Analysis 1

Prof. Dr. B. Niethammer
Dr. C. Seis, R. Schubert
Institut fr Angewandte Mathematik
Universitt Bonn
Grundbegriffe aus Logik und Mengenlehre
Wir wollen im Folgenden eine kurze Einführung in die Grundbegriffe der Logik und Mengenlehre geben. Wir gehen dabei nicht axiomatisch vor, sondern nehmen einen naiven
Standpunkt ein.
Aussagenlogik
Die Mathematik befasst sich mit Aussagen, denen sich ein eindeutiger Wahrheitswert wahr“ (w) oder falsch“ (f) zuordnen lässt. Dies lässt sich formal anhand einer
”
”
Wahrheitstafel illustrieren:
Aussage
Wahrheitswert
1 + 1 = 2.
w
Jedes Dreick hat vier Seiten.
f
Nicht jedes Dreieck hat vier Seiten.
w
2 ist eine Primzahl größer als 5.
f
Wenn f differenzierbar ist, dann ist f stetig.
w
Im Folgenden bezeichnen wir Aussagen mit kaligraphischen Buchstaben A, B, C, D, . . . .
Wir wollen nun einige Operatoren für Aussagen einführen.
• Die Negation einer Aussage A wird mit ¬A bezeichnet.
A ¬A
w
f
f
w
Ist zum Beispiel A die (falsche) Aussage Jedes Dreieck hat vier Seiten“, so ist ¬A
”
die (wahre) Aussage Nicht jedes Dreieck hat vier Seiten“. Die negierte Aussage
”
lässt sich auch äquivalent umformulieren als Es gibt ein Dreieck, das nicht vier
”
Seiten hat“.
• Die Konjunktion ist die Verknüpfung zweier Aussagen A und B mit und“. Sie
”
wird mit A ∧ B bezeichnet. Die Adjunktion ist die Verknüpfung mit oder“. Sie
”
wird mit A ∨ B bezeichnet.
1
A B
w w
w f
f w
f f
A∧B
w
f
f
f
A∨B
w
w
w
f
Beispiel: Ist A die wahre Aussage 2 ist Primzahl“ und B die falsche Aussage
”
2 ≥ 5“, so ist A ∧ B die Aussage 2 ist Primzahl und größer gleich 5“. Diese
”
”
Aussage ist offensichtlich falsch. Andererseits ist die Adjunktion A ∨ B, also 2 ist
”
Primzahl oder größer gleich 5“, wahr.
• Die Implikation A impliziert B“ wird mit A =⇒ B bezeichnet. Sie drückt aus:
”
Wenn A wahr ist, so ist auch B wahr“ oder A ist hinreichend für B“ oder B ist
”
”
”
notwendig für A“.
A B A =⇒ B
w w
w
w f
f
f w
w
f f
w
Beispiele: 1) Wenn es regnet, ist die Erde nass.“ Diese Aussage ist sicherlich wahr.
”
Aus der Tatsache die Erde ist nass“, lässt sich jedoch nicht folgern, dass es regnet.
”
Ist die Erde aber nicht nass, folgt zwingend es regnet nicht“. 2) Die Aussage
”
Wenn es heute regnet, fresse ich einen Besen“ hat die Form einer Implikation.
”
Da die Aussage ich fresse einen Besen“ sicher falsch ist, ist die Implikation genau
”
dann wahr, wenn die Aussage es regnet heute“ falsch, oder es regnet heute nicht“
”
”
wahr ist. Genau dies ist aber, was die Behauptung eigentlich aussagen soll...
• Die Äquivalenz von zwei Aussagen A und B wird mit A ⇐⇒ B bezeichnet. Sie
besagt A ist genau dann wahr, wenn B wahr ist“, oder dass A notwendig und
”
”
hinreichend für B“. Die Disjunktion A ∨˙ B ist genau dann wahr, wenn A und B
entgegengesetzte Wahrheitswerte haben, also entweder es gilt A oder es gilt B“.
”
A B
w w
w f
f w
f f
A ⇐⇒ B
w
f
f
w
A ∨˙ B
f
w
w
f
Es gelten folgende Sätze:
1. Für jede beliebige Aussage A sind folgende Aussagen stets wahr:
A ⇐⇒ ¬(¬A),
A ∨˙ (¬A),
2
¬ (A ∧ (¬A)) .
2. Für jede beliebige Aussagen A und B sind folgende Aussagen stets wahr: Das Kontrapositionsgesetz,
(A =⇒ B) ⇐⇒ (¬B =⇒ ¬A) ,
die Kommutativgesetze
A ∧ B ⇐⇒ B ∧ A,
A ∨ B ⇐⇒ B ∨ A,
sowie die De Morgan’schen Regeln
¬ (A ∧ B) ⇐⇒ ¬A ∨ ¬B,
¬ (A ∨ B) ⇐⇒ ¬A ∧ ¬B.
3. Für jede beliebige Aussagen A, B und C sind folgende Aussagen stets wahr: Die
Assoziativgesetze
A ∧ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∧ C,
A ∨ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∨ C,
und die Distributivgesetze
A ∧ (B ∨ C) ⇐⇒ (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) ,
A ∨ (B ∧ C) ⇐⇒ (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ,
sowie
(A =⇒ B) ∧ (B =⇒ C) =⇒ (A =⇒ C) .
In der Formulierung haben wir entsprechend der arithmetischen Vereinbarung Punkt”
rechnung geht vor Strichrechnung“ die folgenden Vorrangigkeitsregeln verwendet:
¬ vor ∧, ∨, ∨˙ vor
=⇒, ⇐⇒ .
Mengenlehre
Wir verstehen eine Menge naiv als eine Zusammenfassung von Objekten. Für die Beschreibung von Mengen verwenden wir in der Regel Mengenklammern, in denen die
einzelnen Elemente der Menge aufgelistet werden. Beispiele:
• {#, 4, ◦} ist die Menge der Zeichen #, 4 und ◦.
• {a, b, c, . . . , x, y, z} ist die Menge der kleinen lateinischen Buchstaben.
• N = {1, 2, 3, . . . } ist die Menge der natürlichen Zahlen.
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• {2, 3, 4, . . . , 111, 112, 113} ist die Menge der natürlichen Zahlen von 2 und bis 113.
• {2, 3, 5, 7, 11, 13} ist die Menge der Primzahlen kleiner gleich 13.
• Die Menge, die kein Element enthält ist die leere Menge. Sie wird mit ∅ bezeichnet.
Mengen werden meist mit Großbuchstaben bezeichnet. Ist A eine Menge, und x ein
Objekt in dieser Menge, so schreiben wir x ∈ A. Ist y kein Element der Menge A,
so schreiben wir y 6∈ A. Zum Beispiel ist 4 ∈ N, aber 1/3 6∈ N. In manchen Fällen
werden Mengen durch eine Aussage definiert. Zum Beispiel bezeichnen wir die Menge
aller Elemente x aus der Menge A, für die die Aussage A(x) gilt mit
{x ∈ A : A(x)}.
Zum Beispiel
{x ∈ N : x ≤ 13} = {1, 2, 3, . . . , 11, 12, 13},
oder
{x ∈ N : x ist gerade} = {2, 3, 4, 5, 6 . . . }.
Die Elemente einer Menge sind im Allgemeinen nicht geordnet, d.h. es ist {a, b} die
gleiche Menge wie {b, a}. In der Praxis lässt sich die Gleichheit zweier Mengen häufig
mittels Mengeninklusionen verifizieren: Sind zwei Mengen A und B gegeben, so sagen
wir, dass A Teilmenge von B“ ist oder dass A in B enthalten ist“ falls jedes Element
”
”
von A auch ein Element von B ist. Also falls gilt:
x ∈ A =⇒ x ∈ B.
In diesem Fall schreiben wir A ⊂ B. Demnach sind die Mengen A und B gleich, also
A = B, falls A ⊂ B und B ⊂ A. Insbsondere gilt immer A ⊂ A. Ausserdem gilt offenbar
für beliebige Mengen A, B und C,
A ⊂ B ∧ B ⊂ C =⇒ A ⊂ C.
Zu jeder beliebigen Menge A existiert genau eine Menge, deren Elemente gerade die
Teilmengen von A sind. Diese Menge wird als Potenzmenge von A bezeichnet und wir
schreiben
P(A) := {B : B ⊂ A}.
Hier haben wir die Schreibweise := verwendet. Sie dient zur Definition neuer Begriffe
oder Symbole. Der neu zu definierende Begriff steht dabei immer auf der Seite des
Doppelpunktes.
Wir definieren abschließend eine Reihe von Mengenoperationen. Hierfür sei X eine beliebige Menge, und A, B ∈ P(X) beliebige Teilmengen.
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• Der Durchschnitt von A und B ist
A ∩ B := {x ∈ X : x ∈ A ∧ x ∈ B} .
Wir nennen A und B disjunkt falls A ∩ B = ∅.
• Die Vereinigung von A und B ist
A ∪ B := {x ∈ X : x ∈ A ∨ x ∈ B} .
Sind A und B disjunkt, so bezeichnen wir A ∪˙ B := A ∪ B als die disjunkte
Vereinigung von A und B.
• Das Komplement von B in A ist
A \ B := {x ∈ X : x ∈ A ∧ x 6∈ B} .
Ist X als Grundmenge fixiert, so schreiben wir kurz
Ac := X \ A
für das Komplement von A.
Es gelten folgende Rechenregeln:
1. Für beliebige Mengen A ∈ P(X) gilt
(Ac )c = A.
2. Für beliebige Mengen A, B ∈ P(X) gelten die Kommutativgesetze
A ∪ B = B ∪ A,
A ∩ B = B ∩ A,
sowie die De Morgan’schen Regeln
(A ∩ B)c = Ac ∪ B c ,
(A ∪ B)c = Ac ∩ B c .
3. Für beliebige Mengen A, B, C ∈ P(X) gelten die Distributivgesetze
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
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Zum Abschluss betrachten wir noch Durchschnitte und Vereinigungen von beliebigen
Mengensystemen“. Für eine Menge (ein Mengensystem) A ⊂ P(X) sei deren Durch”
schnitt durch
\
A := {x ∈ X : A ∈ A =⇒ x ∈ A} ,
A∈A
und deren Vereinigung durch
[
A := {x ∈ X : es existiert ein A ∈ A mit x ∈ A}
A∈A
definiert. Zum Beispiel ist für A = ∅
\
A=X
und
A∈∅
[
A∈∅
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A = ∅.