I 4. Groÿe Übung

1
,
I
4. Groÿe Übung
Erinnerung:
Sei M eine Menge und sei Y ein normierter Vektorraum. Sei auÿerdem
g : M → Y eine Abbildung, wir erinnern uns daran, dass g beschränkt ist
genau dann, wenn
sup kg(x)kY < ∞.
Denitionen.
Seien d ∈ N und
h~x|~xi1/2 , wobei
x∈M
(Rd , k · kRd )
mit der euklidschen Norm
k~xkRd =
d
X
~x ~y :=
x ν yν
ν=1
das euklidsche Skalarprodukt auf Rd notiert.
Wir denieren die Vektorräume
X := C(Rd ; R) := f : Rd → R f ist stetig und beschränkt (I.1)
,
kf kX := kf kC(Rd ;R) := sup~x∈Rd |f (x)|,
(I.2)
und
Y := C(Rd ; Rd ) :=
f : Rd → Rd f
ist stetig und beschränkt (I.3)
,
kf kY := kf kC(Rd ;Rd ) := sup~x∈Rd kf (x)kRd .
(I.4)
Der Gradient: Sei g : Rd → R total dierenzierbar. Wir denieren den Gradienten von g (∇g) durch

∂
g
∂x1
 ∂ g
 ∂x2 

∀x = (x1 , · · · , xd ) : ∇g(x) := 

..
.
∂
g
∂xd


Es folgt (Siehe Vorlesung), dass
 
h1
 .. 
∂
∂
d
d
0
∀x ∈ R ∀h = (h1 , · · · , hd ) ∈ R : g (x)(h) = ( ∂x1 g(x) · · · ∂xd g(x))  . 
hd
=
Pd
∂
j=1 ∂xj ghj
= h∇g|hi.
(I.5)
2
,
Aufgabe 1.
Sei (fn )n∈N ⊂ C(Rd )N eine Folge. Wir nehmen an, dass die Folge
(fn )n∈N konvergiert. Sei
f := lim fn .
n→∞
Wir gehen davon aus, dass die Folge
vergiert. Sei
(∇fn )n∈N ⊂ C(Rd ; Rd )
kon-
H := lim ∇fn .
n→∞
Zeigen Sie, dass f dierenzierbar mit
∀h, x ∈ Rd : f 0 (x)(h) = hH(x)|hi
ist.
Beweis:
Wir wollen zeigen, dass
|f (x + y) − f (x) − hH(x)|yi|
= 0.
y→0
kykRd
∀x ∈ Rd : lim
(I.6)
Sei h ∈ Rd mit khkRd = 1. Wir denieren die Funktionen gn : R → R und
g : R → R durch
gn (t) := fn (x + th), g(t) := f (x + th).
(I.7)
Sei A : R → Rd deniert durch
A(t) := x + th.
(I.8)
gn = f n ◦ A
(I.9)
Es ist klar, dass
Jetzt berechnen wir die Ableitung A0 (t):
lim k
s→0
x + (t + s)h − (x + th) − sh
A(t + s) − A(t) − sh
kRd = lim k
kRd = 0,
s→0
s
s
was impliziert, dass
(I.10)
∀t ∈ R : A0 (t) = h.
(I.11)
Aus (I.9) und die Kettenregel folgt
∀t ∈ R : gn0 (t) = (fn ◦ A)0 (t) = fn0 (A(t))(A0 (t)) = fn0 (x + th)(h).
(I.12)
Aus (I.5) and (I.12) folgt:
∀t ∈ R : gn0 (t) = h∇fn (x + th)|hi.
(I.13)
3
,
Hier bemerken wir, dass gn eine Funktion ist, die von den reellen Zahlen in die reellen Zahlen abbildet. Deshalb können wir den Hauptsatz der
Integralrechnung benutzen:
Z
t
gn (t) − gn (0) =
gn0 (s)ds
t
Z
h∇fn (x + sh)|hids.
=
0
(I.14)
0
Für alle n ∈ N, sei θn : [−1, 1] → R deniert durch:
(I.15)
θn (s) = h∇fn (x + sh)|hi.
Wir denieren θ : [−1, 1] → R durch:
(I.16)
θ(s) = hH(x + sh)|hi.
Die Funktionen θn erfüllen die folgenden Bedingungen (siehe Übung 4.1):
i) θn und θ sind stetig (θn , θ ∈ C([−1, 1])).
ii)
lim kθn − θkC([−1,1]) = 0.
n→∞
(I.17)
(I.17) impliziert, dass die Folge (θn )n∈N gleichmäÿig zu θ konvergiert. Aus
Satz II.4 (Vorlessung) folgt
Z
∀t ∈ [−1, 1] : lim
n→∞
t
Z
θn (s)ds =
0
t
θ(s)ds
(I.18)
0
(I.7), (I.14) und (I.18) implizieren, dass
f (x + th) − f (x) = g(t) − g(0) = limn→∞ gn (t) − gn (0)
= limn→∞
Rt
0
θn (s)ds =
Rt
0
θ(s)ds =
Rt
0
(I.19)
hH(x + sh)|hids.
Da H : Rd → Rd stetig ist, folgt es (Siehe Übung 4.2), dass
(x)−hH(x)|yi
| = 0.
limy→0 | f (x+y)−fkyk
d
R
(I.20)
(I.20) impliziert, dass f dierenzierbar in x mit ∀y, x ∈ Rd f 0 (x)(y) = hH(x)|yi
ist.
Hinweis für Übung 4.2: Da
existiert δ > 0, sodass
H : Rd → Rd
stetig ist, für alle
kzkRd < δ =⇒ kH(x) − H(x + z)kRd < .
>0
4
,
Und deshalb folgt, dass für alle h ∈ Rd mit khkR
d
=1
|hH(x)|hi) − hH(x + z)|hi| < .
Mit kykR
d
< δ , t = kykRd
und h = kyky gilt
Rd
(x)−hH(x)|yi
(x)−hH(x)|thi
| f (x+y)−fkyk
| = | f (x+th)−f
|
kthk d
d
R
=|
R
Rt
0 hH(x+sh)|hids−hH(x)|thi
kthkRd
|=|
Rt
0 (hH(x+sh)|hi−hH(x)|hi)ds
kthkRd
|.