2 Logik - Springer

2 Logik
Mathematische Logik (Auszug aus DIN 5473)
¬ ϕ, ϕ
nicht ϕ, Negation (ϕ und ψ stehen für Aussagen oder Aussageformen)
ϕ und ψ, Konjunktion
ϕ oder ψ, Disjunktion
ϕ impliziert ψ, aus ϕ folgt ψ, Implikation von ϕ und ψ, auch
ϕ→ψ
ϕ äquivalent zu ψ, ϕ ist gleichwertig mit ψ, Äquivalenz von
ϕ und ψ, auch ϕ ↔ ψ
Antivalenz, negierte Äquivalenz, ausschließendes Entweder-Oder
falls, Replikation
für alle x (gilt), Allquantor
es gibt (wenigstens) ein x für das gilt, Existenzquantor
ϕ∧ψ
ϕ∨ψ
ϕψ
ϕ⇔ψ
ϕ⇔ψ
ϕ←ψ
∀x
∃x
Aussagenlogik
Aussagenvariable
a, b, ...
sind Buchstaben oder andere Zeichen, an der Stelle
Aussagen oder Wahrheitswerte gesetzt werden können.
Wahrheitstafeln
a
b
¬a
a∧b
a∨b
W
W
F
W
W
W
F
F
F
W
F
W
W
F
W
F
F
W
F
F
F.W. Peren, Formelsammlung Wirtschaftsmathematik,
DOI 10.1007/978-3-642-41917-1_2, © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
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Symbol
Bedeutung
A
A Ist eine Aussage, die wahr (w) oder falsch (f) sein kann.
Wahrheitswerte W (wahr); F (falsch)
Beispiel:
Die Aussage „7 ist eine Primzahl“ ist wahr, die
Aussage „8 − 3 = 4“ ist falsch, „7x + 4 = 25“ ist erst mit der
Belegung x = 3 eine wahre Aussage. „3“ heißt Lösung.
v(A)
v (A) wird als der Wahrheitswert der Aussage A bezeichnet; v
(A) =1 heißt, dass A wahr und v (A) =0, dass A falsch ist.
¬A
Die Negation ¬ A (bzw. A ) der Aussage A ist wahr, wenn A
falsch ist, und falsch, wenn A wahr ist.
A ∧B
Die Konjunktion A ∧ B ist wahr, wenn beide Aussagen wahr
sind, und falsch, wenn wenigstens eine der beiden Aussagen
falsch ist.
A∨B
Die Disjunktion A ∨ B ist wahr, wenn wenigstens eine der
beiden Aussagen wahr ist, und falsch, wenn beide Aussagen
falsch sind.
Die Implikation A  B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist
auch B wahr. A wird als Voraussetzung (Prämisse), B als
Folgerung (Konklusion) bezeichnet. A  B ist nur dann
falsch, wenn aus einer wahren Voraussetzung eine falsche
Folgerung gezogen wird.
A B
A ⇔B
Die Äquivalenz A ⇔ B bedeutet: Wenn A wahr ist, dann ist
auch B wahr und umgekehrt. A ⇔ B ist nur dann falsch,
wenn eine der beiden Aussagen wahr und die andere falsch
ist.
∃
„Es gibt“ (z.B.: ∃x ∈ 4 : x 2 = 4 heißt: Es gibt eine rationale
Zahl x mit x 2 = 4 )
∀
„Für alle“ (z.B.: ∀x ∈4 : x 2 ≥ 0 heißt: Für alle rationalen
Zahlen x mit x 2 ≥ 0 )
http://www.springer.com/978-3-642-41916-4