Algebra, ¨Ubungen 8 1) Es sei φ : R → S ein Homomorphismus von

Algebra, Übungen 8
1) Es sei φ : R → S ein Homomorphismus von kommutativen unitären
Ringen. Es seien s1 , . . . , st ∈ S. Es seien ni > 0 natürliche Zahlen für
i = 1, . . . t. Wir nehmen an, dass jedes si in dem Ring S einer Gleichung
genügt:
sni i + φ(ai,ni −1 )sni −1 + . . . φ(ai,1 )s + φ(ai,0 ) = 0,
wobei ai,m ∈ R.
Man beweise, dass die Elemente
se11 se22 · . . . · set t ,
0 ≤ ei < ni
eine Erzeugendensystem des R-Moduls R[s1 , . . . , st ] sind.
2) Es sei R eine faktorieller Ring und es sei K sein Quotientenkörper. Es
sei u ∈ K ganz über R bezüglich der Inklusion R ⊂ K.
Man beweise, dass u ∈ R.
(Hinweis: Man schreibe u = a/b, wo a, b ∈ R teilerfremde Elemente sind.)
3) Es sei p eine Primzahl. Es sei R ein kommutativer Ring. Es sei u ∈ R.
Wir nehmen an, dass die folgende Relation erfüllt ist:
1 + u + u2 + . . . + up−1 = 0.
Man beweise, dass im Polynomring R[T ] die folgende Relation gilt:
p−1
Y
(T − ui ) = T p − 1.
i=0
(Man kann das auf den Fall zurückführen wo R das Bild des Ringhomomorphismus Z[X] → C ist, der die Unbestimmte X auf e2πi/p abbildet.)
4) Es sei E ein Körper und A ∈ M (2n × 2n, E) eine Matrix, so dass
A = − t A und det A 6= 0. Aus der linearen Algebra weiß man, dass es eine
invertierbare Matrix C gibt, so dass t CAC = H die Blockmatrix ist, auf
deren Diagonale die Blöcke
0 1
−1 0
stehen und deren übrige Einträge 0 sind.
Wir betrachten einen Körper K und Unbestimmte Tij , wo i, j ∈ [1, 2n]
und j > i. Es sei R = K[Tij ] der Polynomring und es sei E sein Quotientenkörper. Wir definieren Tji = −Tij ∈ R, und Tii = 0 für i ∈ [1, 2n].
Man beweise, dass es ein Polynom P (Tij ) ∈ R gibt, so dass
det(Tij ) = P (Tij )2 .
Man nennt P die Pfaffsche Form.
(Hinweis: Zunächst zeige man, dass so ein P ∈ E existiert. Dann benutze
man, dass der Ring R faktoriell ist.)