Klausur20013

F A C H H O C H S C H U L E
F Ü R
D I E
W I R T S C H A F T
F H D W ,
H A N N O V E R
THEORETISCHE GRUNDLAGEN:
NAIVE MENGENLEHRE
K LAUSUR
Studiengang: Informatik
Studienquartal: II. Theoriequartal
Prüfungsumfang:
Halmos. Naive Set Theory. 1960; Kapitel 1 - 13
Dozent: Michael Löwe
Termin: 24. September 2001
Dauer: 45 Minuten
40 Punkte sind zu erreichen: davon Wissen 16 Punkte, Anwendung 16 Punkte, Transfer 8 Punkte.
Bestanden ab 20 Punkte.
TEIL I: WISSEN (15 MINUTEN)
Aufgabe 1 (3 Punkte): Wann sind zwei Mengen gleich? Was gilt dem entsprechend und was gilt nicht:
(a) A  B = B  A,
(b) A  B = B  A,
(c) A – B = B – A,
(d) P (A)  P (B)=P (A  B)?
Aufgabe 2 (5 Punkte): Welches Axiom der Mengenlehre ist dafür verantwortlich, dass es die leere Menge gibt, wenn
es überhaupt eine Menge gibt? Wie? Warum gibt es nur genau eine leere Menge? Die leere Menge hat viele interessante
Eigenschaften! Ergänzen Sie die folgenden Gleichungen1:
(a) A   = ?
(b) A   = ?
(c) A   = ?
(d) A –  = ?
(e)  – A = ?
(f) P () = ?
(g) A = ?
(h) Wenn A  , dann A = ?
Aufgabe 3 (4 Punkte): Die natürlichen Zahlen werden in der naiven Mengenlehre als eindeutig bestimmte Mengen
konstruiert: 0 = , 1 = 0+, 2 = 1+, etc. Dabei ist allgemein A+ = A  {A} für beliebige Mengen A. Geben sie die
Mengen 0, 1, und 2 an!
Was gilt für natürliche Zahlen n, m und k, und was gilt nicht:
(a) n  m  n  m,
(b) n  m  n  m,
(c) n  m  n  m = n,
(d) n  m und m  k  n  k ?
Aufgabe 4 (4 Punkte): Man kann mit Hilfe der Axiome der Mengenlehre für jede beliebig vorgegebene Menge A
eine Menge B konstruieren mit B  A. Wie? Warum führt die Existenz einer solchen Menge B für jedes vorgegebene
A dazu, dass man den Schnitt über der leeren Menge nicht bilden kann?
TEIL II: ANWENDUNG ( 15 MINUTEN)
Auf handelsüblichen Computern lassen sich die natürlichen Zahlen nicht vollständig darstellen, sie können nur
angenähert werden. Denn irgendwann erzeugt jeder Datentyp für die natürlichen Zahlen auf einer endlichen
Maschine, wie es nun mal sämtliche unserer Computer sind, einen Überlauf. Den Überlauf kann man auf zweierlei
1
YX steht für die Menge aller Funktionen von X nach Y.
Weise behandeln, nämlich durch (a) Modulo-Arithmetik2 und (b) Fehlerelemente. Beiden Verfahren liegt eine
Relation auf den natürlichen Zahlen zugrunde:
Sei m   fest vorgegeben3.Wir betrachten folgende Relationen M und T auf :
(a) (x, y)  M genau dann wenn x = y + (m  z) für irgendeine ganze Zahl z.4
(b) (x, y)  T genau dann wenn (i) x = y oder (ii) x  m und y  m.
Aufgabe 5 (6 Punkte): Zeigen Sie, dass M und T Äquivalenzrelationen sind?
Aufgabe 6 (3 Punkte): Sei m = 3. Wie sehen in diesem Fall die Zerlegungen |M und |T aus? Geben Sie die
Zerlegungen so an, dass sie die natürlichen Zahlen bis einschließlich 10 in die Teilmengen der Zerlegung
(Äquivalenzklassen) einsortieren und den Rest durch „...“ andeuten!
Aufgabe 7 (4 Punkte): Wir definieren jetzt die Nachfolgerfunktion auf |M und |T, indem wir die
Nachfolgerabbildung +:    auf  benutzen.
(a)
+:
|M  |M sei definiert durch: [x] + = [x+] bzw. (b) +: |T  |T sei definiert durch: [x] + = [x+]
Was muss man in beiden Fällen zeigen, damit diese Art der Definition wirklich eine Funktion ergibt?
Ist das bei beiden Relationen der Fall? (Achtung: Nur Antwort gewünscht, kein Beweis!)
Aufgabe 8 (3 Punkte): Wie definieren Sie die Addition und die Multiplikation auf |M bzw. |T?
TEIL III: TRANSFER (15 MINUTEN)
Das kartesische Produkt A  B zweier Mengen A und B zusammen mit den beiden
Projektionsabbildungen a: A  B  A definiert durch a((x, y)) = x und b: A  B  B
definiert durch b((x, y)) = y hat folgende interessante Eigenschaft:
C
u
cA
cB
AB
a
b
A
B
Produkteigenschaft: Für jede andere Menge C und vorgegebene Abbildungen cA: C  A und
cB: C  B existiert genau eine Abbildung u: C  A  B mit den Eigenschaften (i) a  u = cA
und (ii) b  u = cB.
Aufgabe 9 (5 Punkte): (a) Definieren Sie die Abbildung u für eine vorgegebene Menge C
und vorgegebene Abbildungen cA: C  A und cB: C  B! (b) Zeigen Sie, dass u Abbildung ist! (c) Beweisen Sie die
Eigenschaften (i) und (ii) für das definierte u! (d) Und zeigen Sie, dass es nur ein u mit den Eigenschaften gibt.
Aufgabe 10 (1 Punkt): Was ist u, wenn wir als Vergleichsobjekt (C, cA, cB) das Produkt
AB
selbst, nämlich (A  B, a, b), wählen? (Vergleiche Abbildung rechts!)
u? b
Wir sagen, dass eine Menge X zusammen mit Abbildungen a: X  A und b: X  B das
a
AB
abstrakte Produkt von A und B ist, wenn es dieselbe Produkteigenschaft hat wie AB, i . e. wenn
für jede andere Menge C und Abbildungen c A: C  A und cB: C  B genau eine Abbildung
a
b
u: C  X existiert mit (i) a  u = cA und (ii) b  u = cB.
A
B
Aufgabe 11 (1 Punkt): Sei (X, a: X  A , b: X  B) abstraktes
X
Produkt von A und B. Wie sieht das eindeutig existierende u aus, wenn wir in der
u?
Produkteigenschaft von X für das Vergleichsobjekt C wieder (X, a: X  A , b: X  B)
a
b
wählen?
X
a
A
b
B
Aufgabe 12 (1 Punkt): Zeigen Sie: Wenn (X1, a1: X1  A , b1: X1  B) und (X2, a2: X2 
A , b2: X2  B) abstrakte Produkte derselben Mengen A und B sind, dann ist u: X 1  X2
bijektiv.
Eigentlich gar keine wirkliche Behandlung des Überlaufs.
 ist die Bezeichnung für die Menge der natürlichen Zahlen; m steht kurz für „Maximale Anzahl der Zahlen“.
4 Achtung: z kann positiv, negativ oder gleich 0 sein!
2
3