Arbeitsbogen zur Mathevorbereitung

Mathe-Vorkurs – Teil 1
Mengenlehre
Während des gesamten Studiums wird euch der Begriff der Menge begleiten und so bietet es sich an,
sich im Vorfeld mit den Grundbegriffen auseinander zu setzen. Üblicherweise wird man sich zu
Beginn der mathematischen Ausbildung auch zunächst mit Mengenlehre beschäftigen.
Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre, formulierte es so:
„Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen
Objecten m unsrer Anschauung oder unseres Denkens (welche ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu
einem Ganzen.“
In den meisten Fällen wird uns diese sogenannte „naive Mengenlehre“ reichen, um mit dem
Mengenbegriff umzugehen.
Beispiele für Mengen sind etwa:
1. die Menge aller Studenten
2. die Menge
3. die Mengen
der natürlichen Zahlen
der ganzen Zahlen,
der rationalen Zahlen,
der reellen Zahlen und
der
komplexen Zahlen
4. die leere Menge , die keine Elemente enthält
Um anzugeben, dass ein Element
in einer Menge
enthalten ist schreiben wir
Falls das Gegenteil der Fall ist, schreibt man
Mit Hilfe dieser Zeichen können wir nun Mengen auch angeben, indem wir charakterisierende
Eigenschaften angeben. So ist
und
beispielsweise die Menge aller reellen Zahlen,
die größer als 4 sind.
Mengenoperationen
Seien
Mengen. Dann schreiben wir:

, wenn

(„ ist Teilmenge von “), wenn jedes Element aus
und
Das Gegenteil von
dieselben Elemente enthalten
ist .
auch in
enthalten ist;

(„Durchschnitt von
als auch in

und “), falls wir die Menge der Elemente meinen, die sowohl in
enthalten sind, d.h.
(„Vereinigung von
und
und “), falls wir die Menge der Elemente meinen, die in einer
der beiden oder in beiden Mengen enthalten sind, d.h.

(„Differenz von
und “), falls wir die Menge der Elemente aus
enthalten sind, d.h.
Sei
nun eine Menge, die
oder
meinen, die nicht in
und
übergeordnet ist, d.h.
, dann heißt ̅
Komplement von
in .
Das Kreuzprodukt
Das Kreuzprodukt (oder kartesisches Produkt) zweier Mengen
(
und
ist definiert als
)
es ist also die Menge aller Paare eines Elements aus
mit einem Element aus .
Logik und Aussagen
Nun haben wir oben zunächst etwas blauäugig Aussagen über Mengen getroffen ohne zu wissen,
was eine Aussage eigentlich ist und wie man mit Aussagen arbeitet. Da es jedoch zu den absoluten
Grundlagen gehört, wollen wir uns nun angucken, wie man Aussagen formuliert und logisch
verknüpft. Wir erhalten damit zugleich eine mächtige Kurzschrift, um Definitionen, Sätze und
Beweise zu schreiben und zu verstehen.
Definition
Eine Aussage ist ein Satz, dem man einen Wahrheitsgehalt zuweisen kann.
Die Junktoren
Wenn
und
und
zwei Aussagen sind, dann ist

wahr, wenn
wahr ist und

wahr, wenn
wahr ist oder

wahr, wenn
wahr ist
wahr ist oder beide wahr sind
falsch ist
bedeutet, dass aus
folgt.
bedeutet, dass aus
folgt und umgekehrt.
Die Quantoren
Für eine Aussage
und
und eine Menge
können wir folgende Aussagen mit Quantoren erzeugen:

bedeutet:
für alle

bedeutet:
es gibt (mindestens) ein in , für das

bedeutet:
es gibt genau ein

bedeutet:
es gibt kein
aus
ist
wahr
in , für das
in , für das
wahr ist
wahr ist
wahr ist
Quadratische Gleichungen
Dieser Abschnitt soll nur als kurze Erinnerung dienen, vor allem für die sogenannte p,q-Formel, die
man leider allzu gerne immer mal wieder vergisst.
Eine quadratische Gleichung hat die Form
für Zahlen
.
Die p,q-Formel
Die p,q-Formel besagt, dass eine quadratische Gleichung der obigen Form folgende mögliche
Lösungen hat:
√( )
√( )