Mengenlehre

Mengenlehre
Mengenlehre
Vorkurs Informatik
WS 2013/14
30. September 2013
Vorkurs Informatik - WS2013/14
Mengenlehre > Die Sprache der Mathematik > Mengen
Mengen
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Mengen
Definition (Menge)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu
einem Ganzen.
Ist m ein Element der Menge M so schreiben wir m ∈ M, sonst
schreiben wir m 6∈ M.
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Beispiele
Beispiel 1:
Die Menge aller Primzahlen.
Die Menge aller Buchstaben des dt. Alphabets.
Die Menge M1 := {Lucy , Paul, Sasha}
Die Menge M2 := {Haus, Auto, Kind}
N := {0, 1, 2, 3, 4, . . .} (die Menge der natürlichen Zahlen.)
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (die Menge der ganzen Zahlen.)
Q := { ba | a, b ∈ Z, b 6= 0} (die Menge der rationalen Zahlen.)
R := Menge der reellen Zahlen.
R≥0 := Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.
Die Menge N := {z ∈ Z | es gibt ein k ∈ Z so dass z = 5 · k}.
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Beispiele
Die leere Menge: ∅ := {}
{∅} (Man beachte: {∅} =
6 ∅.)
Definition
Seien X und Y Mengen.
X und Y sind gleich, in Zeichen X = Y , falls X und Y dieselben
Elemente enthalten.
X heißt Teilmenge ( Untermenge) von Y , in Zeichen X ⊆ Y ,
wenn jedes Element von X auch ein Element von Y ist. (Dann ist
X die Obermenge von Y (in Zeichen X ⊇ Y )
X heißt echte Teilmenge von Y , in Zeichen X ( Y (oder kurz
X ⊂ Y ), wenn X ⊆ Y ist, aber X = Y nicht gilt.
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Satz 1
Satz 1:
Seien X , Y und Z Mengen, für die X ⊆ Y und Y ⊆ Z gilt. Dann gilt
auch X ⊆ Z .
Beispiel:
Sei X = {Haus}, Y = {Auto, Haus}, Z = {π, Haus, Auto} Somit ist
X ⊆ Y und Y ⊆ Z Also gilt auch: X ⊆ Z
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Satz 2
Satz 2:
Seien X und Y Mengen. X = Y gilt genau dann, wenn X ⊆ Y und
Y ⊆ X gelten.
Beispiel:
Sei X = {2, 3}, Y = {1, 2, 3} ⇒ X ⊆ Y aber nicht Y ⊆ X ! Sei
X = {1, 2, 3}, Y = {2, 3} ⇒ Y ⊆ X aber nicht X ⊆ Y !
Aber wenn zB. gilt:
X = {1, 2, 3} und Y = {1, 2, 3}⇒ X ⊆ Y und Y ⊆ X ⇒ X = Y
Beweis: Angenommen, dass X und Y Mengen sind.
⇒ “: Zu zeigen Wenn X = Y gilt, dann gelten auch X ⊆ Y und
”
”
Y ⊆ X. “
Angenommen, es gilt X = Y . Dann enthalten X und Y dieselben
Elemente. Also ist jedes Element von X auch Element von Y , also
X ⊆ Y , und jedes Element von Y ist auch Element von X , also
Y ⊆ X.
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Beweis Teil 2
⇐ “: Zu zeigen Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ X gelten, dann gilt auch
”
”
X = Y. “
Angenommen, es gelten X ⊆ Y und Y ⊆ X . Dann ist jedes Element
von X auch ein Element von Y und jedes Element von Y ist auch ein
Element von X . Also enthalten X und Y dieselben Elemente, und
somit X = Y .
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Definition
Definition
Seien M und N Mengen.
Der Schnitt von M und N ist die Menge
M ∩ N := {z | z ∈ M und z ∈ N}.
Die Vereinigung von M und N ist die Menge
M ∪ N := {z |z ∈ M oder z ∈ N}.
Die Differenz von M und N ist die Menge
M \ N := {z | z ∈ M und z 6∈ N}.
M und N heißen disjunkt, falls M ∩ N = ∅.
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Definition
Definition
Eine Menge M heißt endlich, wenn M nur endlich viele Elemente
enthält.
Die Mächtigkeit
einer Menge M ist definiert als
Anzahl der Elemente in M, falls M endlich ist
|M| :=
∞,
sonst.
Satz 3: (Summenregel)
Seien M und N Mengen. Es gilt |M ∪ N| = |M| + |N| genau dann,
wenn M und N disjunkt sind.
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Beispiele zu Satz 3 Teil 1
Beispiel 1: Seien M und N Mengen.
Sei zB. N = {1, 2, 3, 5}(|N| = 4), M = {5, 9, 12}(|M| = 3)
Also sind die Mengen N und M nicht disjunkt, also M ∩ N 6= ∅.
|M| + |N| = 7
M ∪ N = {1, 2, 3, 5, 9, 12}, |M ∪ N| = 6
Eine ’5’ ist bei der Vereinigung ”verloren gegangen”
Beispiel 2:
Sei zB. N = {1, 2, 3}(|N| = 3), M = {5, 8, 9, 12}(|M| = 4) Die
Mengen N und M sind disjunkt, es ist also M ∩ N = ∅. |M| + |N| = 7
M ∪ N = {1, 2, 3, 5, 8, 9, 12}, |M ∪ N| = 7
Somit |M ∪ N| = |M| + |N|
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Potenzmenge
Definition (Potenzmenge)
Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge
P(M) := {N|N ⊆ M},
also die Menge aller Teilmengen von M.
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noch Fragen???
Quelle Bild: http://www.citycampus.eu/cms/images/comic fragezeichen.png
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