Mathematische Lernprozesse II. Thema: Logik

Mathematische Lernprozesse
II. Thema: Logik
Vorbemerkungen:
• (griech.) „denkende Kunst“
• Lehre des vernünftigen Schlussfolgerns
• Untersucht Gültigkeit von Argumenten hinsichtlich
ihrer Struktur unabhängig vom konkreten Inhalt der
eigentlichen Aussagen
• Deshalb spricht man auch von „formaler Logik“
• Teilgebiet der Philosophie, der Mathematik und der
Informatik
• Seit dem 20. Jh. überwiegend symbolische Logik
Womit befassen wir uns?
Seit dem 20. Jahrhundert versteht man unter Logik
überwiegend symbolische Logik.
Diese baut auf einer künstlichen Sprache auf und
verwendet streng definierte Schlussregeln.
Ein einfaches Beispiel für ein solches formales System
ist die Aussagenlogik.
Wir befassen uns hier mit der Aussagenlogik.
Die symbolische Logik nennt man auch mathematische
Logik oder formale Logik im engeren Sinn.
Die Logik hatte nicht immer eine in diesem Sinn formale
Struktur, sondern befasste sich in der Antike und im
Mittelalter überwiegend mit natürlichsprachlichen
Argumenten.
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Aussagenlogik
Aussage und Wahrheitswert
Definition:
Eine (mathematische) Aussage ist ein sinnvolles
sprachliches Gebilde (Satz), das entweder wahr oder
falsch ist.
Bezeichnung: große Buchstaben, z.B. A, B, C, …
Bemerkung:
• Das gilt für einfache und für verknüpfte Aussagen
• Es gibt keine Halbwahrheiten
• Es muss nicht bekannt sein, ob die Aussage wahr
oder falsch ist
• Die Logik befasst sich nur mit Aussagen, deren
Wahrheit nicht von den Umständen ihrer Äußerung
abhängt
• Aufforderungen, Ausrufe, Definitionen, subjektive
Meinungen sind keine Aussagen
(Achtung: dies ist in der Literatur nicht einheitlich)
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Beispiele für einfache Aussagen:
a) 12 ist durch 3 teilbar
b) Weihnachten 2009 liegt in Erfurt Schnee.
c) Alle Studentinnen haben braune Haare.
d) Berlin ist 300 km von Erfurt entfernt.
Definition:
Für eine Aussage A wird der Wahrheitswert W(A)
definiert durch W(A)=1, falls A eine wahre Aussage ist,
und W(A)=0, falls A eine falsche Aussage ist.
Bemerkung:
• Statt 0 und 1 wird häufig f (für falsch) und w (für
wahr) verwendet.
• In der Aussagenlogik interessieren wir uns häufig
nur für den Wahrheitswert einer Aussage und nicht
für den Inhalt einer Aussage, vor allem, wenn wir
später Aussagen miteinander verknüpfen.
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Aussageform und Wahrheitswertetabelle
Definition:
Eine Aussageform ist eine sinnvolle sprachliche
Äußerung, die mindestens eine Variable enthält und die
zu einer Aussage wird, wenn für die Variable(n) eine
Zahl oder ein Wert aus dem Grundbereich eingesetzt
wird.
Beim Einsetzen eines konkreten Elements in eine
Aussageform entsteht eine Einzelaussage, die etwas
über dieses konkrete Element aussagt.
Beispiel
Aussageform
konkretes
Element
Aussage
Eine Figur ist ein
Dreieck.
Für „eine Figur“
ein konkretes
Dreieck ABC
einsetzen
ABC ist ein
Dreieck (wahr)
Das Vierfache
einer Zahl ist 12.
Für „eine Zahl“ 2
einsetzen
Das Vierfache
von 2 ist 12.
(falsch)
Da wir uns insbesondere für die Wahrheitswerte der
Aussageform interessieren, können wir die Variablen der
Aussageform mit den beiden Wahrheitswerten w (wahr
oder 1) oder f (falsch oder 0) belegen. Schreiben wir alle
verschiedenen Möglichkeiten in eine Tabelle auf, so
erhalten wir eine Wahrheitswertetabelle.
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Beispiel:
• Eine Variable
A
A
oder
1
w
0
f
• Zwei Variablen
A
B
A
B
1
1
w
w
1
0
w
f
0
1
f
w
0
0
f
f
oder
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Formale Sprache der Aussagenlogik
Wir führen eine (formale) Sprache ein, mit der aus
endlich vielen Aussagen Ausdrücke gebildet werden
können.
Definition:
Ein Ausdruck ist eine zusammengesetzte Aussage.
Syntaktische Regeln (Satzbau) der formalen Sprache
Die Elemente („Wörter“) der Sprache sind die
Ausdrücke.
Die Grundzeichen („Buchstaben“) zur Bildung von
Ausdrücken sind:
• Aussagen (Bezeichnet mit großen Buchstaben)
• Logische Operationen
• Technische Zeichen (Klammern, =, ∈ , ∧ , ∨ , … )
Wir lernen folgende logische Operationen kennen:
¬ Negation
∧ Konjunktion (und)
∨ Disjunktion (oder)
→ Subjunktion (Implikation) (wenn…, dann…)
↔ Bijunktion (Äquivalenz) (genau dann, wenn…)
Die Regeln zur Bildung von Ausdrücken sind:
• Jede Aussage ist ein Ausdruck.
• Sind A, B Ausdrücke, so sind
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¬
A
A∧B
A∨B
A→B
A↔B
ebenfalls Ausdrücke
• Für die Bindekraft der Operationen wird vereinbart:
¬ bindet stärker als ∧ , ∨ , → , ↔
∧ , ∨ binden stärker als → , ↔
Ansonsten sind Klammern zu setzen.
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Semantische Regeln (Satzbedeutung) der formalen
Sprache
Sind A und B Ausdrücke, so wird der Wahrheitswert der
folgenden Ausdrücke in Abhängigkeit der
Wahrheitswerte von A und B wie folgt festgelegt:
A
¬
A
1
0
0
1
A
B
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
0
0
0
1
1
A
∧
B
A
∨
B
A
→
B
A
↔
B
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Was haben wir eingeführt?
Zum Vergleich:
Grundmaterial
Logik
Arithmetik
Aussagen
Zahlen
z.B. A:= 16 ist eine
Quadratzahl
Elemente
1,2,3,4,5,...
Ausdruck
Formel
z.B. A v B
15 = 3 * 5
Operationen
Negation,
Junktoren
(Bindewörter)
^, v , → , ↔
Variablen
Aussagenvariablen Zahlenvariablen
Grundrechenarten
+,-,*,:
z.B. A, B, C,...
Formeln
(A → B) ∧ (B → C)
(A → C)
a, b, c, x, y, z
→
(a+b)² =
a²+2ab+b²
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Logische Operationen - Verknüpfungen von
Aussagen
Wie verknüpfen wir in der Alltagssprache Aussagen
miteinender?
weder noch, und, oder, wenn dann, …
aber auch
während (in temporaler Bedeutung),
weil (in kausaler Bedeutung)
In der Aussagenlogik betrachten wir nur solche
verknüpfende Partikel, bei denen der Wahrheitswert des
Ausdrucks (=zusammengesetzte Aussage) allein von
den Wahrheitswerten seiner (Teil-)Aussagen abhängt.
Dies ist bei während und weil nicht der Fall.
Dazu ein Beispiel:
A : 18 ist keine Primzahl.
B : 9 ist ein echter Teiler von 18.
C : 18 ist ein echter Teiler von 36.
Die Aussagen A, B, und C sind alle wahr.
„A weil B“ ist ebenso wahr, denn das bedeutet: …
„A weil C“ ist falsch. (Warum?)
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