy-Prozesse gezeigt.
(1)
(d)
Es sei nun d > 2 und Xt = (Xt , . . . , Xt ) ∈ Rd ein Lévy-Prozess mit supp ν ⊆ {x ∈ Rd :
|x| 6 a} für ein a > 0. Dann gilt
d
d
i
hY
h
X
i
(k)
(k) (k)
ecX1 + e−cX1
|X1 | 6 E
E ec|X1 | 6 E exp c
.
k=1
k=1
Durch Ausmultiplizieren des Produktes ergibt sich eine Summe aus endlich vielen Termen der
#
(1)
(d)
Form E[eXt ], wobei Xt# eine Linearkombination aus X1 bis X1 ist. Aus Korollar 2.29 folgt,
dass Xt# ebenfalls ein Lévy-Prozess ist dessen Lévy-Maß beschränkten Träger hat. Dadurch folgt
die Behauptung aus dem eindimensionalen Fall.
Damit können wir nun folgendes sehr allgemeine Resultat beweisen:
Satz 3.17. Es sei g : Rd → R+ eine lokal beschränkte (d.h. beschränkt auf jedem Kompaktum)
Funktion mit der Eigenschaft
g(x + y) 6 ag(x)g(y),
∀x, y ∈ Rd ,
für ein a > 0. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
23
(i) E[g(Xt )] < ∞ für ein t > 0.
(ii) E[g(Xt )] < ∞ für alle t > 0.
R
(iii) |x|>1 g(x)ν(dx) < ∞.
d
Beweis. Wir definieren ν0 := ν|{|x|61} und ν1 := ν|{|x|>1} und zerlegen X = Y + Z für zwei
unabhänigige Lévy-Prozesse in Rd , wobei Y ein zusammengesetzter Poisson-Prozess mit LévyMaß ν1 ist und Z das Lévy-Maß ν0 besitzt. Aufgrund der Submultiplikativität von g gilt für
b = a2 ∨ sup|x|61 g(x) und jedes x ∈ Rd mit n := d|x|e:
g(x) 6 ag
x n − 1 x n
g
x 6 an−1 g
6 an−1 bn 6 be|x| log(ab) =: bec|x| .
n
n
n
(10)
Mit dieser Vorbereitung zeigen nun die Äquivalenz:
(i)⇒(iii) Nach Annahme gilt für ein t > 0
Z Z
E[g(Xt )] =
g(x + y)PYt (dx)PZt (dy) < ∞.
Also existiert ein y ∈ Rd , sodass
g(x + y)PYt (dx) < ∞. Nach Lemma 3.14 gilt
X tn Z
g(x + y)ν1∗n (dx) < ∞.
n!
R
n>0
Aus (10) ergibt sich g(x) 6 ag(−y)g(x + y) 6 abec|y| g(x + y) und damit
Z
Z
1 X tn
g(x)ν1∗n (dx) < ∞.
g(x)ν1 (dx) 6
t
n!
n>0
(iii)⇒(ii) Aufgrund der Submultiplikativität folgt
Z
Z
Z
g(y)ν1∗n (dy) = · · · g(y1 + · · · + yn )ν1 (dy1 ) · · · ν1 (dyn )
Z
n
6 an−1
g(y)ν1 (dy)
und damit erhalten wir
E[g(Yt )] = e
−tν1 (Rd )
X tn Z
g(y)ν1∗n (dx) < ∞
n!
∀t > 0.
n>0
Anderseits folgt aus Satz 3.16 und (10), dass E[g(Zt )] < ∞ für jedes t > 0 gilt. Zusammen mit
der Unabhängigkeit von Y und Z ergibt sich
E[g(Xt )] 6 aE[g(Yt )]E[g(Zt )] < ∞.
(ii)⇒(i) ist trivial.
Übung 3.18. Zeigen Sie, dass g : Rd → R+ die Bedingung (10) erfüllt, wenn g(x), x =
(x1 , . . . , xd ) ∈ Rd , gegeben ist durch
a) |x|p ∨ 1 für p > 0,
b) |xj |p ∨ 1 für p > 0, j = 1, . . . , d,
c) log(|x| ∨ e),
d) exp(|x|β ) für ein β ∈ (0, 1].
24
3.3
Selbstähnlichkeit und stabile Verteilungen
Von der Brownschen Bewegung B kennen wir bereits die Selbstähnlichkeit
∀r > 0 :
B d
√rt
= (Bt )t>0 .
r t>0
Es liegt also nahe, die Frage zu stellen ob es auch andere Lévy-Prozesse gibt, die eine solche
Selbstähnlichkeit erfüllen.
Definition 3.19. Ein Lévy-Prozess X heißt selbstähnlich, falls
X d
d
rt
∀r > 0, ∃br > 0 :
br
d
t>0
= (Xt )t>0 .
d
Wir erhalten insbesondere brs X1 = Xrs = br Xs = br bs X1 . Es muss also brs = br bs für alle
r, s > 0 gelten. Aufgrund der Rechtsstetigkeit von X, muss r 7→ br stetig sein. Beides zusammen
d
impliziert bereits, dass br = rH für ein H ∈ R gelten muss. Insbesondere gilt Xt = tH X1 . Damit
schließt sich H = 0 aus. Wäre H < 0, dann würde Xt für t → ∞ schwach gegen 0 konvergieren,
was ebenfalls nicht sein kann. Wir erhalten also br = rH für ein H > 0.
Da die charakteristische Funktion von Xt durch ϕt = etψ für den charakteristischen Exponenten
ψ gegeben ist, ist die Selbstähnlichkeit von X äquivalent zu
∀r > 0 :
ϕt (u)r = ϕt (urH ) ∀u ∈ Rd .
Wollen wir auch einen Driftterm zulassen, müssen wir die rechte Seite mit einem Faktor eihc,ui für
et = Bt + γt gilt:
ein geeignetes c ∈ Rd versehen, da z.B. für B
∀r > 0 :
B
e √
d
et + ( r − 1)γt)t>0 .
√rt
= (B
r t>0
Dies führt auf folgende Definition:
Definition 3.20. Eine Zufallsvariable X ∈ Rd besitzt eine stabile Verteilung, falls für jedes r > 0
ein br > 0 und ein cr ∈ Rd existiert, sodass für die charakteristische Funktion ϕ von X gilt:
∀u ∈ Rd :
ϕ(u)r = ϕ(ubr )eihcr ,ui .
Die Verteilung heißt strikt stabil, falls cr = 0 für alle r > 0 erfüllt ist.
Die Bezeichnung stabil begründet sich in der Stabilität der Verteilung unter Addition: Ist die
Verteilung einer Zufallsvariable X stabil und sind X1 , . . . , Xn unabhängige Kopien von X, dann
gilt
d
X1 + · · · + Xn = bn X + cn .
Bemerkung 3.21. Die Klasse der stabilen Verteilungen charakterisiert die Menge aller möglichen
Grenzverteilungen normierter Summen von u.i.v. Zufallsvariablen: Für (Xk )k>1 u.i.v., betrachten
wir für n > 0
n
1 X
Sn :=
Xk − cn , bn > 0, cn ∈ Rd .
bn
k=1
Dann gilt: Sn konvergiert genau dann in Verteilung gegen ein X, wenn X eine stabile Verteilung
besitzt, cf. [Breiman: „Probability“, 1992, Kapitel 8].
Aus den Definitionen wird direkt klar, dass ein Lévy-Prozess genau dann selbstähnlich ist,
wenn seine Randverteilungen strikt stabil sind. Umgekehrt ist jede stabile Verteilung unendlich
teilbar (ϕ(u) = (ϕ(u/bn )e−ihcn /(nbn ),ui )n ) und wir finden einen zugehörigen Lévy-Prozess. Wir
erhalten also wie oben br = rH für ein H > 0.
25
Definition 3.22. Ein Lévy-Prozess heißt α-stabil für ein α > 0, falls für alle r > 0 ein cr existiert,
sodass
d
Xrt = r1/α Xt + cr t,
∀t > 0.
Man kann ganz allgemein zeigen, dass α stets kleiner als 2 sein muss. Wir konzentrieren uns
hier auf den eindimensionalen Fall:
Satz 3.23. Ein R-wertiger Lévy-Prozess X 6= 0 mit charakteristischem Tripel (σ, γ, ν) ist genau
dann α-stabil, wenn eine der beiden folgenden Bedingungen erfüllt ist:
(i) α = 2 und ν = 0.
(ii) α ∈ (0, 2), σ = 0 und ν(dx) = c± |x|−1−α dx für x ∈ R± \{0} und zwei Konstanten c+ , c− > 0.
Beweis. Für jedes r > 0, folgt aus Korollar 2.29, dass die Prozesse (Xrα t )t>0 und (rXt )t>0 die
charakteristischen Tripel (rα σ, rα γ, rα ν) bzw. (r2 σ, rγ, ν(·/r)) haben. Damit ist X genau dann
α-stabil, wenn rα σ = r2 σ und rα ν = ν(·/r) für alle r > 0 gilt. Insbesondere ist σ = 0, falls α 6= 2.
Schreiben wir nun F+ (x) = ν([x, ∞)) und F− (x) := ν((−∞, x]) erhalten wir
∀r > 0 : rα ν = ν(·/r)
⇐⇒
∀r, x > 0 : rα F± (rx) = F± (x).
In diesem Fall gilt somit F± (x) = x−α F± (1), x > 0. F± ist also differenzierbar auf (0, ∞) bzw.
(−∞,
0) und F±0 gibt die Lebesguedichte von ν auf R± \{0} an. Schließlich impliziert die Bedingung
R
2
(x ∧ 1)ν(dx) < ∞, dass α < 2 im Fall ν 6= 0 gelten muss.
R
Übung 3.24. Die charakteristische Funktion eines R-wertigen α-stabilen Lévy-Prozesses X ist
von der Form, u ∈ R,
πα ϕXt (u) = exp − tρα |u|α 1 − iβ sgn u tan
+ itµu , α 6= 1,
2
2
πα
ϕXt (u) = exp − tρ|u| 1 + iβ sgn u
log |u| + itµu , α = 1,
π
2
für den Stabilitätsindex α ∈ (0, 2], einen Skalierungsparameter ρ > 0, einen Lokationsparameter
µ ∈ R und einen Schiefeparameter β ∈ [−1, 1]. Im symmetrischen Fall β = µ = 0 ergibt sich
ϕXt (u) = exp(−tρα |u|α ).
Während die Form der charakteristischen Funktion einer stabilien Verteilung, beschrieben
durch die vier Parameter α, β, σ, µ, explizit vorliegt, findet man nur für Ausnahmefälle eine geschlossene Form für die Randdichten.
Beispiel 3.25.
(i) Die Normalverteilung N (µ, ρ2 ) ergibt sich mit α = 2, β = 0.
(ii) Die Cauchy-Verteilung ergibt sich mit α = 1, β = 0. Die durch ρ, µ parametrisierte Dichte
ist gegeben durch
ρ
.
π((x − µ)2 + ρ2 )
(iii) Die Lévy-Verteilung erhält man mit α = 1/2, β = 1 und wird beschrieben durch die Dichte
ρ 1/2
1
ρ
exp −
1{x>µ} .
3/2
2π
2(x − µ)
(x − µ)
Aus der expliziten Form des Lévy-Maßes eines α-stabilen Lévy-Prozesses X mit α ∈ (0, 2) folgt
mit Satz 3.17, dass für jedes p > 0 und jedes t > 0
E[|Xt |p ] < ∞
⇐⇒
p<α
gilt. Die Randverteilungen sind also heavy-tailed. In vielen Anwendungen ist diese Eigenschaft eher
unerwünscht, woraufhin folgende Klasse eingeführt wurde:
26
Beispiel 3.26. Ein R-wertiger Lévy-Prozess X = (Xt , t > 0) mit charakteristischem Tripel
(0, γ, ν) (keine Diffusionskomponente) für einen Driftparameter γ ∈ R und ein Lévy-Maß von
der Form
c− −λ− |x|
c+ −λ+ x
e
e
ν(x) =
1{x<0} + 1+α
1{x>0}
1+α
|x|
|x|
mit Parametern c± > 0, λ± > 0 und α ∈ (0, 2) heißt gemäßigt stabiler Lévy-Prozess (tempered
stable). Durch die zusätzlichen exponentiellen Faktoren werden die großen Sprung stark abgeschwächt, während die kleinen Sprünge ihr stabiles Verhalten behalten. Solche Prozesse werden
z.B. um Optionspreise zu modellieren.
A
Appendix: Resultate aus der Wahrscheinlichkeitstheorie
Sei (Ω, F, P) stets ein Wahrscheinlichkeitsraum.
Satz A.1 (Zentraler Grenzwertsatz von Lindeberg-Feller). Für jedes n ∈ N seien kn ∈
N und Xn,1 , . . . , Xn,kn ∈ L2 (P) reelle, zentrierte und unabhängige Zufallsvariablen. Es gelte
Pkn
l=1 Var(Xn,l ) = 1 für alle n ∈ N. Dann sind äquivalent:
Pkn
d
(i) Sn := l=1
Xn,l −→ N (0, 1) für n → ∞ und es gilt maxl=1,...,kn P(|Xn,k | > ε) → 0 für
n → ∞ und für jedes ε > 0.
(ii) Es gilt die Lindeberg-Bedingung:
∀ε > 0 :
kn
X
2
1
E Xn,l
1{|Xn,l |2 >ε2 Var(Sn )} → 0
Var(Sn )
für n → ∞.
l=1
Beweis. [Klenke, 2008, Satz 15.43].
Bemerkung A.2. Die Lindeberg-Bedingung wird von der ggf. leichter zu prüfenden LyapunovBedingung
kn
X
1
∀δ > 0 :
E |Xn,l |2+δ → 0 für n → ∞.
1+δ/2
Var(Sn )
l=1
impliziert.
Da für µ ∈ Rd und einer symmetrischen, positiv-semidefiniten Matrix Σ ∈ Rd×d die Äquivalenz
X ∼ N (µ, Σ)
⇐⇒
∀λ ∈ Rd : hλ, Xi ∼ N hλ, µi, hλ, Σλi
gilt [Klenke, 2008, Satz 15.53], ist folgender Satz sehr nützlich, um mehrdimensionale zentrale
Grenzwertsätze zu beweisen.
Satz A.3 (Cramér-Wold Device). Es seien Xn = (Xn,1 , . . . , Xn,d )> ∈ Rd , n ∈ N, Zufallsvektoren.
Dann sind äquivalent:
d
(i) Es gibt einen Zufallsvektor X mit Xn −→ X für n → ∞.
(ii) Für jedes λ ∈ Rd gibt es eine Zufallsvariable X λ mit hλ, Xn i =
Pd
k=1
d
λk Xn,k −→ X λ .
d
Gelten (i) und (ii), so ist X λ = hλ, Xi für jedes λ ∈ Rd .
Beweis. [Klenke, 2008, Satz 15.55].
Satz A.4 (Doobs Lp -Martingalungleichung). Sei M = (Mk , k ∈ N0 ) ein Martingal mit Mk ∈
Lp (P) für alle k ∈ N0 und ein p > 1. Dann gilt
p p
E sup |M |p 6
E[|Mn |p ].
p−1
k6n
27
Beweis. Vorlesung „Stochastische Prozesse“ oder [Kallenberg, Proposition 6.16].
Bemerkung A.5. Ist M = (Mt , t ∈ Q+ ), so folgt mit dominierter Konvergenz für T ∈ Q+
p p
E
sup |Mt |p 6
E[|MT |p ].
p−1
t∈Q+ :t6T
28