ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK 3pt Kapitel 1: Elementare

ELEMENTARE DISKRETE MATHEMATIK
Kapitel 1:
Elementare Mengenlehre
MAA.01011UB
MAA.01011PH
Vorlesung mit Übung im WS 2016/17
Christoph GRUBER
Günter LETTL
Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen
an der Karl-Franzens-Universität Graz
Institut für Allgemeinbildende Fächer der Sekundarpädagogik
an der Pädagogischen Hochschule Steiermark
Denition einer Menge nach Georg Cantor (1845 1918):
,,Eine
Menge M
ist eine Zusammenfassung bestimmter,
wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseres
Denkens (welche die
Elemente
von
M
genannt werden) zu einem
Ganzen.
Ist
M
eine Menge und
ein Objekt, so gilt
a ∈ M (,,a ist Element von M , ,,a liegt in M )
a∈
/ M (,,a ist kein Element von M , ,,a gehört nicht zu M ).
entweder
oder
a
Beispiel 1.1: KFUG = {Student/inn/en der Universität Graz}
Beispiel 1.2: Zahlenmengen:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . . }
Menge der natürlichen Zahlen
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } = {0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, . . . }
Menge der ganzen Zahlen
N+ = {1, 2, 3, . . . }
Menge der positiven natürlichen Zahlen
(Menge der positiven ganzen Zahlen)
Q = { ba | a, b ∈ Z, b 6= 0}
R
Menge der rationalen Zahlen
Menge der reellen Zahlen
Beispiel 1.3: Geometrie: Menge aller Punkte ,,der
Zeichenebene,
Menge aller Geraden in der Zeichenebene
Beispiel 1.4: beliebig:
M1 = {♥, ♦, ♠, ♣}
M2 = {Paul, Anton, Maria} M3 = {13, {2, 3, 4}, A, ♥, N, Paul}
M4 = {1, 2, 1, 2, 1, 2, . . . } = {2, 1} = {1, 2} M5 = {} = ∅
Eine Menge kann angegeben werden:
a) durch Aufzählen: die Elemente einer Menge werden zwischen
geschweiften Klammern (,,Mengenklammern) geschrieben
b) durch Beschreiben/Aussonderung: ist E
für jedes Objekt
Grundmenge
M]
x
[meist: für jedes Element
x
eine Eigenschaft, die
aus einer
zutrit oder nicht, so können wir eine Menge
angeben durch:
{alle x
mit der Eigenschaft
E} = {x | E(x)} = {x ∈ M | E(x)}
Relationen zwischen Mengen:
M
und
N
seien beliebige Mengen.
Gleichheit: M = N
M
und
N
heiÿen
gleich genau dann, wenn
diese beiden Mengen dieselben Elemente enthalten.
Negation: Ungleichheit: M 6= N
M
und
N
heiÿen
ungleich genau
dann, wenn sie nicht gleich sind.
Teilmenge: M ⊂ N (andere Notationen: M ⊆ N , M j N )
M heiÿt eine Teilmenge von N (M ist in N enthalten) genau dann,
wenn jedes Element von
Negation: M 6⊂ N
M
M
ist keine Teilmenge von
Echte Teilmenge: M $ N
genau dann, wenn
auch ein Element von
M⊂N
N
ist.
N.
M
ist eine
echte Teilmenge von N
und
M 6= N
erfüllt sind.
Satz (1.1)
a)
Es gibt nur eine leere Menge. Diese bezeichnen wir mit
b)
Für jede Menge M gilt: ∅ ⊂ M .
{} oder ∅.
Denition (1.1)
Es sei
M
eine Menge. Dann heiÿt
Potenzmenge
von
M
(= die
P(M) = {A | A ⊂ M}
die
Menge aller Teilmengen von M ).
Beispiel 1.5: Für M = {3, r } ist P(M) = {∅, {3}, {r }, {3, r }}.
Satz (1.1)
a)
Es gibt nur eine leere Menge. Diese bezeichnen wir mit
b)
Für jede Menge M gilt: ∅ ⊂ M .
{} oder ∅.
Denition (1.1)
Es sei
M
eine Menge. Dann heiÿt
Potenzmenge
von
M
(= die
P(M) = {A | A ⊂ M}
die
Menge aller Teilmengen von M ).
Beispiel 1.5: Für M = {3, r } ist P(M) = {∅, {3}, {r }, {3, r }}.
Operationen mit Mengen:
M
und
Der
N
seien beliebige Mengen.
Durchschnitt von M
und
N, M ∩ N,
ist die Menge, die aus
genau jenen Elementen besteht, die sowohl zu
M
als auch zu
N
gehören.
M und N heiÿen (zueinander) disjunkt oder
elementfremd, wenn M ∩ N = {} gilt.
Die Mengen
Die
Vereinigung von M
und
N, M ∪ N,
ist die Menge, die aus
genau jenen Objekten besteht, die Elemente von
(oder von beiden) sind.
M
oder von
N
Die
Mengendierenz (,,M
minus
Menge derjeniger Elemente von
N ) von M und N , M \ N , ist
M , welche nicht zu N gehören:
die
M \ N = {x ∈ M | x ∈
/ N}
Das (kartesische) Produkt (oder die Produktmenge) von M und N ,
M × N , besitzt als Elemente genau alle geordneten Paare (a, b), für
welche a ∈ M und b ∈ N gilt:
M × N = {(a, b) | a ∈ M und b ∈ N}.
Beispiel 1.6:
M = [1, 4] = {x ∈ R | 1 ≤ x ≤ 4}
abgeschlossenes Intervall von 1 bis 4.
N = (3, 5) =]3, 5[= {x ∈ R | 3 < x < 5}
oenes Intervall von 3 bis 5.
Beispiel 1.7:
R × R = R2 = {(x, y ) | x, y ∈ R}
A = {1, 2, 3} ⊂ R, B = R,
X = A × B,
Y =B ×A
Beispiel 1.8: Überlegen Sie sich, wie die Menge X × ∅ oder ∅ × X
für eine beliebige Menge
X
aussieht.
Beispiel 1.9:
g = {(x, y ) ∈ R2 | y = 5x − 11} Gerade
A = {(x, y ) ∈ R2 | y ≤ 5x − 11} abgeschlossener Halbraum
B = {(x, y ) ∈ R2 | y > 5x − 11} oener Halbraum
K = {(x, y ) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 6)2 = 26} Kreislinie
S = {(x, y ) ∈ R2 | (x − 1)2 + (y + 6)2 ≤ 26} Kreisscheibe
Beispiel 1.10:
Es seien
X,Y
(beliebige) Mengen. Wann gilt
X × Y = Y × X?
Hinweis: Finden Sie eine Formulierung: ,,Dieser Sachverhalt gilt
genau in den folgenden Situationen:
...
.