Mengenlehre

Mengenlehre
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Theoretischer Teil
WS2011/12
10. Oktober 2011
QSI - Theorie - WS2011/12
Mengenlehre > Die Sprache der Mathematik > Mengen
Mengen
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Mengen
Den Begriff Menge hat Cantor wie folgt beschrieben:
Definition (Menge)
Unter einer Menge verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohluntersschiedenen Objekten m unserer Anschauung
oder unseres Denkens (welche Elemente von M genannt werden) zu
einem Ganzen.
Ist m ein Element der Menge M so schreiben wir m ∈ M, sonst
schreiben wir m 6∈ M.
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Beispiele
Beispiel 1:
Die Menge aller Primzahlen.
Die Menge aller Studenten des FBs 12.
Die Menge M1 := {Lucy , Paul, Sasha}
Die Menge M2 := {Haus, Auto, Kind}
N := {0, 1, 2, 3, 4, . . .} (die Menge der natürlichen Zahlen.)
Z := {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} (die Menge der ganzen Zahlen.)
Q := { ba | a, b ∈ Z, b 6= 0} (die Menge der rationalen Zahlen.)
R := Menge der reellen Zahlen.
R≥0 := Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.
Die Menge N := {z ∈ Z | es gibt ein k ∈ Z so dass z = 3k}.
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Beispiele
Die leere Menge: ∅ := {}
{∅} (Man beachte: {∅} =
6 ∅.)
Definition
Seien M und N Mengen.
M und N sind gleich, in Zeichen M = N , falls M und N
dieselben Elemente enthalten.
N heißt Teilmenge ( Untermenge) von M, in Zeichen N ⊆ M,
wenn jedes Element von N auch ein Element von M ist. (Dann ist
M die Obermenge von N)
N heißt echte Teilmenge von M , in Zeichen N ( M (oder kurz
N ⊂ M), wenn N ⊆ M ist, aber M = N nicht gilt.
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Satz 1
Satz 1:
Seien X , Y und Z Mengen, für die X ⊆ Y und Y ⊆ Z gilt. Dann gilt
auch X ⊆ Z .
Beweis: Angenommen, dass X , Y und Z Mengen sind mit X ⊆ Y
und Y ⊆ Z . Sei also x ∈ X ein beliebiges Element. Nach
Voraussetzung ist X ⊆ Y , also gilt x ∈ Y . Nach Voraussetzung ist
auch Y ⊆ Z , also gilt x ∈ Z . Da x ∈ X beliebig gewählt war, gilt also
für alle Elemente von X , dass sie auch Elemente von Z sind, also gilt
X ⊆ Z , und das war zu zeigen.
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Satz 2
Satz 2:
Seien X und Y Mengen. X = Y gilt genau dann, wenn X ⊆ Y und
Y ⊆ X gelten.
Beweis: Angenommen, dass X und Y Mengen sind.
⇒ “: Zu zeigen Wenn X = Y gilt, dann gelten auch X ⊆ Y und
”
”
Y ⊆ X. “
Angenommen, es gilt X = Y . Dann enthalten X und Y dieselben
Elemente. Also ist jedes Element von X auch Element von Y , also
X ⊆ Y , und jedes Element von Y ist auch Element von X , also
Y ⊆ X.
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Beweis Teil 2
⇐ “: Zu zeigen Wenn X ⊆ Y und Y ⊆ X gelten, dann gilten auch
”
”
X = Y. “
Angenommen, es gelten X ⊆ Y und Y ⊆ X . Dann ist jedes Element
von X auch ein Element von Y und jedes Element von Y ist auch ein
Element von X . Also enthalten X und Y dieselben Elemente, und
somit X = Y .
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Definition
Definition
Seien M und N Mengen.
Der Schnitt von M und N ist die Menge
M ∩ N := {z | z ∈ M und z ∈ N}.
Die Vereinigung von M und N ist die Menge
M ∪ N := {z |z ∈ M oder z ∈ N}.
Die Differenz von M und N ist die Menge
M \ N := {z | z ∈ M und z 6∈ N}.
M und N heißen disjunkt, falls M ∩ N := ∅.
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Definition
Definition
Eine Menge M heißt endlich, wenn M nur endlich viele Elemente
enthält, d.h. wenn es eine Zahl n ∈ N gibt, so dass M genau n
Elemente
enthält. Die Mächtigkeit einer Menge M ist definiert als
Anzahl der Elemente in M, falls M endlich ist
|M| :=
∞,
sonst.
Satz 3: (Summenregel)
Seien M und N Mengen. Es gilt |M ∪ N| = |M| + |N| genau dann,
wenn M und N disjunkt sind.
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Beweis von Satz 3 Teil 1
Beweis: Seien M und N Mengen.
⇒ “: Es gelte |M ∪ N| = |M| + |N|. Zu zeigen ist, dass dann M und
”
N disjunkt sind. Dazu führen wir einen Beweis durch Widerspruch:
Angenommen, M und N sind nicht disjunkt. Dann ist M ∩ N 6= ∅. Sei
also a ∈ M ∩ N. Dann zählt a einmal in |M| und einmal in |N|. Also
trägt a genau 2 zu |M| + |N| bei, während a nur 1 zu |M ∪ N| beiträgt.
Jedes Element in M \ N trägt 1 zu |M| + |N| bei und ebenso 1 zu
|M ∪ N|. Dasselbe gilt für jedes Element in N \ M. Somit gilt also
|M| + |N| > |M ∪ N| und insbesondere |M| + |N| =
6 |M ∪ N|, ein
Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind M und N disjunkt.
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Beweis von Satz 3 Teil 2
⇐ “: SeiM ∩ N = ∅. Wir zeigen
”
1 |M ∪ N| ≥ |M| + |N| und
2
|M| + |N| ≥ |M ∪ N|.
Zu 1): Sei a ∈ M ∪ N. Dann zählt a einmal in |M ∪ N|. Nach
Definition der Vereinigung ist a ∈ M oder a ∈ N. Also wird a in |M|
oder in |N| gezählt. Somit gilt |M ∪ N| ≤ |M| + |N|.
Zu 2): Sei a ∈ M. Da M und N disjunkt sind, ist a 6∈ N. Also trägt a
genau 1 zu |M| + |N| bei. Nach Definition der Vereinigung ist
a ∈ M ∪ N. Also wird a in |M ∪ N| auch einmal gezählt. Das gleiche
gilt auch für b ∈ N und somit gilt |M| + |N| ≤ |M ∪ N|.
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Binomialkoeffizient und Potenzmenge
Definition (Binomialkoeffizienten)
Mit kn bezeichnen wir die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer
n-elementigen Menge.
Es gilt:
n
n!
=
k
k! · (n − k)!
Definition (Potenzmenge)
Die Potenzmenge einer Menge M ist die Menge
P(M) := {N|N ⊆ M},
also die Menge aller Teilmengen von M.
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noch Fragen???
Quelle Bild: http://www.citycampus.eu/cms/images/comic fragezeichen.png
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