Unentscheidbarkeit

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
4.4 Prädikatenlogik – Unentscheidbarkeit
Automatische Beweissuche
zur Erinnerung: Beweissuche im Sequenzenkalkül für Aussagenlogik
sehr leicht automatisierbar
vergleiche: Resolution, DPLL, etc. sind korrekte, vollständige und
terminierende Verfahren, um Formeln auf Entscheidbarkeit zu
testen
Frage: geht das auch mit FO? Antwort ist nein.
formal: es gibt eine Signatur τ , so dass das Erfüllbarkeitsproblem
für FO[τ ] unentscheidbar ist
hoﬀentlich klar: damit auch unentscheidbar für FO[=, τ ], FO[τ � ],
falls sich τ in τ � einbetten lässt, etc.
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Das Post’sche Korrespondenzproblem
Vorgehensweise: Reduktion von bereits als unentscheidbar
bekanntem Problem, hier PCP
Def.: PCP: gegeben P = {(u1 , v1 ), . . . , (un , vn )}, jeweils
nicht-leere Wörter über Alphabet Σ, gibt es nicht-leere, endliche
Folge i1 , . . . , im ∈ {1, . . . , n}, so dass
u i 1 u i 2 . . . u i m = vi 1 v i 2 . . . v i m
Theorem 16
PCP ist unentscheidbar, falls |Σ| ≥ 2.
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Beispiele
sind die folgenden Mengen von Paaren von Wörtern jeweils positive
Instanz von PCP?
• {(a, baa), (ab, aa), (bba, bb)}
• {(b, baa), (ab, aa), (bba, bb)}
• {(aaa, a), (aa, aa), (aa, aaaa)}
• {(aa, ab), (abba, ba), (bb, aab), (aabb, bbab)}
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Zugrundeliegende Idee
konstruiere aus PCP-Instanz P = {(u1 , v1 ), . . .} eine FO-Formel
ϕP , so dass ϕP erfüllbar, gdw. P lösbare Instanz des PCP ist
Def.: die Menge KP aller aus P komponierbaren Paare von
Wörtern ist die kleinste Menge, so dass
• (�, �) ∈ KP
• für alle x, y ∈ Σ∗ gilt: falls (x, y ) ∈ KP und (u, v ) ∈ P, so ist
(ux, vy ) ∈ KP
ϕP soll aussagen: es gibt Wort w der Länge ≥ 1, so dass
(w , w ) ∈ KP
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Verwendete Signatur
Variablen werden interpretiert durch Wörter über Σ
interpretiere Symbol a ∈ Σ als Funktion “hänge vorne ein a dran”
verwenden folgende Funktions- und Relationssymbole:
• Konstante � für leeres Wort
• 1-st. Funktion a für jedes a ∈ Σ
• 2-st. Relation K für Komponierbarkeit
Abkürzung: falls u = a1 . . . am , dann steht u(x) für
a1 (a2 (. . . am (x) . . .))
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PCP in FO ausdrücken
Sei P über Σ = {a, b} (o.B.d.A.) gegeben.
Lasse ϕP folgendes ausdrücken.
• Es gibt ein Wort außer �, das zu sich selbst in Relation K
steht.
• K setzt nur durch P komponierbare Wörter in Beziehung
zueinander.
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Unentscheidbarkeit von FO
Theorem 17
Sei τ = �K (2) , a(1) , b (1) , �(0) �. Das Erfüllbarkeitsproblem für FO[τ ]
ist unentscheidbar.
Beweis: Angenommen, es gäbe Algorithmus A für
Erfüllbarkeitsproblem von FO[τ ]. Betrachte Algorithmus B für
PCP:
B(P) = return A(ϕP )
B wäre korrekter, vollständiger und terminierender Algorithmus für
PCP
� Widerspruch zu Theorem 16
�