Übungsblatt 9 - Universität Bonn

V2B3 Partielle Differentialgleichungen und Funktionalanalysis
Wintersemester 2011/12, Universität Bonn
Prof. Dr. Benjamin Schlein
Niels Benedikter
Übungsblatt 9
Abgabe: 21.12.2011
Aufgabe 1: Die biharmonische Gleichung (4 Punkte)
Sei U ⊂ Rn offen und beschränkt. Für U mit glattem Rand ist die biharmonische Gleichung gegeben
durch
−∆2 u = f auf U
u = 0 auf ∂U
ν · ∇u = 0 auf ∂U,
für u ∈ C 4 (U ) ∩ C 1 (U ), wobei ν die Normale zu ∂U bezeichnet.
Finden Sie eine schwache Formulierung dieses Randwertproblems (in einem geeigneten Unterraum
von H 2,2 ) und zeigen Sie dafür Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung, wenn f ∈ L2 (U ).
Aufgabe 2: Hardy-Ungleichung (3 Punkte)
Zeigen Sie: Für alle ψ ∈ H01,2 (Rn ) mit n ≥ 3 gilt
Z
Z
4
|ψ(x)|2
dx ≤
|∇ψ|2 dx.
|x|2
(n − 2)2
Pn
Tipp: Für ξ(x) = x/|x|2 gilt div ξ = i=1 ∂i ξi = const/|x|2 für alle x ∈ Rn \ {0}.
Aufgabe 3: Satz von Hellinger-Toeplitz (2 Punkte)
Sei H ein Hilbertraum und sei A : H → H linear und symmetrisch, d. h.
hy, Axi = hAy, xi
∀x, y ∈ H.
(1)
Zeigen Sie: Dann ist A beschränkt.
Bemerkung: In der Quantenmechanik ist (1) eine natürliche Forderung. Da dies nach Blatt 6,
Aufgabe 5 aber nicht für Orts- und Impulsoperator realisierbar ist, ist man gezwungen, Operatoren
zu betrachten, die nur auf dichten Unterräumen definiert sind.
Aufgabe 4: Bilineare Funktionale (2+2 Punkte)
a. Sei X ein Banachraum über K (mit K = R oder C). Ein bilineares Funktional auf X ist eine
Abbildung B : X × X → K, sodass für alle x, y ∈ X die Abbildungen B(x, ·) : X → K und
B(·, y) : X → K lineare Funktionale auf X sind.
Sei B ein bilineares Funktional auf X, welches in beiden Variablen separat stetig ist (d. h. B(x, ·)
and B(·, y) sind stetig für jedes feste x, y ∈ X).
Zeigen Sie, dass es eine Konstante C > 0 gibt, sodass |B(x, y)| ≤ Ckxkkyk für alle x, y ∈ X.
Folgern Sie, dass B auf X × X stetig ist bzgl. der Norm k(x, y)k = kxk + kyk.
b. Sei P der Vektorraum der reellen Polynome in einer Variablen, versehen mit der Norm kpk =
R1
|p(t)|dt, für p ∈ P. Sei
0
Z 1
B(p, q) =
p(t)q(t)dt.
0
Zeigen Sie, dass B ein (reelles) bilineares Funktional auf P ist, welches in beiden Variablen
separat stetig ist. Beweisen Sie, dass B aber auf P × P nicht stetig ist.
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Wintersemester 2011/12, Universität Bonn
Prof. Dr. Benjamin Schlein
Niels Benedikter
Aufgabe 5: Zum Satz von Baire (1+2 Punkte)
˚
Eine Teilmenge A eines metrischen Raumes M heißt nirgends dicht,
S∞ falls A = ∅. Es heißt A mager,
falls es eine Folge nirgends dichter Mengen Ai gibt, sodass A = i=1 Ai .
a. Zeigen Sie: Es ist A genau dann nirgends dicht, wenn M \ A dicht ist in M .
b. Zeigen Sie: Es gibt eine magere Menge A ⊂ R, sodass R \ A eine Lebesgue-Nullmenge ist.
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