Blatt 1 Fallstudien der mathematischen Modellbildung [MA2902]

TU München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Mathematische Physik
WS 2012/2013
Prof. Dr. Silke Rolles
Dipl.-Math. Christian Döbler
Blatt 1
Fallstudien der mathematischen Modellbildung
[MA2902]
Ausgabe: 15. Oktober 2012
Die Aufgaben werden in den Übungen in der Woche vom 15. bis zum 19.10.2012
besprochen.
Für eine N0 -wertige Zufallsvariable X definiert
Funktion
P man die erzeugende
k
gX : [−1, 1] → R durch gX (t) := E[tX ] = ∞
P
(X
=
k)t
.
Diese
Reihe
konverk=0
giert nach dem Majorantenkriterium absolut auf [−1, 1]. Insbesondere ist gX auf
(n)
(−1, 1) analytisch und es gilt gX (0) = n!P (X = n) für alle n ∈ N0 . Somit ist die
Verteilung von X durch die erzeugende Funktion gX charakterisiert.
Aufgabe 1.
(a) Seien X, Y unabhängige N0 -wertige Zufallsvariablen. Zeigen Sie, dass dann für
Z := X + Y gilt, dass gZ = gX · gY ist.
(b) Beweisen Sie Lemma 1.6 aus der Vorlesung: Sind λ, µ ∈ [0, ∞] und
X ∼ P oisson(λ), Y ∼ P oisson(µ) unabhängige Zufallsvariablen, so hat
Z := X + Y die Verteilung P oisson(λ + µ).
Hinweis zu (b): Betrachten Sie erst die Fälle, dass mindestens einer der Paramter in der Menge {0, ∞} liegt. Der Fall λ, µ ∈ (0, ∞) kann sowohl direkt als auch
unter Verwendung erzeugender Funktionen behandelt werden.
Aufgabe 2. Seien N, X1 , X2 , . . . unabhängige N0 -wertige Zufallsvariablen, wobei
die Xj identisch verteilt seien. Seien g bzw. h die erzeugenden Funktionen von X1
P
bzw. von N . Weisen Sie für die „zufällige Summe“ SN := N
j=1 Xj die folgenden
Eigenschaften nach:
(a) Die erzeugende Funktion von SN ist gegeben durch h ◦ g.
(b) Falls N ∼ P oisson(λ) für ein λ ∈ (0, ∞), so heißt die Verteilung von SN
eine compound Poisson Verteilung. Bestimmen Sie die allgemeine Gestalt der
erzeugenden Funktion einer compound Poisson Verteilung.
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(c) Sei nun zusätzlich zu N ∼ P oisson(λ) angenommen, dass die Xj Bernoulliverteilt sind mit Parameter p ∈ (0, 1). Zeigen Sie, dass dann SN wieder Poissonverteilt ist zum Parameter λp.
Hinweis zu (a): Verwenden Sie die Aussage von Aufgabe 1 (a).
Bemerkung: Compound Poisson Verteilungen spielen eine große Rolle in der
Versicherungsmathematik bei der Modellierung des Gesamtschadens in einer gegebenen Zeitperiode. Die Anzahl der Schadensfälle wird dabei meist durch eine
Poisson-verteilte Zufallsvariable N modelliert und die Höhen Xj der einzelnen
Schäden werden als unabhängig und identisch verteilt angenommen.
Aufgabe 3. Inspizieren Sie die Heuristik am Ende von Kapitel 1 der Vorlesung und
überprüfen Sie, welche Annahmen an die zufällige Punktmenge verwendet werden,
damit für die Wahrscheinlichkeiten pn (t) die Poisson-Wahrscheinlichkeiten
pn (t) = e−µ(t)
herauskommen.
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µ(t)n
n!