Resultate übertragen

Theoretische Informatik: Logik, M. Lange, FB16, Uni Kassel:
5.2 Prädikatenlogik mit Gleichheit – Resultate
Resultate übertragen
beachte: FO= ist Erweiterung von FO, also:
• Resultate über die Existenz von Formeln übertragen sich
sofort von FO nach FO= , z.B.
• Ausdrückbarkeit von Eigenschaften
• Unentscheidbarkeit der Erfüllbarkeit
• Resultate über alle Formeln übertragen sich nicht unbedingt,
können für FO= sogar falsch sein, müssen also evtl. neu
betrachtet werden, z.B.
• Normalformen (funktionieren genauso wie bisher)
• Satz von Herbrand, Kompaktheit und Satz von
Löwenheim-Skolem (gelten bedingt weiterhin)
• Herbrand-Modelle; aufsteigender Satz von Löwenheim-Skolem
(gelten nicht mehr)
• Kalküle müssen evtl. angepasst werden, um Gleichheit korrekt
zu handhaben
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Herbrand-Expansion mit Gleichheit
.
Ist Φ = {R(c), c = f (c), ∀x.R(x) → ¬R(f (x))} erfüllbar?
Was ist AL(Φ); ist es erfüllbar?
Was folgt daraus für den Satz von Herbrand für FO= ?
Definition von AL(Φ) darf Zusammenhänge über Gleichheit nicht
vergessen! Nicht ausreichend: nur vorhandene Gleichheits-Formeln
betrachten; können auch in Unterformeln relevant sein
.
.
.
Bsp.: {c =
� d, e = c ∨ e = d, P(e) ↔ ¬P(c), P(e) ↔ ¬P(d)}
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Boole’scher Abschluss
Def.: Eine aussagenlogische Formelmenge Φ in PNF ist
Boole’sch-abgeschlossen, falls für alle
• ϕ ∧ ψ ∈ Φ gilt: {ϕ, ψ} ⊆ Φ,
• ϕ ∨ ψ ∈ Φ gilt: ϕ ∈ Φ oder ψ ∈ Φ.
Φ� heißt Boole’scher Abschluss von Φ, falls Φ� eine kleinste (bzgl.
⊆) Menge ist, die abgeschlossen ist und Φ enthält.
Theorem 28
Φ erfüllbar gdw. es einen erfüllbaren Boole’schen Abschluss von Φ
gibt.
Beweis: Übung.
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Gleichheits-Abschluss
Def.: Der Gleichheits-Abschluss einer Herbrand-Expansion AL(Φ)
ist die kleinste Menge AL∗ (Φ), für die gilt:
• AL(Φ) ⊆ AL∗ (Φ).
.
• Für jeden Grundterm t ist t = t ∈ AL∗ (Φ).
.
• Ist ψ[t/x] ∈ AL∗ (Φ) und t = t � ∈ AL∗ (Φ), so ist auch
ψ[t � /x] ∈ AL∗ (Φ)
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Der Satz von Herbrand
Def.: ein Herbrand-Abschluss einer Menge von FO= -Sätzen
entsteht folgendermaßen
1
Skolemisierung
2
Herbrand-Expansion
3
Boole’schen Abschluss bilden
4
Gleichheitsabschluss bilden
beachte: Schritt 3 kann verschiedene Resultate hervorbringen
Theorem 29
Sei Φ Menge von FO∀= -Sätzen. Φ ist erfüllbar gdw. es einen
erfüllbaren Herbrand-Abschluss AL∗ (Φ) gibt.
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Beweis des Satzes von Herbrand
eine Richtung (fast) genauso wie im Satz von Herbrand für FO∀
Beweis: “⇒” Sei A = (A, τ ) Modell von Φ. Definiere daraus
aussagenlogische Interpretation IA via
IA (R(t1 , . . . , tn )) = 1 gdw. ([[t1 ]]A , . . . , [[tn ]]A ) ∈ R A
.
IA (t = t � ) = 1 gdw. [[t]]A = [[t � ]]A
Beachte: es gilt IA |= AL(Φ). Mithilfe von IA lässt sich leicht ein
Boole’scher Abschluss Ψ finden, so dass ebenfalls IA |= Ψ gilt.
Definiere nun AL∗ (Φ) als Gleichheits-Abschluss von Ψ. Da
Gleichheit eine Kongruenz ist, lässt sich IA zu einer Interpretation
∗ erweitern, so dass dann I ∗ |= AL∗ (Φ) gilt.
IA
�
A
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Faktorstrukturen
Ist ∼ Äquivalenzrelation, so bezeichnet [x]∼ die Äquivalenzklasse
von x, d.h. [x]∼ := {y | x ∼ y }.
Def.: Sei A = (A, τ ) Struktur und ∼ Kongruenzrelation auf A
bzgl. den Operationen in τ . Definiere den Faktor von A bzgl. ∼ als
A/∼ = (A∼ , τ ), wobei
• A∼ = {[x]∼ | x ∈ A}
• f A/∼ ([x1 ]∼ , . . . , [xn ]∼ ) = [f A (t1 , . . . , tn )]∼
• ([x1 ]∼ , . . . , [xn ]∼ ) ∈ R A/∼ gdw. (x1 , . . . , xn ) ∈ R A
Beachte: Faktorstruktur ist wohldefiniert.
Übung: was sind
• A/= für beliebiges A,
• (N, +, ∗, 17)/≡2 , wobei x ≡2 y gdw. x mod 2 = y mod 2,
• (N, +, ∗, isPrime, 17)/≡2 ?
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Beweis des Satzes von Herbrand
Beweis: “⇐” Angenommen, es gibt Herbrand-Abschluss AL∗ (Φ)
mit Modell I. Konstruiere zunächst Herbrand-Struktur HI mittels
(t1 , . . . , tn ) ∈ R HI
gdw.
I(R(t1 , . . . , tn )) = 1
Beachte: i.A. gilt nicht HI |= Φ!
Definiere nun auf den Grundtermen eine 2-stellige Relation ∼ durch
t ∼ t�
gdw.
.
t = t � ∈ AL∗ (Φ)
Zeige:
1
2
∼ ist Kongruenz auf HI bzgl. zugrundeliegender Signatur τ .
HI /∼ |= Φ.
�
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Zwei Folgerungen
zur Erinnerung: Kompaktheit von Aussagenlogik übertragen auf
FO mithife von Satz von Herbrand
selbiges genauso für FO= möglich
Theorem 30
Eine Menge von FO= -Sätzen ist erfüllbar gdw. jede ihrer endlichen
Teilmengen erfüllbar ist.
Satz von Löwenheim-Skolem gilt ebenfalls weiterhin
Theorem 31
Jede erfüllbare FO= -Formel hat ein höchstens abzählbar unendlich
großes Modell.
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Aufsteigender Löwenheim-Skolem-Satz
Theorem 32
Sei ϕ FO= -Satz, der in einem unendlichen Modell erfüllt ist. Dann
gibt es zu jeder Menge M eine Struktur AM mit einem Universum
M � , so dass AM |= ϕ und |M � | ≥ |M|.
Beweis: Sei M gegeben und sei {cm | m ∈ M} Menge von
paarweise verschiedenen Konstantensymblen, die nicht in ϕ
auftreten. Betrachte die Formelmenge
.
Φ := {ϕ} ∪ {¬(cn = cm ) | n, m ∈ M, m �= n}
Beachte: Thm. 32 ist bewiesen, wenn gezeigt werden kann, dass Φ
erfüllbar ist. Wegen Kompaktheit reicht es aus zu zeigen, dass jede
endliche Teilmenge erfüllbar ist. Jede Teilmenge, die ϕ nicht
enthält, ist offensichtlich erfüllbar.
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Beweis des aufst. Löwenheim-Skolem-Satzes
Es reicht aus, sich auf solche Teilmengen ΦN zu beschränken, die
ϕ enthalten und für die es ein N ⊆fin M gibt, so dass
.
ΦN := {ϕ} ∪ {¬(cn = cm ) | n, m ∈ N, m �= n}
Nach Voraussetzung hat ϕ ein unendliches Modell A. Wähle nun
in diesem |N| paarweise verschiedene Elemente bm für jedes
m ∈ N. Da |N| < ∞ ist dies möglich.
Sei AN nun definiert wie A, wobei zusätzlich die Konstante cm
durch das Element bm interpretiert wird. Offensichtlich ist AN
Modell von ΦN . Also ist jedes solche ΦN erfüllbar und mit der
Kompaktheit dann auch Φ. Sei nun B ein Modell von Φ. Beachte:
B muss alle cm , m ∈ M verschieden interpretieren. Also hat das
Universum mindestens die Kardinalität von M.
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